2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——橢圓曲線(xiàn)密碼的數(shù)學(xué)原理考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題1.設(shè)橢圓曲線(xiàn)E定義在有限域F_p上，方程為y^2=x^3+ax+b，若點(diǎn)P=(x_1,y_1)在E上，則點(diǎn)-P=(x_1,-y_1)也在E上，這體現(xiàn)了橢圓曲線(xiàn)的________性質(zhì)。2.離散對(duì)數(shù)問(wèn)題是指給定橢圓曲線(xiàn)上的點(diǎn)G,P=kG，其中k是一個(gè)整數(shù)，求k的過(guò)程，該問(wèn)題是計(jì)算上的________難題。3.在橢圓曲線(xiàn)公鑰密碼體制中，用戶(hù)的私鑰是一個(gè)整數(shù)d，公鑰是一個(gè)與私鑰相關(guān)的橢圓曲線(xiàn)上的點(diǎn)Q=dG，其中G是基點(diǎn)。4.橢圓曲線(xiàn)數(shù)字簽名算法ECDSA的安全性依賴(lài)于離散對(duì)數(shù)問(wèn)題的難度和橢圓曲線(xiàn)上的________攻擊的難度。5.比較相同安全級(jí)別的RSA和ECC，ECC所需的密鑰長(zhǎng)度更短，這是因?yàn)镋CC的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題比RSA中的整數(shù)分解問(wèn)題更難。二、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述橢圓曲線(xiàn)上的點(diǎn)加運(yùn)算的定義和幾何意義。2.解釋為什么橢圓曲線(xiàn)上的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題被認(rèn)為是困難的。3.概述橢圓曲線(xiàn)公鑰密碼體制的基本工作流程。4.簡(jiǎn)述橢圓曲線(xiàn)密碼體制可能面臨的攻擊類(lèi)型。三、計(jì)算題1.設(shè)橢圓曲線(xiàn)E定義在有限域F_11上，方程為y^2=x^3-x，求橢圓曲線(xiàn)E上所有點(diǎn)的坐標(biāo)。2.設(shè)橢圓曲線(xiàn)E定義在有限域F_p上，方程為y^2=x^3+ax+b，基點(diǎn)為G=(x_1,y_1)，計(jì)算2G和3G的坐標(biāo)（提示：使用點(diǎn)加和點(diǎn)倍運(yùn)算）。3.設(shè)橢圓曲線(xiàn)E定義在有限域F_p上，方程為y^2=x^3+ax+b，基點(diǎn)為G=(x_1,y_1)，用戶(hù)私鑰d=5，計(jì)算用戶(hù)的公鑰Q的坐標(biāo)。四、分析題1.分析為什么選擇合適的橢圓曲線(xiàn)參數(shù)對(duì)于橢圓曲線(xiàn)密碼體制的安全性至關(guān)重要。2.比較并分析橢圓曲線(xiàn)密碼體制與RSA密碼體制的安全性、效率和應(yīng)用場(chǎng)景的異同。試卷答案一、填空題1.對(duì)稱(chēng)2.困難3.關(guān)系4.計(jì)算機(jī)攻擊5.難度二、簡(jiǎn)答題1.解析思路：橢圓曲線(xiàn)上的點(diǎn)加運(yùn)算定義在曲線(xiàn)方程上，對(duì)于曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)P=(x1,y1)和Q=(x2,y2)，如果P≠Q(mào)，則點(diǎn)R=(x3,y3)由直線(xiàn)L經(jīng)過(guò)P和Q的方程與曲線(xiàn)方程聯(lián)立解出，其中x3是該直線(xiàn)與曲線(xiàn)的另一交點(diǎn)坐標(biāo)的x值，y3的符號(hào)取決于x3；如果P=Q，則R由切線(xiàn)經(jīng)過(guò)P的方程與曲線(xiàn)方程聯(lián)立解出，y3的符號(hào)取決于x3。幾何意義是：P和Q的點(diǎn)加運(yùn)算結(jié)果R是過(guò)P和Q（或P的切線(xiàn)）與橢圓曲線(xiàn)的另一交點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。2.解析思路：橢圓曲線(xiàn)上的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題難在于：雖然已知基點(diǎn)G、公鑰點(diǎn)P=kG和曲線(xiàn)參數(shù)，但找到整數(shù)k使得等式kG=P成立在計(jì)算上是不可行的。目前沒(méi)有已知的多項(xiàng)式時(shí)間算法可以有效地解決這個(gè)問(wèn)題，這被認(rèn)為是難解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其難度是構(gòu)造安全橢圓曲線(xiàn)密碼體制的基礎(chǔ)。3.解析思路：橢圓曲線(xiàn)公鑰密碼體制的基本工作流程包括：選擇一個(gè)合適的橢圓曲線(xiàn)和基點(diǎn)G；用戶(hù)選擇一個(gè)隨機(jī)整數(shù)d作為私鑰；計(jì)算用戶(hù)的公鑰Q=dG；通信雙方使用對(duì)方的公鑰進(jìn)行加密和解密，或進(jìn)行數(shù)字簽名和驗(yàn)證。核心是利用了橢圓曲線(xiàn)上離散對(duì)數(shù)問(wèn)題的困難性。4.解析思路：橢圓曲線(xiàn)密碼體制可能面臨的攻擊類(lèi)型主要包括：窮舉攻擊（嘗試所有可能的私鑰）；生日攻擊（尋找與已知點(diǎn)相等的點(diǎn)以推斷私鑰）；共線(xiàn)攻擊（利用橢圓曲線(xiàn)幾何性質(zhì)尋找碰撞點(diǎn)）；timingattack（利用計(jì)算時(shí)間差異推斷私鑰）；側(cè)信道攻擊（通過(guò)測(cè)量功耗、時(shí)間等側(cè)信道信息推斷私鑰）；以及針對(duì)特定曲線(xiàn)參數(shù)或?qū)崿F(xiàn)漏洞的攻擊。三、計(jì)算題1.解析思路：將x的所有可能值（0到p-1）代入橢圓曲線(xiàn)方程y^2=x^3-x，計(jì)算y^2，檢查是否存在y^2在模p下的平方根。對(duì)于每個(gè)x，計(jì)算x^3-x，然后檢查該值是否是F_p中的完全平方數(shù)。如果是，則找出所有模p的平方根y，得到(x,y)和(x,-y)作為解。需要遍歷F_11中的所有元素。2.解析思路：使用橢圓曲線(xiàn)點(diǎn)加和點(diǎn)倍的定義。2G是G+G，3G是G+2G。首先計(jì)算2G，需要找到過(guò)G和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線(xiàn)（即G的切線(xiàn)），這條直線(xiàn)與曲線(xiàn)的另一點(diǎn)R的x坐標(biāo)是x3，y坐標(biāo)是-y3（無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)y坐標(biāo)為0）。然后計(jì)算3G，使用點(diǎn)加運(yùn)算G+R（其中R是2G的結(jié)果）。需要找到過(guò)G和R的直線(xiàn)，這條直線(xiàn)與曲線(xiàn)的另一點(diǎn)S的x坐標(biāo)是x4，y坐標(biāo)是-y4。最終3G的坐標(biāo)是(x4,-y4)。計(jì)算過(guò)程中需要應(yīng)用橢圓曲線(xiàn)方程和點(diǎn)加公式。3.解析思路：根據(jù)公鑰計(jì)算公式Q=dG，需要將私鑰d=5和基點(diǎn)G=(x1,y1)代入。計(jì)算過(guò)程類(lèi)似于計(jì)算3G，即計(jì)算5G=G+4G=G+2(G+G)=G+2R，其中R是2G的結(jié)果。按照點(diǎn)加和點(diǎn)倍的定義，依次計(jì)算G,2G,4G，最后得到5G的坐標(biāo)(x5,y5)。四、分析題1.解析思路：合適的橢圓曲線(xiàn)參數(shù)對(duì)于安全至關(guān)重要，因?yàn)閰?shù)的選擇直接影響離散對(duì)數(shù)問(wèn)題的難度。如果曲線(xiàn)方程或基點(diǎn)選擇不當(dāng)，可能存在已知的有效算法或捷徑來(lái)求解離散對(duì)數(shù)，導(dǎo)致密碼體制被攻破。例如，如果曲線(xiàn)定義在過(guò)小或結(jié)構(gòu)特殊的有限域上，可能存在結(jié)構(gòu)化攻擊。合適的參數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足：曲線(xiàn)階數(shù)足夠大且為質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)冪），基點(diǎn)是生成元，曲線(xiàn)沒(méi)有壞點(diǎn)（如奇異點(diǎn)），并且對(duì)于所有小于曲線(xiàn)階數(shù)的整數(shù)n，nG都是不可約的（即nG不能分解為兩個(gè)階數(shù)小于n的點(diǎn)的和），這可以抵抗Pohlig-Hellman等分解攻擊。2.解析思路：安全性：ECC在相同安全級(jí)別下（例如相同的有效密鑰位數(shù)）所需的密鑰長(zhǎng)度遠(yuǎn)短于RSA。這是因?yàn)镋CC的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題比RSA的整數(shù)分解問(wèn)題更難，抵抗已知攻擊（如通用數(shù)位分解算法GNFS）的能力更強(qiáng)。效率：ECC的計(jì)算效率通常高于RSA，尤其是在點(diǎn)加等基本運(yùn)算上，這使得ECC在資源受限的設(shè)備（如智能卡、傳感器）上更受歡迎。應(yīng)用場(chǎng)景：由于密鑰長(zhǎng)度短和效率高，ECC在需要低帶寬、低功