2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學(xué)在風(fēng)險評估中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述在風(fēng)險評估中，描述性統(tǒng)計量（如均值、標(biāo)準(zhǔn)差、分位數(shù)）各自能夠提供哪些關(guān)于風(fēng)險特征的信息。二、某保險公司希望評估不同年齡段（18-35歲，36-50歲，51歲以上）客戶的汽車保險索賠頻率是否存在顯著差異。公司隨機(jī)抽取了三類年齡段的客戶樣本，記錄了他們在一年內(nèi)的索賠次數(shù)。請簡述適用于此問題的統(tǒng)計方法，并說明選擇該方法的理論依據(jù)。三、假設(shè)某金融機(jī)構(gòu)認(rèn)為，客戶的信用風(fēng)險（可用一個連續(xù)變量R表示，取值范圍0到100，越高代表風(fēng)險越高）與其年收入（Y，單位：萬元）和負(fù)債比率（D，小數(shù)形式）有關(guān)。現(xiàn)收集了100個客戶的樣本數(shù)據(jù)，并希望利用這些數(shù)據(jù)建立回歸模型來預(yù)測客戶的信用風(fēng)險。請寫出建立該回歸模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并說明回歸系數(shù)的含義。在建立模型后，該機(jī)構(gòu)發(fā)現(xiàn)模型殘差存在異方差性，簡述你對殘差異方差性可能產(chǎn)生的影響，并提出一種常用的處理方法。四、在評估一項投資項目的市場風(fēng)險時，分析師收集了該投資項目過去5年的月度收益率數(shù)據(jù)。請說明使用時間序列分析方法（如ARIMA模型）評估此類風(fēng)險的原理。如果分析師選擇使用簡單移動平均法（如3期移動平均）來預(yù)測未來一個月的收益率，與使用ARIMA模型相比，這種方法有何主要局限性？五、某制造企業(yè)關(guān)心其產(chǎn)品在保修期內(nèi)的故障風(fēng)險。他們收集了100臺產(chǎn)品的保修期故障數(shù)據(jù)，并想了解不同生產(chǎn)工藝（A,B,C三種）對產(chǎn)品故障率是否有影響。請設(shè)計一個統(tǒng)計分析方案來檢驗這一假設(shè)。方案中應(yīng)包含你將使用的統(tǒng)計檢驗方法、相關(guān)的統(tǒng)計假設(shè)（原假設(shè)和備擇假設(shè)）、以及你將如何解釋檢驗結(jié)果以判斷生產(chǎn)工藝對故障率的影響。六、在實際的風(fēng)險評估項目中，經(jīng)常需要使用抽樣調(diào)查來估計總體風(fēng)險參數(shù)（如某群體的違約概率）。請說明在抽樣過程中，樣本量的大小會受到哪些因素的影響？如果研究者希望提高抽樣結(jié)果的可靠性（即提高估計的精度），通?？梢圆扇∧男┐胧?？七、某銀行在評估個人貸款申請人的信用風(fēng)險時，除了考慮申請人的收入和負(fù)債外，還關(guān)注其歷史信用行為。銀行收集了申請人的信用評分（一個連續(xù)變量）和是否有逾期還款記錄（一個二元變量：是=1，否=0）。假設(shè)銀行希望建立一個模型，根據(jù)這些信息來判斷申請人是否具有高風(fēng)險（逾期還款可能性大）。請簡述可以用于構(gòu)建此類判斷模型的統(tǒng)計方法有哪些，并比較其中兩種方法的主要區(qū)別。試卷答案一、均值可以反映風(fēng)險水平的集中趨勢或平均水平。標(biāo)準(zhǔn)差衡量風(fēng)險數(shù)據(jù)的離散程度或波動性大小，標(biāo)準(zhǔn)差越大，風(fēng)險波動越劇烈。分位數(shù)（如中位數(shù)、下四分位數(shù)、上四分位數(shù)）可以揭示風(fēng)險分布的位置特征和尾部風(fēng)險信息，例如下四分位數(shù)表示至少有25%的客戶風(fēng)險高于該值。二、適用于此問題的統(tǒng)計方法是方差分析（ANOVA）。選擇ANOVA的理論依據(jù)在于：ANOVA能夠檢驗多個總體（本例中為三個年齡段）的均值是否存在顯著差異。其基本原理基于F檢驗，通過比較組內(nèi)變異和組間變異，判斷不同組別均值是否相等。如果檢驗結(jié)果顯著，則表明至少存在一個年齡段的索賠頻率與其他不同。三、建立該回歸模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：R=β?+β?Y+β?D+ε。其中，R是因變量（信用風(fēng)險），Y是自變量（年收入），D是自變量（負(fù)債比率），β?是截距項，β?和β?分別是年收入和負(fù)債比率對應(yīng)的回歸系數(shù)，ε是誤差項?；貧w系數(shù)β?表示在控制負(fù)債比率不變的情況下，年收入每增加一個單位，信用風(fēng)險R平均變化的量。回歸系數(shù)β?表示在控制年收入不變的情況下，負(fù)債比率D每增加一個單位，信用風(fēng)險R平均變化的量。殘差存在異方差性可能導(dǎo)致OLS估計結(jié)果的方差估計不準(zhǔn)確，使得標(biāo)準(zhǔn)誤差偏小或偏大，進(jìn)而影響假設(shè)檢驗的結(jié)論（如t檢驗可能失效）。常用的處理方法包括加權(quán)最小二乘法（WLS）、使用穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤，或?qū)埐钸M(jìn)行變換（如取平方根）。四、使用時間序列分析方法（如ARIMA模型）評估市場風(fēng)險的原理在于：時間序列數(shù)據(jù)本身蘊含著動態(tài)變化規(guī)律，ARIMA模型通過捕捉數(shù)據(jù)中的自相關(guān)性（AR部分）和趨勢性/季節(jié)性（MA部分），嘗試建立一個能夠解釋過去行為并預(yù)測未來行為的數(shù)學(xué)模型。模型擬合后，可以分析殘差是否隨機(jī)，或直接利用模型進(jìn)行風(fēng)險預(yù)測（如預(yù)測未來收益率的均值和波動）。簡單移動平均法（SMA）是一種平滑技術(shù)，它將最近K期數(shù)據(jù)賦予相同權(quán)重并計算平均值作為下一期的預(yù)測值。其主要局限性在于：它假設(shè)未來的變化完全由過去K期的平均水平?jīng)Q定，忽略了數(shù)據(jù)可能存在的趨勢、季節(jié)性或自相關(guān)性；它是一種“記憶”較短的模型，對近期變化反應(yīng)不靈敏；當(dāng)K期選擇不當(dāng)或數(shù)據(jù)存在長期趨勢時，預(yù)測效果可能較差。五、統(tǒng)計分析方案設(shè)計如下：使用單因素方差分析（One-wayANOVA）來檢驗不同生產(chǎn)工藝（A,B,C）對產(chǎn)品故障率（記為F）是否有顯著影響。相關(guān)的統(tǒng)計假設(shè)為：原假設(shè)（H?）：三種生產(chǎn)工藝下的產(chǎn)品平均故障率相等（即μ_A=μ_B=μ_C）。備擇假設(shè)（H?）：至少有兩種生產(chǎn)工藝下的產(chǎn)品平均故障率不相等（即至少存在μ_i≠μ_j）。檢驗方法通常使用F統(tǒng)計量。如果檢驗結(jié)果的P值小于預(yù)設(shè)的顯著性水平（如α=0.05），則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為生產(chǎn)工藝對故障率有顯著影響；反之，則沒有足夠證據(jù)認(rèn)為生產(chǎn)工藝有顯著影響。解釋結(jié)果時，如果拒絕原假設(shè)，可進(jìn)一步進(jìn)行多重比較（如TukeyHSD檢驗）來確定哪些具體工藝之間存在顯著差異。六、樣本量的大小會受到以下因素的影響：總體規(guī)模的大小、允許的估計誤差（精度要求）、希望達(dá)到的置信水平、以及總體的變異程度（標(biāo)準(zhǔn)差）。在其他條件相同的情況下，總體規(guī)模增大，所需樣本量不一定線性增加；允許的估計誤差越小，所需的樣本量越大；置信水平越高（如從95%提高到99%），所需的樣本量越大；總體變異程度越大，所需的樣本量也越大。如果研究者希望提高抽樣結(jié)果的可靠性（即提高估計的精度），通?？梢圆扇∫韵麓胧簻p小允許的估計誤差（可能需要收集更多數(shù)據(jù)或接受較低置信水平）、提高置信水平（需要增加樣本量）、使用更有效的抽樣方法（如分層抽樣或整群抽樣，可以在不變動總樣本量的情況下提高代表性）、或減小總體的變異程度（如果可能的話）。在抽樣設(shè)計中，增加樣本量通常是直接提高可靠性的有效手段。七、可以用于構(gòu)建此類判斷模型的統(tǒng)計方法主要有：邏輯回歸（LogisticRegression）和決策樹（DecisionTree）。邏輯回歸是一種廣義線性模型，適用于因變量為二元變量（如是否逾期=1或0）的情況，它能夠估計事件發(fā)生的概率，并給出影響概率的各個自變量（收入、負(fù)債、信用評分）的回歸系數(shù)及其顯著性。決策樹是一種非參數(shù)的監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，通過遞