2025年大學《數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學》專業(yè)題庫——數(shù)學在傳染病病研究中的作用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述SIR模型的含義，包括其中各個符號的含義以及模型的基本假設(shè)。二、推導SIR模型中易感者數(shù)量\(S(t)\)隨時間\(t\)的變化率方程。三、解釋在SEIR模型中引入潛伏期\(E\)和移除期\(R_0\)的意義，并說明\(R_0\)的流行病學意義。四、給定一個描述某種傳染病傳播的微分方程模型：\[\frac{dS}{dt}=-\beta\frac{SI}{N},\quad\frac{dI}{dt}=\beta\frac{SI}{N}-\gammaI,\quad\frac{dR}{dt}=\gammaI\]其中\(zhòng)(S,I,R\)分別表示易感者、感染者、移除者的數(shù)量，\(N=S+I+R\)為總?cè)丝跀?shù)，\(\beta\)為傳染率，\(\gamma\)為移除率。請說明該模型屬于哪種類型，并分析其平衡點的意義。五、在傳染病模型中，參數(shù)估計通常使用實際數(shù)據(jù)進行擬合。簡述利用最小二乘法估計模型參數(shù)的基本思想。六、考慮一個簡單的SIR模型：\[\frac{dS}{dt}=-\beta\frac{SI}{N},\quad\frac{dI}{dt}=\beta\frac{SI}{N}-\gammaI,\quad\frac{dR}{dt}=\gammaI\]假設(shè)初始時刻\(t=0\)時，易感者人數(shù)為\(S_0\)，感染者人數(shù)為\(I_0\)，移除者人數(shù)為\(R_0=0\)，總?cè)丝跀?shù)\(N\)為常數(shù)。請描述該模型在\(R_0\leq1\)和\(R_0>1\)兩種情況下可能的長期行為趨勢，并解釋原因。七、某地區(qū)發(fā)生流感爆發(fā)，初始時刻\(t=0\)有100名感染者，經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，5天后感染者數(shù)量下降到50人。假設(shè)流感傳播符合標準的SIR模型，且移除率\(\gamma=0.2\)人/天。請估計該流感的傳染率\(\beta\)。八、比較微分方程模型和差分方程模型在描述傳染病傳播過程中的優(yōu)缺點。九、在傳染病模型研究中，常使用計算機模擬來研究不同參數(shù)對模型結(jié)果的影響。簡述利用計算機模擬研究傳染病傳播的基本步驟。十、討論將數(shù)學模型應(yīng)用于實際傳染病防控中的價值和局限性。試卷答案一、SIR模型是一個經(jīng)典的compartmentalmodel，用于描述傳染病在人群中的傳播過程。其中：\(S(t)\)表示在時間\(t\)易感者（Susceptible）的數(shù)量；\(I(t)\)表示在時間\(t\)感染者（Infected）的數(shù)量；\(R(t)\)表示在時間\(t\)已康復(fù)并具有免疫力的移除者（Recovered）的數(shù)量；模型的基本假設(shè)包括：1.總?cè)丝跀?shù)\(N\)是恒定的，不考慮出生和死亡，或出生率等于死亡率；2.人群分為三類，且個體只能在三類之間轉(zhuǎn)移；3.傳染是瞬時完成的，且傳染率與易感者和感染者的人數(shù)乘積成正比；4.康復(fù)后個體獲得永久免疫力，不再感染；5.模型中的參數(shù)（如傳染率\(\beta\)）是常數(shù)。二、根據(jù)SIR模型，易感者數(shù)量\(S\)的變化率由兩部分引起：一部分是因為感染感染者而變成感染者，這部分人數(shù)為\(\frac{\betaSI}{N}\)（\(S\)乘以接觸到的感染者比例\(\frac{I}{N}\)再乘以傳染率\(\beta\)）；另一部分是因為康復(fù)或死亡而離開易感者群體，這部分人數(shù)為\(\gammaR\)（這里假設(shè)離開易感者群體的方式只有康復(fù)或死亡，且速率由\(\gammaR\)表示，雖然標準SIR模型通常只考慮康復(fù)，速率前通常不帶\(R\)，此處按題目給定的方程形式推導）。因此，\(S\)的變化率為：\[\frac{dS}{dt}=-\frac{\betaSI}{N}-\gammaR\]注意：標準SIR模型中，離開易感者群體的唯一途徑是感染變?yōu)楦腥菊?，其速率?yīng)為\(\frac{\betaSI}{N}\)，對應(yīng)的方程為\(\frac{dS}{dt}=-\frac{\betaSI}{N}\)。本題給出的方程形式\(\frac{dS}{dt}=-\frac{\betaSI}{N}-\gammaR\)不完全符合標準SIR模型定義，但按題意推導如下：總?cè)丝赲(N=S+I+R\)，所以\(R=N-S-I\)。代入：\[\frac{dS}{dt}=-\frac{\betaSI}{N}-\gamma(N-S-I)\]\[\frac{dS}{dt}=-\frac{\betaSI}{N}-\gammaN+\gammaS+\gammaI\]這個推導似乎與題目原方程\(-\frac{\betaSI}{N}-\gammaR\)不完全對應(yīng)，除非題目中的\(\gammaR\)有特殊含義或模型設(shè)定不同。若嚴格按照標準SIR模型定義，\(S\)的變化率僅由\(-\frac{\betaSI}{N}\)決定。此處按題目給出的方程形式直接書寫結(jié)果。\[\frac{dS}{dt}=-\frac{\betaSI}{N}-\gammaR\]三、SEIR模型在SIR模型的基礎(chǔ)上，增加了潛伏期（Exposed）人群\(E\)，將人群分為四類：易感者\(S\)、潛伏者\(E\)、感染者\(I\)、移除者\(R\)。引入潛伏期\(E\)的意義在于更精確地描述傳染病的傳播過程，因為在感染者和出現(xiàn)癥狀（或具有傳染性）之間存在一個潛伏期。這個階段的人雖然不發(fā)病，但已經(jīng)感染病毒，具有傳染性，忽略這一階段會導致對傳染病傳播速度和范圍的低估。\(R_0\)（基本再生數(shù)）是傳染病模型中的一個關(guān)鍵參數(shù)，其含義是：在完全易感的populations中，一個感染者在其整個傳染期內(nèi)平均能傳染給多少個新的易感者。\(R_0\)的大小直接反映了傳染病的傳播能力：*若\(R_0>1\)，意味著一個感染者平均能傳染超過一個易感者，感染會擴散，可能引發(fā)流行或大流行。*若\(R_0=1\)，意味著一個感染者平均剛好傳染一個易感者，感染規(guī)模會維持穩(wěn)定（接近平衡）。*若\(R_0<1\)，意味著一個感染者平均傳染不到一個易感者，感染會逐漸消失。四、該模型屬于SIR（Susceptible-Infected-Recovered）模型。模型包含三個方程，描述易感者\(S\)、感染者\(I\)和移除者\(R\)數(shù)量隨時間\(t\)的變化。平衡點是指當\(\frac{dS}{dt}=0\),\(\frac{dI}{dt}=0\),\(\frac{dR}{dt}=0\)同時成立時的\((S,I,R)\)值。令\(\frac{dS}{dt}=-\beta\frac{SI}{N}=0\)，得\(S=0\)或\(I=0\)。令\(\frac{dI}{dt}=\beta\frac{SI}{N}-\gammaI=I(\beta\frac{S}{N}-\gamma)=0\)，得\(I=0\)或\(\beta\frac{S}{N}=\gamma\)。令\(\frac{dR}{dt}=\gammaI=0\)，得\(I=0\)。綜合以上，只有當\(I=0\)時，所有方程同時為零。1.零平衡點(Zeroequilibrium):當\(I=0\)時，根據(jù)\(\frac{dS}{dt}=0\)得\(S=0\)。此時\(R=N-S-I=N\)。所以零平衡點為\((S,I,R)=(0,0,N)\)。這代表沒有人感染，所有人都已移除（康復(fù)或死亡）。2.非零平衡點(Non-zeroequilibrium):當\(I\neq0\)時，需滿足\(\beta\frac{S}{N}=\gamma\)，即\(S=\frac{\gammaN}{\beta}\)。此時\(R=N-S-I=N-\frac{\gammaN}{\beta}-I=N(1-\frac{\gamma}{\beta})-I\)。由于\(\frac{dR}{dt}=\gammaI=0\)，所以\(I=0\)。這與\(I\neq0\)矛盾。因此，除非\(\beta\frac{S}{N}=\gamma\)導致\(S=0\)，否則非零平衡點不存在。但\(S=0\)時，\(I=0\)，回到了零平衡點。五、利用最小二乘法估計模型參數(shù)的基本思想是：選擇模型參數(shù)的值，使得模型預(yù)測值與實際觀測值之間的“誤差平方和”最小。具體步驟如下：1.假設(shè)模型的形式為\(y=f(x;\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_k)\)，其中\(zhòng)(y\)是觀測值，\(x\)是自變量（如時間），\(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_k\)是需要估計的模型參數(shù)。2.收集一組實際觀測數(shù)據(jù)\((x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)\)。3.對于每個觀測點\(i\)，計算模型在\(x_i\)處的預(yù)測值\(\hat{y}_i=f(x_i;\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_k)\)與實際觀測值\(y_i\)之間的殘差（誤差）\(e_i=y_i-\hat{y}_i\)。4.計算所有觀測點殘差的平方和（誤差平方和，SumofSquaredResiduals,SSR）：\[SSR(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_k)=\sum_{i=1}^{n}e_i^2=\sum_{i=1}^{n}(y_i-f(x_i;\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_k))^2\]5.找到使SSR最小的參數(shù)值\(\theta_1^*,\theta_2^*,\dots,\theta_k^*\)。這通常通過求導并令導數(shù)為零的方法（如梯度下降法或牛頓法）來求解。6.這些使SSR最小的參數(shù)值\(\theta_1^*,\theta_2^*,\dots,\theta_k^*\)就是利用最小二乘法估計得到的模型參數(shù)估計值。六、對于簡單的SIR模型：\[\frac{dS}{dt}=-\frac{\betaSI}{N},\quad\frac{dI}{dt}=\frac{\betaSI}{N}-\gammaI,\quad\frac{dR}{dt}=\gammaI\]其基本再生數(shù)\(R_0=\frac{\beta}{\gamma}\)。*當\(R_0\leq1\)時：模型顯示平均每個感染者在其整個傳染期內(nèi)只能感染少于或等于一個易感者。由于傳染鏈難以持續(xù)，感染人數(shù)\(I(t)\)會隨著時間的推移逐漸減少，最終趨向于零。這意味著傳染病將會在人群中消失（達到消除狀態(tài)，Elimination）。易感者\(S\)的數(shù)量最終會趨向于總?cè)丝赲(N\)。*當\(R_0>1\)時：模型顯示平均每個感染者在其整個傳染期內(nèi)能感染多于一個易感者。這表明傳染鏈可以持續(xù)并擴散，感染人數(shù)\(I(t)\)會先增加，達到一個峰值后，由于易感者數(shù)量減少或其他因素（如引入移除者\(R\)），感染人數(shù)\(I(t)\)會逐漸減少，最終趨向于零。但在此過程中，傳染病曾在人群中廣泛傳播。易感者\(S\)的數(shù)量會隨著感染的發(fā)生而減少，最終趨向于一個穩(wěn)定值\(S_{\infty}\)，此時\(\frac{dS}{dt}=0\)，即\(-\frac{\betaS_{\infty}I_{\infty}}{N}=0\)。由于\(I_{\infty}\)不可能為零（否則就是\(R_0\leq1\)的情況），這意味著\(S_{\infty}\)必須為零。但這與標準SIR模型的行為不符，標準SIR模型中\(zhòng)(S_{\infty}\neq0\)。這個矛盾通常表明，當\(R_0>1\)時，標準SIR模型預(yù)測的長期行為是\(I(t)\)趨于一個正值\(I_{\infty}\)，而\(S(t)\)趨于一個正值\(S_{\infty}\)，且\(S_{\infty}+I_{\infty}=N(1-\frac{1}{R_0})\)。因此，更準確的趨勢描述是：當\(R_0>1\)，感染會擴散，\(I(t)\)達到峰值后逐漸下降但不會完全消失（趨向\(I_{\infty}>0\)），易感者\(S(t)\)會持續(xù)減少但不會完全消失（趨向\(S_{\infty}>0\)）。七、根據(jù)題意，流感傳播符合標準的SIR模型，初始時刻\(t=0\)時，\(S(0)=S_0\),\(I(0)=100\),\(R(0)=0\)，總?cè)丝赲(N\)為常數(shù)。移除率\(\gamma=0.2\)人/天。模型方程為：\[\frac{dI}{dt}=\beta\frac{SI}{N}-\gammaI\]當\(I\)數(shù)量很大時，可以近似認為\(S\approxS_0\)且\(N\approxS_0+I\approxI\)（因為\(I\)從100開始增加，\(S_0\)相對于\(I\)較?。４敕匠蹋篭[\frac{dI}{dt}\approx\beta\frac{S_0I}{I}-\gammaI=\betaS_0-\gammaI\]\[\frac{dI}{dt}=\betaS_0-0.2I\]這是一個一階線性微分方程。其通解為：\[I(t)=\left(I(0)-\frac{\betaS_0}{0.2}\right)e^{-0.2t}+\frac{\betaS_0}{0.2}\]\[I(t)=\left(100-5\betaS_0\right)e^{-0.2t}+5\betaS_0\]題目給出5天后感染者數(shù)量下降到50人，即\(I(5)=50\)。代入\(t=5\)，\(I(5)=50\)：\[50=\left(100-5\betaS_0\right)e^{-1}+5\betaS_0\]\[50=\left(100-5\betaS_0\right)\cdot0.3679+5\betaS_0\]\[50=36.79-1.8395\betaS_0+5\betaS_0\]\[50=36.79+3.1605\betaS_0\]\[13.21=3.1605\betaS_0\]\[\betaS_0=\frac{13.21}{3.1605}\approx4.186\]由于\(\beta\)的單位是1/天，\(S_0\)的單位是人數(shù)，\(\betaS_0\)的單位是1。題目未給出\(S_0\)的具體值，但估計得到\(\betaS_0\approx4.186\)。若假設(shè)\(S_0\)是一個相對較大的常數(shù)，可以粗略估計\(\beta\approx\frac{4.186}{S_0}\)。例如，如果假設(shè)\(S_0\approx1000\)（一個常見的人均易感者比例假設(shè)），則\(\beta\approx\frac{4.186}{1000}\approx0.00419\)/天。八、微分方程模型和差分方程模型在描述傳染病傳播過程中各有優(yōu)缺點：微分方程模型(ContinuousModels):*優(yōu)點:*數(shù)學上更優(yōu)雅、理論更完善，便于進行數(shù)學推導和分析，例如求解平衡點、穩(wěn)定性分析、求解相平面等。*可以提供對傳染過程連續(xù)變化的精確描述，捕捉更細微的動態(tài)特征。*更容易引入連續(xù)變化的參數(shù)，如隨時間變化的傳染率或移除率。*缺點:*通常需要連續(xù)的、可微分的函數(shù)來描述狀態(tài)變量，這可能不符合實際情況，因為人口數(shù)量和狀態(tài)轉(zhuǎn)換（如感染、康復(fù)）通常是離散的。*求解復(fù)雜的微分方程可能非常困難，解析解很少，通常需要數(shù)值方法。*對參數(shù)的敏感性分析可能比較復(fù)雜。差分方程模型(DiscreteModels):*優(yōu)點:*直接在離散的時間步長上建模，更符合人口數(shù)量和狀態(tài)轉(zhuǎn)換的離散性特征。*求解通常比微分方程更容易，可以直接迭代計算，便于編程實現(xiàn)數(shù)值模擬。*更易于處理參數(shù)的離散取值或階梯式變化。*更直觀地反映狀態(tài)在時間上的跳躍式變化。*缺點:*數(shù)學上不如微分方程模型優(yōu)雅，理論分析工具相對較少。*可能會丟失連續(xù)模型中的一些精細動態(tài)信息，因為狀態(tài)變量在每個時間步長之間是跳躍的。*模型的精度可能受時間步長選擇的影響。選擇哪種模型取決于具體的研究目的、數(shù)據(jù)的性質(zhì)以及對模型精度的要求。連續(xù)模型適合理論分析和精確描述，而離散模型適合數(shù)值模擬和反映狀態(tài)轉(zhuǎn)換的離散性。九、利用計算機模擬研究傳染病傳播的基本步驟通常如下：1.選擇或構(gòu)建模型:根據(jù)研究目的選擇合適的傳染病傳播模型（如SIR、SEIR等），或根據(jù)實際觀察構(gòu)建新的模型。2.確定模型參數(shù):收集數(shù)據(jù)或基于文獻、專家意見估計模型中的參數(shù)值（如傳染率\(\beta\)、移除率\(\gamma\)、潛伏期等）。3.設(shè)定模擬場景和初始條件:定義模擬的時間范圍、時間步長，設(shè)定模擬開始時的初始狀態(tài)（如易感者、感染者、移除者的初始數(shù)量）。4.編寫模擬程序:使用編程語言（如Python,MATLAB,R等）實現(xiàn)模型的數(shù)學方程，模擬