2025年大學《應(yīng)用統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——多樣本擬合與模型比較考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在括號內(nèi)）1.在一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，ε通常被假設(shè)服從什么分布？(A)正態(tài)分布(B)二項分布(C)泊松分布(D)均勻分布2.若在一元線性回歸分析中，計算得到R2=0.85，則意味著因變量的變異中有多少比例可以由自變量X解釋？(A)15%(B)85%(C)90%(D)無法確定3.在多元線性回歸模型中，判斷整個回歸方程是否具有統(tǒng)計顯著性的檢驗是？(A)t檢驗(B)F檢驗(C)卡方檢驗(D)Z檢驗4.多元線性回歸分析中，若存在多重共線性，可能會導(dǎo)致什么后果？(A)回歸系數(shù)的估計值方差增大(B)回歸系數(shù)的估計值方差減小(C)模型擬合優(yōu)度R2極低(D)模型預(yù)測精度必然下降5.用于衡量回歸模型擬合優(yōu)度，且考慮了模型復(fù)雜度的統(tǒng)計量是？(A)R2(B)標準誤差(C)AIC(D)t值6.在殘差分析中，繪制殘差與擬合值散點圖的主要目的是檢驗什么？(A)殘差的正態(tài)性(B)模型方差的齊性(C)自變量與因變量的線性關(guān)系(D)殘差的獨立性7.若殘差分析顯示殘差存在明顯的系統(tǒng)性模式，則通常表明？(A)模型擬合得很好(B)模型遺漏了重要的解釋變量(C)殘差方差不齊(D)數(shù)據(jù)存在異常值8.在比較兩個nestedmodel（嵌套模型）的擬合優(yōu)度時，應(yīng)選擇信息準則中值更小的模型，這個信息準則是？(A)R2(B)AIC(C)BIC(D)F統(tǒng)計量9.在進行多元線性回歸時，若要檢驗變量X?對模型是否有顯著貢獻，應(yīng)進行哪種檢驗？(A)F檢驗(B)t檢驗（針對β?）(C)逐步回歸分析(D)方差分析10.若在一元線性回歸的殘差圖中，殘差呈曲線模式，這通常暗示模型可能遺漏了什么？(A)解釋變量的非線性關(guān)系(B)混雜變量(C)異常值(D)殘差方差不齊二、填空題（每小題2分，共20分。請將答案填在橫線上）1.回歸平方和（SSR）是總平方和（SST）與_______之差。2.在多元線性回歸模型中，參數(shù)β?的t檢驗用于判斷自變量X?對因變量Y是否有_______的線性影響。3.殘差平方和（SSE）反映了模型未能解釋的_______的程度。4.當多重共線性嚴重時，回歸系數(shù)的估計值可能會變得_______且不穩(wěn)定。5.AIC統(tǒng)計量中，包含了回歸模型自由度的影響，其計算形式為AIC=2k+_______，其中k是模型參數(shù)個數(shù)，S是模型擬合的赤池信息準則統(tǒng)計量。6.模型診斷中，正態(tài)性檢驗通常使用_______圖或_______檢驗。7.若在多元線性回歸中，某個自變量的VIF值遠大于10（或某個閾值），則表明該變量可能存在嚴重的_______問題。8.對于通過逐步回歸選出的模型，仍需要進行_______分析，以確認模型的有效性。9.在比較兩個非嵌套模型（如線性vs.非線性）時，僅使用R2進行選擇通常是_______的。10.殘差與擬合值散點圖中，理想情況下，殘差應(yīng)隨機分布在_______線的周圍。三、計算題（每小題10分，共30分）1.在一項關(guān)于廣告投入（萬元）與銷售額（萬元）的研究中，得到如下數(shù)據(jù)：n=5,Σ(xi)=15,Σ(xi2)=55,Σ(yi)=40,Σ(yi2)=168,Σ(xi*yi)=80。假設(shè)數(shù)據(jù)符合一元線性回歸模型。要求：(1)求銷售額對廣告投入的一元線性回歸方程。(2)計算該回歸模型的R2。2.某研究者收集了關(guān)于房屋面積（平方米，X?）、房屋年齡（年，X?）和房屋價格（萬元，Y）的數(shù)據(jù)，并通過統(tǒng)計軟件得到如下多元線性回歸部分輸出結(jié)果（標準化的回歸系數(shù)Beta已省略，其余為原始系數(shù)及檢驗統(tǒng)計量）：```回歸系數(shù)標準誤t值P值常數(shù)項3.51.22.920.05X?(面積)1.80.44.500.01X?(年齡)-0.50.3-1.670.12```假設(shè)模型整體顯著性檢驗的F值及其P值均顯著。要求：(1)判斷房屋面積對價格是否有顯著的線性影響？請說明理由。(2)判斷房屋年齡對價格是否有顯著的線性影響？請說明理由。(3)解釋常數(shù)項回歸系數(shù)的含義（若能解釋）。3.對于一個通過逐步回歸選出的多元線性回歸模型，研究者進行了殘差分析。部分結(jié)果如下：(1)殘差與擬合值散點圖顯示殘差大致呈水平直線分布。(2)正態(tài)概率（Q-Q）圖顯示殘差點大致落在參考線上。(3)使用軟件檢驗殘差的方差齊性，得到F(4,20)=1.75,P=0.19。假設(shè)樣本量為n=25。要求：(1)根據(jù)散點圖和Q-Q圖，描述殘差在正態(tài)性和方差齊性方面的情況。(2)根據(jù)F檢驗結(jié)果，判斷是否存在殘差方差不齊的問題？請說明理由。(3)基于以上殘差分析結(jié)果，該模型在應(yīng)用中需要注意什么？四、簡答題（每小題5分，共10分）1.簡述多重共線性可能對多元線性回歸分析造成哪些不良影響。2.在進行回歸模型選擇時，除了考慮模型的擬合優(yōu)度（如R2），還應(yīng)考慮哪些因素？五、分析題（10分）某公司想研究員工培訓(xùn)時長（X，小時）和月銷售額（Y，千元）之間的關(guān)系。收集了10名銷售員的樣本數(shù)據(jù)，并建立了以月銷售額為因變量，以培訓(xùn)時長為自變量的線性回歸模型。模型擬合后，發(fā)現(xiàn)R2=0.64，對培訓(xùn)時長的回歸系數(shù)進行檢驗，t=2.1,P=0.055。同時，殘差分析顯示殘差與擬合值散點圖呈漏斗狀，且正態(tài)概率圖顯示殘差點偏離參考線。請問：(1)根據(jù)R2和回歸系數(shù)的檢驗結(jié)果（注意P值），可以得出什么初步結(jié)論？(2)殘差分析結(jié)果（漏斗狀散點圖、偏離的Q-Q圖）表明模型存在哪些潛在問題？(3)綜合考慮上述信息，評價該線性回歸模型的應(yīng)用價值，并提出可能的改進建議。試卷答案一、選擇題1.A2.B3.B4.A5.C6.B7.B8.B9.B10.A二、填空題1.殘差平方和（SSE）2.顯著3.總變異4.大5.S2（或赤池信息準則統(tǒng)計量S）6.殘差、正態(tài)7.多重共線性8.殘差9.不恰當/片面10.0（或零）三、計算題1.(1)設(shè)回歸方程為Y?=a+bx，則b=[nΣ(xi*yi)-Σ(xi)Σ(yi)]/[nΣ(xi2)-(Σ(xi))2]=[5*80-15*40]/[5*55-152]=20/10=2。a=(Σ(yi)/n)-b(Σ(xi)/n)=40/5-2*15/5=8-6=2。回歸方程為Y?=2+2X。(2)SST=Σ(yi2)-(Σ(yi))2/n=168-402/5=168-320=-152。SSR=bΣ(xi*yi)-aΣ(yi)=2*80-2*40=160-80=80。SSE=SST-SSR=-152-80=-232。注意這里計算結(jié)果SSE和SST出現(xiàn)負值，通常表明數(shù)據(jù)或計算過程存在問題，但在選擇題填空中按公式計算。R2=SSR/SST=80/(-152)≈-0.526。若按常規(guī)期望結(jié)果為正，可能題目數(shù)據(jù)需調(diào)整或理解R2為絕對值擬合優(yōu)度等，但按標準公式計算如此。此處按標準公式計算結(jié)果記錄。2.(1)查t分布表，df=n-2=8時，P=0.05單尾時，t臨界值約2.306。因|t|=4.50>2.306，且P值=0.01<0.05，故拒絕原假設(shè)H?：β?=0，認為房屋面積對價格有顯著的線性影響。(2)查t分布表，df=8時，P=0.10單尾時，t臨界值約1.860。因|t|=1.67<1.860，且P值=0.12>0.05，故不能拒絕原假設(shè)H?：β?=0，認為目前證據(jù)不足以表明房屋年齡對價格有顯著的線性影響。(3)常數(shù)項回歸系數(shù)a=3.5的含義是，當所有自變量（X?和X?）都取零時，預(yù)測的因變量Y的值是3.5。注意在實際應(yīng)用中，X?和X?取零可能無意義，此系數(shù)解釋需謹慎。3.(1)殘差與擬合值散點圖呈水平直線分布，表明殘差的方差（離散程度）隨著擬合值的變化而保持穩(wěn)定，滿足方差齊性要求。正態(tài)概率（Q-Q）圖殘差點大致落在參考線上，表明殘差近似服從正態(tài)分布。(2)F檢驗的P值=0.19>0.05，故不能拒絕原假設(shè)H?：方差齊性成立。表明根據(jù)該檢驗結(jié)果，不存在顯著的殘差方差不齊問題。(3)基于以上殘差分析結(jié)果，該模型在應(yīng)用中已通過正態(tài)性和方差齊性檢驗，相對穩(wěn)健。但仍需關(guān)注模型對數(shù)據(jù)的擬合情況，以及是否存在異常值等。四、簡答題1.多重共線性可能導(dǎo)致：回歸系數(shù)估計值方差增大，使得系數(shù)估計不穩(wěn)定且對數(shù)據(jù)的微小變動非常敏感；回歸系數(shù)的符號可能與預(yù)期相反；回歸系數(shù)的t檢驗結(jié)果不顯著，即使變量本身對因變量有影響；模型預(yù)測精度可能下降。2.進行回歸模型選擇時，除了考慮模型的擬合優(yōu)度（如R2、調(diào)整R2），還應(yīng)考慮：模型的理論基礎(chǔ)是否堅實；模型各項統(tǒng)計檢驗是否通過（如F檢驗、各系數(shù)t檢驗）；模型對數(shù)據(jù)的解釋能力和預(yù)測能力；模型的可解釋性和簡潔性（避免過度擬合）；新變量加入模型時是否顯著；模型診斷結(jié)果是否顯示存在嚴重的模型設(shè)定錯誤或違反基本假設(shè)。五、分析題(1)R2=0.64表明模型解釋了因變量變異的64%，擬合程度尚可?；貧w系數(shù)檢驗的P值=0.055>0.05，在5%顯著性水平下，不能拒絕原假設(shè)H?：β=0，即尚不能認為培訓(xùn)時長對月銷售額有顯著的線性影響（基于本次樣本和檢驗結(jié)果）。(2)殘差與擬合值散點圖呈漏斗狀，表明殘差的方差隨擬合值增大而增大，存