2025年大學《數(shù)理基礎科學》專業(yè)題庫——代數(shù)拓撲學在量子力學中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述基本群的定義及其在描述物理系統(tǒng)路徑積分中的作用。二、解釋上同調(diào)群H^n(X;Z)在拓撲量子態(tài)，例如拓撲絕緣體能帶結構中的意義?？紤]一個二維緊致、無邊界、具有trivial基本群的拓撲絕緣體，描述其上同調(diào)群與能帶結構的關系。三、闡述諾維科夫同倫及其在拓撲量子場論中的作用。簡述其與任何onsager-彭羅斯猜想的關系。四、考慮一個緊致、無邊界、具有非trivial基本群的二維體，描述其上同調(diào)群，并說明為何這種體不可能支持拓撲量子態(tài)。五、簡述拓撲量子比特（TopologicalQuantumBit）的基本原理，并說明其如何利用拓撲性質(zhì)來抵抗退相干。六、定義陳類，并解釋其在描述拓撲量子態(tài)，例如陳絕緣體中的意義。簡述陳絕緣體的能帶結構特征。七、描述代數(shù)拓撲學中的覆蓋空間概念，并解釋其如何用于理解量子系統(tǒng)中的對稱性破缺。八、舉例說明如何使用同倫論來研究量子路徑積分中的相空間路徑。九、解釋為什么拓撲量子場論被認為是“容許的”（Allowable）或“強化的”（Strengthened）量子場論。十、描述一個具體的物理系統(tǒng)或模型，該系統(tǒng)或模型需要使用代數(shù)拓撲學的工具來進行分析，并簡述分析思路。試卷答案一、基本群π_1(X,x_0)是拓撲空間X中所有基于點x_0的loops的同倫類組成的群，其中運算為loops的連接。在物理系統(tǒng)中，基本群可以用于分類不同路徑積分路徑的拓撲等價類。例如，在路徑積分中，兩個路徑如果同倫等價，則它們對應的相因子相同。因此，基本群可以用于描述路徑積分中的拓撲相因子，從而影響系統(tǒng)的量子態(tài)。二、上同調(diào)群H^n(X;Z)描述了拓撲空間X中n-維“空洞”的拓撲性質(zhì)。在拓撲量子態(tài)中，例如拓撲絕緣體，上同調(diào)群與能帶結構密切相關。對于一個二維緊致、無邊界、具有trivial基本群的拓撲絕緣體，其上同調(diào)群H^1(X;Z)通常非零。H^1(X;Z)的生成元對應于體態(tài)（BulkStates），而H^2(X;Z)對應于邊緣態(tài)（EdgeStates）。能帶結構中會存在能隙，在能隙內(nèi)存在拓撲保護的邊緣態(tài)，這些邊緣態(tài)形成拓撲序，并具有獨特的導電性質(zhì)。三、諾維科夫同倫是量子場論中用于研究量子態(tài)之間相因子的一種工具。它基于諾維科夫原理，該原理指出，如果兩個量子態(tài)在所有局部可測量的物理量上相同，則它們在全局上（包括路徑積分中的相因子）也相同。諾維科夫同倫可以用來判斷兩個量子態(tài)是否等價。諾維科夫-彭羅斯猜想認為，在量子引力理論中，存在一個最小長度尺度，這個尺度與拓撲量子場論中的諾維科夫同倫有關。四、對于一個緊致、無邊界、具有非trivial基本群G的二維體，其上同調(diào)群H^1(X;Z)=G。這意味著存在非平凡的loops，這些loops無法收縮到一點。根據(jù)陳-辛格定理，如果H^1(X;Z)非零，則該體不可能支持拓撲量子態(tài)。這是因為拓撲量子態(tài)需要滿足某些拓撲約束條件，例如邊緣態(tài)的存在和拓撲保護的性質(zhì)。非trivial的基本群意味著存在全局的topologicalcharge，這與拓撲量子態(tài)的局部性質(zhì)相矛盾。五、拓撲量子比特利用拓撲保護的性質(zhì)來抵抗退相干。其基本原理是，拓撲量子態(tài)位于系統(tǒng)的能隙中，并且與系統(tǒng)的局部環(huán)境不耦合。這意味著即使局部環(huán)境發(fā)生擾動，也不會改變拓撲量子態(tài)的狀態(tài)。這種保護機制源于量子系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)，例如陳類或任何onsager-彭羅斯猜想。因此，拓撲量子比特比傳統(tǒng)的量子比特更穩(wěn)定，更適合用于量子計算。六、陳類是纖維叢理論中的一個概念，可以用來描述非交換幾何中的?？臻g。在拓撲量子態(tài)中，陳類可以用來描述陳絕緣體的拓撲性質(zhì)。陳絕緣體是一種拓撲態(tài)，其邊緣態(tài)具有分數(shù)化的陳數(shù)。陳數(shù)的計算與陳類的積分有關。陳絕緣體的能帶結構中存在能隙，在能隙內(nèi)存在拓撲保護的邊緣態(tài)，這些邊緣態(tài)形成拓撲序，并具有獨特的導電性質(zhì)。七、覆蓋空間是拓撲學中的一個概念，指一個空間X到另一個空間Y的連續(xù)映射p:X->Y，使得對于Y中的任意一點y，存在一個開鄰域U，使得p^{-1}(U)在同胚下是U的一個disjointunion（不交的并集）的集合{U_i}，且p|_{U_i}:U_i->U是同胚映射。在量子系統(tǒng)中，覆蓋空間可以用來理解對稱性破缺。例如，一個具有某種對稱性的系統(tǒng)可能存在多個不同的groundstate，這些groundstate構成一個覆蓋空間，而對稱性破缺則對應于從覆蓋空間的一個點（對稱的groundstate）到另一個點（非對稱的groundstate）的映射。八、可以使用同倫論來研究量子路徑積分中的相空間路徑。在量子力學中，路徑積分可以看作是所有可能路徑的疊加。同倫論可以用來分類這些路徑的拓撲等價類。例如，可以使用基本群來分類路徑積分中的loops，從而確定哪些路徑具有相同的相因子。此外，可以使用上同調(diào)群來研究路徑積分中的空洞結構，從而確定哪些路徑可以貢獻于系統(tǒng)的量子態(tài)。九、拓撲量子場論被認為是“容許的”或“強化的”，因為它們滿足某些特殊的數(shù)學條件。這些條件包括：1）它們是topological，即它們的物理量只依賴于空間的拓撲性質(zhì)，而不依賴于其度量性質(zhì)；2）它們是gauge-invariant，即它們在gauge變換下不變；3）它們是local，即它們的物理量只依賴于空間中一個點的鄰域。這些條件保證了拓撲量子場論的數(shù)學一致性和物理意義。十、一個具體的物理系統(tǒng)或模型是二維拓撲絕緣體?？梢允褂么鷶?shù)拓撲學的工具來分析其拓撲性質(zhì)。分析思路如下：1）計算二維拓撲絕緣體的上同調(diào)群H^1(X;Z)和H^