專題03等腰（邊）三角形（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律軸對稱圖形的識別掌握軸對稱圖形的定義，學(xué)會識別常見軸對稱圖形及對稱軸數(shù)量?；A(chǔ)題，選擇/填空為主，難度低，易因忽略“完全重合”條件或漏數(shù)對稱軸出錯(cuò)。軸對稱的性質(zhì)掌握軸對稱的性質(zhì)，學(xué)會利用性質(zhì)找對稱點(diǎn)、補(bǔ)全軸對稱圖形。高頻基礎(chǔ)題，?？肌罢覍ΨQ點(diǎn)坐標(biāo)”，易因“垂直平分”理解不深出錯(cuò)。軸對稱與折疊問題掌握折疊問題的本質(zhì)，學(xué)會利用折疊性質(zhì)列等式，求線段長度、角度。中檔題，常結(jié)合矩形、正方形折疊，易因折疊后對應(yīng)關(guān)系找錯(cuò)出錯(cuò)。等腰三角形的三線合一掌握“三線合一”內(nèi)容，學(xué)會利用“三線合一”證明線段相等、角相等或垂直。高頻考點(diǎn)，解答題證明/計(jì)算為主，易因忽略“等腰三角形”前提（非等腰三角形不適用）出錯(cuò)。等腰三角形的等邊對等角掌握“等邊對等角”性質(zhì)，會利用該性質(zhì)計(jì)算等腰三角形的內(nèi)角?；A(chǔ)題，常結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，易因混淆“腰與底”對應(yīng)的角出錯(cuò)。等腰三角形的定義掌握等腰三角形的定義（有兩條邊相等的三角形），學(xué)會識別等腰三角形，區(qū)分腰、底、頂角、底角?；A(chǔ)題，多結(jié)合其他考點(diǎn)（如性質(zhì)、判定）考查，難度低，易因腰和底區(qū)分錯(cuò)誤影響后續(xù)計(jì)算。等腰三角形的性質(zhì)掌握等腰三角形的核心性質(zhì)，學(xué)會綜合運(yùn)用性質(zhì)解決線段、角度問題。高頻基礎(chǔ)題，貫穿選擇、填空、解答題，是等腰三角形相關(guān)題目的核心，易因性質(zhì)混淆（如與等邊三角形性質(zhì)混淆）出錯(cuò)。等邊三角形的性質(zhì)掌握等邊三角形的性質(zhì)，學(xué)會利用性質(zhì)計(jì)算邊長、角度。中檔題，易因忽略“三角均為60°”或“三邊相等”的特殊性出錯(cuò)。等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法（兩邊相等、等角對等邊），學(xué)會根據(jù)已知條件（邊或角）判定三角形是否為等腰三角形。高頻考點(diǎn)，解答題證明為主，易因“等角對等邊”的條件（需在同一三角形內(nèi)）忽略而出錯(cuò)。等邊三角形的判定掌握等邊三角形的判定方法（三邊相等、三角均為60°、有一個(gè)角為60°的等腰三角形），學(xué)會根據(jù)邊或角的條件判定等邊三角形。中檔題，選擇/填空/解答題小問，易因漏用“有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形”這一簡便判定方法出錯(cuò)。將軍飲馬問題掌握將軍飲馬問題的解題思路，學(xué)會在直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和最小。高頻中檔題，常結(jié)合三角形、四邊形背景，易因找錯(cuò)對稱點(diǎn)（如對稱點(diǎn)找反）導(dǎo)致路徑計(jì)算錯(cuò)誤。等腰三角形上最短路徑問題掌握等腰三角形中最短路徑的求解方法，學(xué)會求等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)到各頂點(diǎn)/邊的最短距離和。中檔偏難題，填空/解答題小問，易因未結(jié)合等腰三角形的對稱性（如對稱軸上的點(diǎn)到兩腰距離相等）簡化計(jì)算出錯(cuò)。等腰三角形與全等三角形綜合掌握等腰三角形性質(zhì)/判定與全等三角形判定的結(jié)合運(yùn)用，學(xué)會通過證明全等推導(dǎo)等腰三角形的邊/角關(guān)系，或反之。高頻解答題，拉分點(diǎn)之一，易因全等條件找錯(cuò)（如忽略等腰三角形的邊/角等量關(guān)系）或證明邏輯混亂出錯(cuò)。等邊三角形與全等三角形綜合學(xué)會利用等邊三角形的“三邊相等、三角60°”構(gòu)造全等條件，解決證明、計(jì)算問題。中檔偏難題，解答題為主，?？肌皹?gòu)造等邊三角形證明全等”，易因未利用60°角或等邊的特殊性構(gòu)造全等出錯(cuò)。知識點(diǎn)01軸對稱與軸對稱圖形1.軸對稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱。2.軸對稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)。軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別：①軸對稱圖形說的是一個(gè)具有特殊形狀的圖形；軸對稱說的是兩個(gè)圖形的一種特殊位置關(guān)系。②軸對稱是對兩個(gè)圖形說的，而軸對稱圖形是對一個(gè)圖形說的。聯(lián)系：①都沿某條直線對折，圖形重合。②如把兩個(gè)成軸對稱的圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對稱圖形；反過來，把軸對稱圖形的兩部分分別看作兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形成軸對稱。知識點(diǎn)02軸對稱的性質(zhì)由一個(gè)平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線L成軸對稱的圖形，這個(gè)圖形與原圖形全等（即形狀、大小完全相同）新圖形上的每一點(diǎn)，都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)。連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分。知識點(diǎn)03等腰三角形的概念1.定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a；2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A;3.連接AB,AC.△ABC為所求作的等腰三角形.知識點(diǎn)04等腰三角形的性質(zhì)1.性質(zhì)①兩腰相等②兩底角相等（簡稱等邊對等角）③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡稱為“三線合一”）④等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對稱軸。證明題目中的寫法：①已知高線：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD②已知中線：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD③已知角平分線：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD2.等腰三角形的構(gòu)造“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形①如下左圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OA，則△OCD是等腰三角形②如下右圖所示，OP評分∠AOB，CD∥OB，則△OCD是等腰三角形“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形如下左圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，AD⊥BC，得出等腰三角形“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形如下中圖所示，已知AD是∠BAC的平分線，D是BC中點(diǎn)，則△ABC是等腰三角形“中點(diǎn)+垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）如下右圖所示(5)“平行+等腰”構(gòu)造等腰三角形已知等腰△ABC，過腰或底上作腰或底的平行線知識點(diǎn)05等腰三角形的判定①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱“等角對等邊”）知識點(diǎn)06等邊三角形的概念（1）定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。（2）性質(zhì)：三條邊都相等，三個(gè)角都相等，每一個(gè)角都等于60°（3）判定：①三條邊都相等的三角形是做等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。（4）推論：在直角三角形中，銳角為30°所對的直角邊等于斜邊的一半。題型一軸對稱圖形的識別【典例1】（2223八年級下·浙江·期中）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（）A． B．【變式1】下面四個(gè)圖形中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．題型二軸對稱圖形的性質(zhì)【典例1】（2425八年級上·浙江寧波·期中）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，∠B=35°，A．90° B．85° C．95° D．105°【變式1】（2425八年級上·浙江臺州·期中）如圖，AB=AD，點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E恰好落在CD上．若∠BAD=α0°<α<180°，∠ACB=β，則下列關(guān)系正確的是（

A．a(chǎn)?β=90° B．α+β=180°C．α=3β D．α+2β=180°【變式2】（2223八年級上·浙江麗水·期中）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請?jiān)?×2的方格中畫出三個(gè)頂點(diǎn)都落在小方格的頂點(diǎn)上，且與△ABC成軸對稱的三角形．（要求畫出兩種不同的三角形）

題型三軸對稱與折疊問題【典例1】按如圖的方法折紙，下列說法不正確的是（

）A．∠1與∠3互余 B．∠2=90°C．AE平分∠BEF D．∠1與∠AEC互補(bǔ)【變式1】如圖，把一張長方形紙片ABCD沿MN折疊后，點(diǎn)D，C分別落在點(diǎn)D′，C′的位置，C′D′交BC于點(diǎn)F，若∠AMD

A．108° B．72° C．144° D．126°【變式2】（2526八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，直線DE分別交△ABC邊AC、AB于點(diǎn)D、E，將△ABC沿DE翻折，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)C重合．若AB=3，BC=2，則△BCE的周長是．【變式3】如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，D、C分別落在D′，C′的位置上，ED′與BC交于G點(diǎn)，若∠EFG=56°【變式4】（2425八年級上·浙江金華·期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=140°．(1)如圖1，D為BC邊上一定點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將△ABD沿AD翻折至△AB′D，連結(jié)B′C(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動時(shí)，仍將△ABD沿AD翻折至△AB′D①當(dāng)AB′⊥BC②當(dāng)△DB′C題型四等腰三角形的三線合一【典例1】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是BC邊上的高，若P，Q分別是AD和AC上的動點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（

）

A．2.4 B．4.8 C．7.2 D．9.6【變式1】（2425八年級下·河南鄭州·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC的面積為18，AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F，若D為BC邊的中點(diǎn)，M是線段A．6 B．8 C．9 D．10【變式2】（2526八年級上·江蘇·期中）如圖，在△ABC中，BC=AC，∠B=37°，∠ECM=21°，AF⊥CM，垂足為F．若AF=a，則AB的長為．(用含a的代數(shù)式表示)【變式3】（2324八年級上·安徽蕪湖·期中）如圖，∠ACB=70°，CD是OA的垂直平分線，則∠ACD的度數(shù)為．【變式4】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD，BE相交于點(diǎn)H，AE=BE．(1)求證：△AEH≌△BEC；(2)若AH=4，求BD的長．【變式5】（2425八年級上·湖南衡陽·期中）如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足為F．

(1)求證：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAC的度數(shù)；(3)求證：∠ABF=∠ADC，并直接寫出線段CD、BC、BF之間的數(shù)量關(guān)系．題型五等腰三角形的等邊對等角【典例1】如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC，若CE=5，則BC等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【變式1】在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB邊上任意一點(diǎn)(點(diǎn)D不與A、B兩點(diǎn)重合)，過點(diǎn)D作AB的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，若∠AED=50°，則∠B的度數(shù)為（

）A．60° B．70° C．70°或20° D．60°或30°【變式2】（2324八年級下·湖南衡陽·期中）如圖，已知∠B=20°，∠C=25°，若PM和QN分別垂直平分AB和AC，則∠PAQ=．【變式3】如圖，AB=AC，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接CD．(1)若∠A=40°，求∠BCD的度數(shù)；(2)若△ABC與△BCD的周長之差為10，求AE的長．【變式4】如圖，AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，垂足分別為D，E．求證：∠OBC=∠OCB．【變式5】（2425八年級上·山東濟(jì)寧·期中）在△ABC中，AD是中線．(1)如圖1，若AB=8，AC=5，求AD的取值范圍；(2)如圖2，AE是△ACD的中線，若CA=CD，求證：AB=2AE．【變式6】如圖，在△ABC中，高線AD和角平分線BE相交于點(diǎn)F．已知△BDF≌△ADC．(1)求證：BE⊥AC；(2)求∠C題型六等腰三角形的定義【典例1】（2425八年級上·廣東肇慶·期中）等腰三角形周長是29，其中一邊長是7，則等腰三角形的底邊長是（

）A．11 B．15或7 C．7 D．15【變式1】（2021八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如果等腰三角形兩邊長是6cm和4cm，那么它的周長是（A．10cm B．12cm C．14cm或16【變式2】等腰三角形的一個(gè)角是70°，則它的底角是（

）A．70° B．55° C．80°或100° D．70°或55°【變式3】（2223八年級下·遼寧錦州·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，CE平分△ABC的外角∠ACD，則∠1=度．題型七等腰三角形的性質(zhì)【典例1】（2425八年級上·四川德陽·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC是銳角，以為斜邊在△ABC內(nèi)部作一個(gè)等腰直角三角形△BCD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若F為AC的中點(diǎn)，AB=5，DF=1，則BE=（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【變式1】（2324八年級下·廣西河池·期中）如圖，在△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，G是CE的中點(diǎn)．求證：(1)DG⊥CE；(2)∠B=2∠BCE．【變式2】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，且∠ACF=∠CBG．求證：

(1)AF=CG；(2)CF=2DE．【變式3】（2425八年級上·江蘇南通·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=7cm，題型八等邊三角形的性質(zhì)【典例1】如圖，在等邊三角形ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使CE=CD，則∠E的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．30° D．40°【變式1】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD,DF=DE，則∠E=（

）A．20° B．25° C．10° D．15°【變式2】如圖，在等邊三角形ABC中，AD是邊BC上的高，E是AD上一點(diǎn)．若∠CED=55°，則∠ABE=度．【變式3】如圖△ABC、△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)E在CB延長線上．求證：(1)DB=CE；(2)求∠DBE的度數(shù)．【變式4】如圖，△ABC是等邊三角形，延長BA至點(diǎn)D，延長CB至點(diǎn)E，使AD=BE，連結(jié)AE，CD，EA的延長線交(1)求證：△ABE≌△CAD；(2)求∠CFE的度數(shù)題型九等腰三角形的判定解｜題｜技｜巧1.等角判定法（高頻）：已知“兩角相等”（如∠B=∠C），直接用“等角對等邊”證AB=AC，判定為等腰三角形；2.三線逆用法：若“一個(gè)三角形中，一條線段既是中線又是高”（如AD是△ABC的中線且AD⊥BC），則AB=AC，判定為等腰；3.全等輔助法：缺角相等時(shí)，作角平分線/高，證三角形全等（如作AD平分∠BAC，證△ABD≌△ACD），得AB=AC?！镜淅?】已知∶如圖DE∥BC,∠1=∠E．(1)求證：BE平分∠ABC．(2)三角形BDE是什么三角形？【變式1】如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F(1)求證：AD⊥CF；(2)連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．【變式2】（2425八年級下·陜西榆林·期中）如圖，在△ABD和△DCA中，AB=DC，AC交BD于點(diǎn)O，且AC=DB．求證：△AOD是等腰三角形．【變式3】如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE=CF，CE=DB．(1)求證：△DEF是等腰三角形；(2)當(dāng)∠A=50°時(shí)，求∠DEB+∠FEC的度數(shù)；(3)當(dāng)∠EDF=60°時(shí)，求∠A的度數(shù)．【變式4】如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，過B作BF⊥AD，垂足為F，延長BF交AC于點(diǎn)E．(1)求證：△ABE為等腰三角形；(2)已知AC=13,BD=5，求AB的長．題型十等邊三角形的判定解｜題｜技｜巧1.等腰+60°法（高頻）：已知“等腰三角形+一個(gè)角=60°”（無論頂角還是底角），直接判定為等邊，如AB=AC且∠A=60°→AB=AC=BC；2.三角相等法：已知“三個(gè)角都相等”（如∠A=∠B=∠C=60°），直接判定；3.全等證邊法：已知“一個(gè)三角形與等邊三角形全等”（如△ABC≌△DEF，△DEF是等邊），則△ABC是等邊?！镜淅?】如圖，AG、BG均是△AGB的兩邊，AG的垂直平分線DM交BG的垂直平分線EN于點(diǎn)H．(1)若△GMN的周長為15cm，求AB(2)若∠MHN=80°，求∠MGN的度數(shù)．(3)若M、N是線段AB的三等分點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），直接判斷△MGN的形狀．【變式1】（2425七年級下·吉林·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC,AE⊥BC，垂足分別為D,E，連接DE．求證：△CDE是等邊三角形．【變式2】如圖，已知點(diǎn)A、F、E、B在同一條直線上，CE與DF交于點(diǎn)M，AE=BF，AC=BD，CE=DF，若∠FME=60°，求證：△MFE是等邊三角形．【變式3】（2425八年級上·天津·期中）在△ABC中，AB=AC．(1)尺規(guī)作圖：在圖1中作∠ABC的角平分線，交AC于點(diǎn)D（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)如圖2，在（1）條件，若BD⊥AC，求證：△ABC為等邊三角形．【變式4】如圖，在△ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在AC邊上取點(diǎn)D，連接BD，使BD=BC．以AD為一邊作等邊△ADE，且使點(diǎn)E與點(diǎn)B位于直線AC的同側(cè)，∠EAB=2∠BAC．(1)求∠BDE的度數(shù)；(2)點(diǎn)F在AB上，連接DF,DF=BD，請判斷△BDF是否是等邊三角形，并說明理由．題型十一將軍飲馬問題解｜題｜技｜巧兩點(diǎn)一線模型：目標(biāo)：在直線l上找P，使PA+PB最?。徊襟E：①作A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A'；②連A'B，與l的交點(diǎn)即為P；③PA+PB=A'B（最短）；兩點(diǎn)兩線模型：目標(biāo)：在l、m上找P、Q，使PA+PQ+QB最?。徊襟E：①作A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A'，B關(guān)于m的對稱點(diǎn)B'；②連A'B'，交l于P、交m于Q；③PA+PQ+QB=A'B'；【典例1】如圖，在邊長為1的小正方形方格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，利用無刻度直尺作圖．(1)畫△A′B′C(2)在直線l上作點(diǎn)P，使AP+CP的值最??；(3)在直線l上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到AB、BC兩邊的距離相等．【變式1】如圖，在邊長為1的小正方形方格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，利用無刻度直尺作圖．(1)畫△A′B′C(2)在直線l上作點(diǎn)P，使AP+CP的值最小，此時(shí)∠APC=；(3)在直線l上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到AB、BC兩邊的距離相等．【變式2】如圖，已知△ABC．(1)請用尺規(guī)作圖法作出BC的垂直平分線DE，垂足為D，交AC于點(diǎn)E；(2)請用尺規(guī)作圖法作出∠C的平分線CF，交AB于點(diǎn)F；(3)請用尺規(guī)作圖法在BC上找一點(diǎn)P，使△PEF的周長最?。ㄗ⒁猓罕Ａ糇鲌D痕跡，不寫作法）題型十二等腰三角形上最短路徑問題【典例1】如圖，BD是等邊△ABC邊AC上的高，M，N分別是AB，AC上的兩個(gè)定點(diǎn)，BM=AN=2cm，AD=4.5cm，若在BD上有一動點(diǎn)H，使MH+NH最短，則MH+NH的最小值為（A．5cm B．6cm C．8cm【變式1】如圖，等邊△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC上的兩個(gè)定點(diǎn)且BE=CF=3，DE=2，在CD上有一動點(diǎn)M使ME+MF最短，則ME+MF的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式2】（2526八年級上·江蘇徐州·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)M，N，D是BC的中點(diǎn)，P是MN上任意一點(diǎn)，連接PC，PD．若∠B=α，則當(dāng)△PCD的周長取最小值時(shí)，∠CPD=．（用含α的代數(shù)式表示）【變式3】如圖，等邊△ABC（三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都是60°的三角形）的邊長為10cm，動點(diǎn)D和動點(diǎn)E同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1cm的速度由A向B和由C向A運(yùn)動，其中一個(gè)動點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t，0<t≤10，DC和BE交于點(diǎn)(1)在運(yùn)動過程中，CD與BE始終相等嗎？請說明理由；(2)連接DE，求t為何值時(shí)，DE∥(3)若BM⊥AC于點(diǎn)M，點(diǎn)P為BM上的點(diǎn)，且使PD+PE最短．當(dāng)t=7時(shí)，PD+PE的最小值為多少？請直接寫出這個(gè)最小值，無需說明理由．題型十三等腰三角形與全等三角形綜合【典例1】如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∠A=∠ABE，若AC=10，BC=6，則BD的長為（

）A．5 B．3 C．4 D．2【變式1】如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在CA上，連接BE，過A作AD⊥BE于D，∠DAE=∠ABD．(1)求∠CBD的度數(shù)；(2)連接CD，求證：AD(3)在（2）的條件下，若BD+BC=2AD，S△BCD=9，求【變式2】如圖①，已知點(diǎn)D在線段AB上，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠BCA=45°，∠EAD=∠AED=45°，且M為EC的中點(diǎn)．(1)若DM的延長線交BC于點(diǎn)N，求證：CN=AD；(2)判斷直線BM與DM的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若將△ADE按如圖②所示位置放置，使點(diǎn)E在線段CA的延長線上（其它條件不變），（2）中結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【變式3】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)．(1)如圖1，若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，請你說明△BED≌△CFD．(2)如圖2，連接AD．若G是AD上一點(diǎn)（點(diǎn)A，D除外），GE⊥AB，GF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，GE=GF成立嗎？請說明理由．(3)如圖3，若（2）中GE，GF分別不垂直于AB，AC，要使GE=GF，需添加什么條件？請?jiān)谀闾砑拥臈l件下說明GE=GF．題型十四等邊三角形全等三角形綜合【典例1】如圖，已知△ABC和△DCE都是等邊三角形．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①，若點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，P為線段AE，BD的交點(diǎn)，則線段AE與BD之間的數(shù)量關(guān)系為；∠APB=．(2)如圖②，若點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，F(xiàn)為線段BD，AC的交點(diǎn)，H為線段AE，CD的交點(diǎn)，連接FH，猜想FH與BE的位置關(guān)系，并證明．(3)深入探究：如圖③，若點(diǎn)B，C，E不在同一條直線上，P為線段AE，BD的交點(diǎn)．1中的結(jié)論仍成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(4)連接CP，求證：PC平分∠BPE．【變式1】如圖所示，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC延長線上的一點(diǎn)，CE平分∠ACD，(1)∠AEC=∠ADB；(2)△ADE是等邊三角形．【變式2】已知在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AB的延長線上，且CD=BE，連接AD，DE．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，探究線段AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論：ADDE；（選填“>”“<”或“=”）【類比探究】（2）如圖②，當(dāng)D為BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，探究線段AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；【拓展延伸】（3）當(dāng)D為BC的中點(diǎn)，AB=10時(shí)，P，Q分別為射線AB、射線CA上的動點(diǎn)，且∠PDQ=120°．若AQ=4，求BP的長．【變式3】綜合探究．【初步感知】（1）如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為邊BC上一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合)．以AD為邊向右側(cè)作等邊△ADE，連接CE．求證：△ABD≌△ACE；【類比探究】（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時(shí)，寫出AB與CE的位置關(guān)系為；線段EC，AC，CD之間的數(shù)量關(guān)系為；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在等邊△ABC中，AB=3，點(diǎn)P是邊AC上一定點(diǎn)且AP=1，若點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，以DP為邊向右側(cè)作等邊△DPE，連接CE，BE．PE+BE是否有最小值？若有，請求出其最小值；若沒有，請說明理由．期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時(shí)間：10分鐘）1．（2425八年級上·浙江金華·期中）下列圖形中，對稱軸最多的是（

）A．線段 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形2．（2324八年級上·浙江杭州·期中）下列命題中，是真命題的是（）A．有兩條邊和一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．等腰三角形的對稱軸是底邊上的高線C．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線D．同位角相等3．（2425八年級上·浙江湖州·期中）如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（

）

A．∠B=∠C B．AD平分∠BACC．AD⊥BC D．AB=2BD4．（2223八年級上·浙江溫州·期中）“三等分角”被稱為三個(gè)古希臘尺規(guī)作圖三大難題之一．如圖所示的“三等分角儀”能三等分任意一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA、OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動，C點(diǎn)固定，且OC=CD=DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動．若∠ODE=105°，則∠CDE的度數(shù)是（

）A．70° B．75° C．80° D．90°5．（2425八年級上·浙江湖州·期中）如圖，AD是△ABC的對稱軸，E,F是AD上的兩點(diǎn)，若BD=2，AD=3，則圖中陰影部分的面積是．6．（1920八年級上·浙江溫州·期中）等腰三角形的兩邊長分別為5和9，則這個(gè)等腰三角形的周長為．7．（2425八年級上·浙江寧波·期中）如圖，已知正△ABC，D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，AG=2GC，CF=2FB，EG，DF相交于點(diǎn)H，則∠1+∠2=度．8．（2425八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)，按要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：(1)作出△ABC關(guān)于直線l的對稱圖形△A(2)在直線l上找一點(diǎn)D，使AD+CD最?。谥兄仉y突破練（測試時(shí)間：10分鐘）1．（2425八年級上·浙江寧波·期中）如圖，A、C、B三點(diǎn)在同一條直線上，△DAC和△EBC都是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N，有如下結(jié)論：①AE=BD；②CM=CN；③AM=DN；④△CMN是等邊三角形；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2425八年級上·浙江湖州·期中）如圖，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，AE=AC，過A作AF⊥DE，垂足為F，DE交CB的延長線于點(diǎn)G，連接AG．四邊形DGBA的面積為64，A．8 B．152 C．2033．（2324八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，且BD平分∠ABC，過A作AE⊥BD于點(diǎn)E．若∠ABC+4∠C=180°，AB=5，BC=124．（2425八年級上·浙江溫州·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上的一點(diǎn)，∠BAD=25°，在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE、DE，DE交AC于點(diǎn)O，若CE∥AB，則∠DOC的度數(shù)為．5．（2425八年級上·浙江杭州·期中）如圖，△ABD,△AEC都是等邊三角形，則∠BOC的度數(shù)是．6．（2122八年級上·浙江溫州·期中）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一條直線上，AF=CD,AB=DE,∠A=∠D，線段BC與線段EF交于點(diǎn)H．(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)求證：FH=CH．7．（2425八年級上·浙江金華·期中）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），在AD的左側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連結(jié)BE．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：△ABE≌△ACD．(2)如圖2，若BE∥AC，BC=2．①求△ABC的周長；②在點(diǎn)D在運(yùn)動過程中，若△ABE的