專題1.5有理數(shù)的乘法與除法運算

枚學目標、教學重難點

知識清單

有理數(shù)的乘法、除法

題型材講

易錯典例

強化訓練

r教學目標、教學重難點］

1.有理數(shù)乘法的法則，尤其是符號法則（重點）

2.多個有理數(shù)相乘時，積的符號的確定方法（重點）

3.有理數(shù)除法的法則，包括符號法則和絕對值的除法（重點）

4.除法與乘法的轉(zhuǎn)化（重點）

5.理解“負負得正”的乘法法則（難點）

6.除法轉(zhuǎn)化為乘法時，倒數(shù)的確定及符號的處理（難點）

7.賣除混合運算的順序及符號處理(難點)

知識清單

知識點1有理數(shù)的乘法法則

1?有理數(shù)乘法法則

(1)兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘

(2)任何數(shù)與0相乘，都得0.

<特別提醒

1.“同號得正，異號得負”是確定積的符號，不能與加法中確定和的符號相混浙

2.有理數(shù)乘法的運算步驟：

⑴確定積的符號；

⑵確定積的絕對值

5：有理數(shù)的乘法和喜法而

(1)ab>0<=>a>0,b>0或a<0,b<0；

(2)ab<0<=>a>0,b<0或tz<0,/?>0；

(3)ab=0oa=0或b=0或a=b=0.

知識點2有理數(shù)乘法的運算律

運算律文字表示用字母表示

兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積

乘法交換律ab—ha

不變

三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，

乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變

一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于把

分配律這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把a(b+c)=ab+ac

積相加

特別提醒

運用乘法的運算律進行計算，是為了簡化運算。它只改變其中的運算順序，而不改變算式中每個數(shù)的性質(zhì)

和大小。

知識點3多個有理數(shù)相乘

1.幾個不等于0的數(shù)相乘的法則幾個不等于0的數(shù)相乘，積的正負號由負乘數(shù)的個數(shù)決定，當負乘數(shù)的

個數(shù)為奇數(shù)時，積為負;當負乘數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正.確定積的正負號后，再把這幾個有理數(shù)的絕對值

相乘

2.有因數(shù)零的幾個數(shù)相乘的法則幾個數(shù)相乘，有一個乘數(shù)為0,枳就為。.同樣，若積為0,則至少有一個乘

數(shù)為0.

特別提醒

多個有理數(shù)相乘的三個步驟

第1步：看乘數(shù)中有沒有0;

第2步：判斷積的符號;

第3步：計算積的絕對值

面版點4倒及

1.定義

乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)

2.倒數(shù)與相反數(shù)之間的關(guān)系

不問點

相同點

定義表示性質(zhì)判定

a(aw0)的

乘積是1的

若a,b互為倒若a-b={,

倒數(shù)兩個數(shù)互為倒

倒數(shù)是1數(shù)，則ah=\則a,b互為倒數(shù)

數(shù)

a都成對出現(xiàn)

只有正負號不若。+〃=0，

。的相反數(shù)是若a,b互為倒

相反數(shù)同的兩個數(shù)互則a,b互為相反

-a數(shù)，貝ijab=\

為相反數(shù)數(shù)

特別提醒

1.“乘積是1”是判斷兩個數(shù)互為倒數(shù)的關(guān)鍵。

2.“互為”表示倒數(shù)是兩個數(shù)之間的一種關(guān)系單獨一個數(shù)不能稱其為倒數(shù)

3.正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，。沒有倒數(shù)

知識點5有理數(shù)的除法法則

1.有理數(shù)除法法則一除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)注意：()不能作除數(shù).

用字母表示：a-i-b=ax—(b^0).

b

2.有理數(shù)除法法則二

兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.

特別提醒

1.除法法則一-兩變:

一變，將除號變成乘號；

二變，將除數(shù)變成倒數(shù)。

2.除法法則二是先確定商的符號，再求商的絕對值

知識點6分數(shù)的化簡

1.實質(zhì)分數(shù)的化簡，即利用有理數(shù)除法法則，讓分數(shù)的分子除以分母的運算過程

2.分數(shù)的符號法則分數(shù)的分子、分母及分數(shù)本身的符號，改變其中任意兩個，分數(shù)的值不變。

—a—aaci

用字母表示：——=-=—=--0^0）。

-bb-bb

3.分數(shù)化簡的結(jié)果為最簡分數(shù)或整數(shù).

翻知識延伸

1.分數(shù)線既代表除號，又有括號的功能

2.最簡分數(shù)的條件：

（1）分子、分母同為正教；

（2）分子、分母不能再約分，即分子、分母互質(zhì)

知識點7有理數(shù)的乘除混合運算

L有理數(shù)的乘除混合運算順序

按照從左到右的順序計算，有括號的先計算括號里面的

2.有理數(shù)的乘除混合運算法則

有理數(shù)乘除混合運算往往先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后按照多個有理數(shù)相乘的法則計算

V方法總結(jié)

乘除混合有理數(shù)，統(tǒng)一為乘第一步，乘法"三律'’便簡單，負因個數(shù)定正負.

題型精講

題型一、兩個有理數(shù)的乘法運算

,0例1（24-25七年級上?河南濮陽?期中）定義一種新運算：。*》=同一"例如

3*2=|3|-2x3=3-6=-3.則（-5）*（-3）的結(jié)果是（）

A.10B.-10C.15D.20

1-1（24-25七年級上?廣東深圳?期中）下列說法正確的是（)

A.數(shù)軸上表示-時的點i定在原點的左邊

B.只有兩個數(shù)相等時，它們的絕對值才相等

C.幾個非零有理數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)個時，積為負數(shù).

D.若一個數(shù)小于它的絕對值，則這個數(shù)為負數(shù)

1-2（24-25七年級上?廣東珠海?期中）計算：的結(jié)果是（）

A.1B.-1C.5D.-6

1-3（24-25七年級上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?期中）對于有理數(shù)x,y,定義一?種新運算：'△），=沖-工+九如：

1A2=1X2-1+2,則（一3口4的值為.

1-4（23-24七年級」二?貴州貴陽?期中）計算：1一2+3—4+.,+2021-2022+2023=.

題型二、多個有理數(shù)的乘法運算

-7＞例2（24-25七年級上?河南商丘?期中）如果3個有理數(shù)的乘積為負數(shù),那么這3個有理數(shù)中正數(shù)有（）

A.0個或1個B.1個或2個C.0個或2個D.2個或3個

2-1（24-25七年級上?江蘇宿遷?期中）下列算式中，積為正數(shù)的是（）

A.2x3x5x（T）B.（-2）x（-3）x5x（T）

C.（-2）x3x（-5）x|-4|D.（-2）x0x5x（-4）

2-2（24-25七年級上?廣東中山?期中）對于有理數(shù)小b,定義新運算：a?b=4ab,則3?（-4）的值為（）

A.12B.-48C.-12D.48

2-3（24-25七年級上?廣東東莞?期中）在-3,-2,-1,4,5中取出三個數(shù)，把三個數(shù)相乘，所得到的最大

乘積是;

2-4（24-25九年級上?重慶?階段練習）若abed是互不相等的整數(shù)，且〃垢4=169,則

題型三、有理數(shù)乘法的實際應用

、一々/例3（23-24七年級上.江蘇揚州?期中）某種商品原價為8元，現(xiàn)打五折促銷，促銷價為（）

A.27GB.4元C.16元D.40元

3-1（24-25七年級上?河南南陽?期中）某奶茶店促銷一款新飲品，每杯售價7元，為吸引顧客，店長推出A

套餐和4套餐：

月套餐：每買2杯，第1杯原價，第2杯半價;―

6套餐：每買3杯，第1、2杯原價，第3杯免費.

若晴晴想買12杯該飲品，則卜列花費最少的方式是（）

A.買6個4套餐B.買4個8套餐

C.買3個A套餐，2個B套餐D.買2個人套餐，3個B套餐

3-2（24-25七年級上?四川眉山?期中）一件風衣，原價1200元，現(xiàn)在八五折出售，現(xiàn)在一件這樣的風衣（）

A.1002元B.1000元C.696元D.1020元

3-3（24-25七年級上?山西臨汾?期中）某學校數(shù)學學期成績的計算方法是：平時成績x30%+期日成績x30%+

期末成績x40%,小明的數(shù)學平時成績、期中成績和期末成績分別為92分，95分，96分，則小明的數(shù)學學

期成績?yōu)榉?

3-4（24-25七年級上?河南南陽?期中）一根長為2025厘米的塑料管，第I次截去全長的第2次截去剩

下的：，第3次截去剩下的;，如此下去，直到第2024次截去剩下的擊，則最后剩下的塑料管長為一

厘米.

題型四、有理數(shù)乘法運算律

、^例4（24-25七年級上?河北石家莊?期中）如圖是嘉淇對一道題的解題過程，下列說法正確的是（）

■）

=卜?！瓴罚?6）…①

=—60—…②

=-6og…③

A.解題運用了加法結(jié)合律B.解題運用了乘法交換律

C.從②步開始出錯D.從③步開始出錯

4-1（24-25七年級上?云南西雙版納?期中）用簡便方法計算（-23）x25-6x25+18x25+25,逆用分配律正確

的是（）

A.25x（-23-6+18）B.25x（-23-6+18+1）

C.-25x（23+6+18）D.-25x（23+6-18+1）

4-2（24-25七年級上?四川南充?期中）4表示小于或等于該數(shù)的正整數(shù)的積,例如:4!=lx2x3x4,則

1011-100!z、

----------------79（）

99!+98!

A.9989B.9900C.9910D.9920

4-3（24-25七年級上?天津河東?期中）計算（-O.4）xl25x（-25）x（-O.O8）的結(jié)果是

34

4-4（24-25七年級上?湖南衡陽?期中）計算：x（-5.5）+0.75x-^=

題型五、倒數(shù)

例5（24-25七年級上?全國?期中）-g的倒數(shù)是（）

A.—B.2C.1D.—2

2

5-1（24-25七年級上?廣西賀州?期中）下列各數(shù)，互為倒數(shù)的是（）

A.-1與1

C.-0.8與0.8

5-2（24-25七年級上?廣西桂林?期中）募的倒數(shù)是（

)

A.-2024B.2024C.----

20242024

57（2425七年級上?北京?期中）-5的倒數(shù)是一；比較大小退一j（用“<、>或=”連接）

5-4（24-25七年級上?北京?期中）-3T的絕對值是，倒數(shù)是

題型六、有理數(shù)的除法運算

、7>例6（24-25七年級上?廣東廣州?期中）如果。+〃<0,1>0,那么下列成立的是（）

A.a>0,Z?>0B.a>0,b<0C.a<0,b<0D.a<0tZ?>0

6-1（23-24七年級上?貴州黔東南?期中）下列運算正確的是（）

A.-2-(-5)=-3B.6-(-6)=0

C.（-3）x（-5）=-15D.-2+（-4）=；

6-2（24-25七年級上?陜西咸陽?期中）計算：3+（-；）=（）

33

A.6B.-6C.—D.

22

6-3（24-25七年級上?廣東東莞?期中）化簡下列各數(shù)：

-45

(1)-(-68)=；(2)=(3)——=

-12

6-4（24-25七年級上?河北邢臺?期中）若，（一撲1,那么口中填入正確的數(shù)是

題型七、有理數(shù)除法的應用

例7（24-25七年級上?黑龍江?期中）勝利小學計劃招生80人，實際招生120人，實際多招了幾分之

幾的算式是（）

A.80+（120+80）B.120+80

C.（80+120）+80D.（120-80）-80

7-1（24-25七年級上?四川巴中?期中）天干地支紀年法源于中國，又稱節(jié)氣歷或中國陽歷，有十天干與十二

地支.如下表，算法如下：先用年份的尾數(shù)查出天干，再用年份除以12的余數(shù)查出地支.如：2023年尾數(shù)

3為癸，2023除以12余數(shù)為7,7為卯，那么2023年就是癸卯年，七年級某班小明同學出生年份是2011年，

則2011年是（）

甲乙丙T戊己庚辛壬癸

天干

4567890123

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

地支

45678910H0123

A.庚寅年B.庚辰年C.辛卯年D.辛辰年

7-2（24-25七年級上?四川眉山?期中）2024年是新中國成立75周年，這一年的第一季度有（）天.

A.90B.91C.89D.92

7-3（24-25七年級上?黑龍江?期中）12歲兒童一頓午餐需要攝入30克蛋白質(zhì)，已知100克豆制品含蛋白質(zhì)44.8

克.如果這些蛋白質(zhì)都從豆制品中攝取，一個兒童一頓午餐大約要吃豆制品克.

7-4（24-25七年級上?黑龍江?期中）一個長方形的草坪周長是240米，長是70米，寬是米.

題型八、有理數(shù)乘除混合運算

7^例8（23-24七年級上.青海西寧?期中）計算-的結(jié)果等于（)

A.10R.-10C.5D.-5

8-1（24-25七年級上?貴州黔東南?期中）一的運算結(jié)果是（）

5454

A.1.5B.-1.5C.—D.-

8-2（24-25七年級上?貴州畢節(jié)?期中）計算-9+3x；的結(jié)果為（）

A.-9B.9C.1D.-1

8-3（24-25七年級上黑龍江期中）圓的直徑是6厘米，面積是平方厘米.

8-4（24-25七年級上?四川綿陽?期中）計算：3+［-］卜］一?=.

題型九、有理數(shù)四則混合運算

7〉例9（24-25七年級上?福建福州?期末）下列計算正確的是（）

A.1—1x3=0B.（-2）x3x（—1）=-6

9-1（24-25七年級上?浙江溫州,階段練習）將下列運算符號填入算式-100+1（0、的“W”中，使運算結(jié)果最

小的是（）

A.+B.-C.xD.+

9-2（24-25七年級上?湖南郴州?期中）計算：2x（-3）-6+（-；）=.

97（23-24七年級上?甘肅平?jīng)?期中）對于有理數(shù)人。定義一種運算：a^b=3ci-b,計算

(-3)*2=____________

題型十、有理數(shù)四則混合運算的實際應用

?7）例10（24-25七年級上?廣西玉林?期末）隨著出行方式的多樣化，某市三類打車方式的收費標準如表:

出租車A打車軟件B打車軟件

3千米以內(nèi)：10元路程：1.2元/千米路程：L6元/千米

超過3千米的部分：2.4元/千米時間：0.6元/分鐘時間：0.4元/分鐘

已知三種打車的平均車速均為40千米/時，去8千米遠的地方，出行方式更省錢的是（）

A.出租車出行更省錢B.A打車軟件更省錢

C.8打車軟件更省錢D,都一樣省錢

10-1（24-25七年級上?貴州遵義期末）如圖是2025年1月的日歷，方框內(nèi)涂上的9個數(shù)之和是正中心數(shù)“14”

的（）

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

A.3倍B.6倍C.9倍D.11倍

10-2（24-25七年級上.江蘇泰州?階段練習）某班5名學生在一次跳繩測試中的成績以150個為標準，超過

的個數(shù)記為正數(shù)，不足的個數(shù)記為負數(shù)，記錄如下：-4,+9,-1,0,+6,則他們的平均成績是個.

10-3（24-25七年級上?北京?期中）小明計劃在某外賣網(wǎng)站點如下表所示的菜品.已知每份訂單的配送費為6

元，商家為了促銷，對每份訂單的總價（不含配送費）提供滿減優(yōu)惠：滿30元減I2元，滿70元減30元，

滿I00元減40元.如果小麗在購買下表中的所有菜品時，采取適當?shù)南掠唵畏绞?，那么他點餐的總費用最

低可為元.

菜品單價（含包裝費）數(shù)量

水煮牛肉（?。?0元1

醋溜土豆絲（?。?2元1

￡

豉汁排骨（小〉30元1

0

手撕包菜（??；12元1

米飯3元2

題型十一、數(shù)軸上的翻折

例11（24-25七年級上?浙江杭州?期中）若在正方形的四個頂點處依次標上“我共愛”“數(shù)”“學”四個字,

且將正方形放置在數(shù)軸上，其中“我'…愛"對應的數(shù)分別為-2和-1,如圖，現(xiàn)將正方形繞著頂點按順時針方

向在數(shù)軸上向右無滑動地翻滾.例如，第一次翻滾后“數(shù)”所對應的數(shù)為0,則連續(xù)翻滾后數(shù)軸上數(shù)2024對

應的字是（）

我愛數(shù)學

i1I，111111111A

-6-5-4-3-2-10123456

A.我B.愛C.數(shù)D.學

11-1（24-25七年級上?山東濟南?階段練習）將數(shù)軸對折，使表示-3與1的兩個點重合，若此時表示-5的點

與另一個表示數(shù)工的點重合，則犬=.

11-2（24-25七年級上?福建福州?期中）在白紙上畫一數(shù)軸，折疊數(shù)軸，使數(shù)軸上數(shù)-2對應的點與數(shù)4對應

的點重合.

⑴求數(shù)軸上與數(shù)8對應的點重合的點對應的數(shù)；

⑵若數(shù)軸上兩點A,B（點A在B的左側(cè)），折疊前A,B兩點間的距離為50,折疊后A,8兩點間的距

離為5,求點A表示的數(shù).

題型十二、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負

/例12（24-25七年級上?福是南平?期中）有理數(shù)〃、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論中錯誤的

是（）

------1------1--------------1------>

a0b

A.|《<陶B.a<bC.a+b<0D.a—b<0

12-1（24-25七年級上?廣西賀州?期中）已知有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）

1111.

Ca0b

A.0>cB.a<0

C.b>cD.

12-2（24-25七年級上?江蘇泰州?階段練習）如圖,數(shù)軸上的點4A分別對應有理數(shù)《、b,下列結(jié)論中正確

的是（）

A1B

----------、JA

a0b

A.-a<bB.>網(wǎng)C.a-b>0D.a+b<0

12-3（24-25七年級上?河南南陽?階段練習）有理數(shù)。、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，請用連接a、b、-a、

例為—.

12-4（24-25七年級上?廣東中山?期中）點A,8在數(shù)軸上的位置加圖所示，其時應的數(shù)分別是“和人，對于

以下結(jié)論：①b-"0；@a+b>0：③同>問；④，<-1.其中正確的是（填序號）

-3a03b

X易錯警示

易錯點1幾個有理數(shù)相乘時忽視符號法則而致錯

例I(3.89)x(q)2.5]x(3)+6.4x(§.

【答案】0

【分析】該題主要考查了有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法法則.

根據(jù)有埋數(shù)乘法法則計算即可.

【詳解】解：原式(-3/9-2.51+6.4)

=f-|lx(-6.4+6.4)

=0.

易錯點2忽略除法的符號法則，符號判斷錯誤

例2計算：-(2小卜3：卜一?

3

【答案】；/0.6

【分析】本題考查了有理數(shù)的除法運算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.先將帶分數(shù)化為假分數(shù)，再將除

法化為乘法計算即可.

【講解】解：華卜國

T撲T

=11x2

511

3

=?

3

故答案為：

強化訓練

1.若|乂=4,3=6,且個>0,則x+y的值是()

A.2或10B.-2或-10C.-2或10D.10或一10

2.若數(shù)〃、b、c在數(shù)軸上的位置婦圖所示，下列五個結(jié)論：①同>0；②c成?>0；③a+c>0：@b-a>0.⑤

M-d=h-c其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

I|||>

abOc

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.已知4個數(shù)。，b,c,d它們兩兩之和為5,8,9,11,12,15,則四個數(shù)的乘積的所有可能值為（）

A.214和304B.234和314C.224和324D.234和334

5t

4.若X1?工2,恐..”2023,-x2（>24。，且為，“2，”3，....，“2023?“2024這2024個數(shù)中有〃個正數(shù)，則

H+N+N+.….+蜀+1^^的值為（）

XXX

\23WO23X2O24

A.2024B.2024-2〃C.〃-2024D.2鹿-2024

5.下列說法中，正確的個數(shù)是（）

①若—=-->則4<0；

aa

②若同>|向，則有（a+b）（a-b）是負數(shù);

③A、B、C三點在數(shù)軸上對應的數(shù)分別是-2、6、x