專題24.3正多邊形和圓

一、選擇題（本大題共14個(gè)小題，每題2分，共28分，在每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求

的）

1.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）下列組形為正多邊形的是（）

【答案】D

【解析】根據(jù)正多邊形的定義，得到。中圖形是正五邊形.

故選D.

2.（202（）.全國(guó)初三課時(shí)練習(xí)）正五邊形的畫法通常是先把圓分成五等份，然后連接五等分點(diǎn)而得，這種畫法

的理論依據(jù)應(yīng)（）

A.把圓〃等分，順次連接各分點(diǎn)得到的多邊形是圓的內(nèi)接正〃邊形

B.把圓〃等分，依次過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正〃邊形

C.各邊相等，并一旦各角也相等的多邊形是正多邊形

D.用量角器等分圓是一種簡(jiǎn)單而常用的方法

【答案】A

【解析】正五邊形的畫法通常是先把圓分成五等份，然后連接五等分點(diǎn)而得，這種畫法的理論依據(jù)是把圓〃

等分，順次連接各分點(diǎn)得到的多逅形是圓的內(nèi)接正〃邊形.

故選A.

3.（2020?山西初三其他）如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正六邊形紙片，若在該紙片上剪一個(gè)最大圓形，則這個(gè)

圓形紙片的直徑是（）.

A.6cmB.2GemC.2cmD.4cm

【答案】B

【解析】解：連接OA，OB,過(guò)點(diǎn)。作OQ_LA8于點(diǎn)力，如下圖，

???此六邊形是正六邊形，

即這張圓形紙片的直徑為：2百cm.

故選B.

A.30°B.36°C.60°D.72°

【答案】B

【解析】連接CO、DO,正五邊形內(nèi)心與相鄰兩點(diǎn)的夾角為72。，即NCOD=72。,

同一圓中，同弧或同弦所對(duì)應(yīng)的圓周角為圓心角的一半，

故選B.

5.（2020?陜西旬陽(yáng)?初三期末）如圖，螺母的一個(gè)面的外沿可以看作是正六邊形，這個(gè)正六邊形ABCDEF的

半徑是2jjcm,則這個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)是（）

A.12B.66C.36D.126

【答案】D

【脩析】設(shè)正六邊形的中心為O,連接A。，BO,如圖所示:

V0是正六邊形ABCDEF的中心,

AAB=BC=CD=DE=EF=FA,ZAOB=60°,AO=BO=20cm,

???△AOB是等邊三角形，

/.AB=OA=2^/3cm,

???正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)=6AB=12VJcm.

故選D

6.（2020?全國(guó)初三課時(shí)練習(xí)）正多邊形的中心角與該正多邊形一個(gè)內(nèi)角的關(guān)系是（）

A.互余B.互補(bǔ)C.互余或互補(bǔ)D.不能確定

【答案】B

故選B.

a

*

DE

【答案】B

【解析】解：如圖，連接OAOH,作OP_LOH于P,作OQ_LAH于Q,易知OQ是。。的半徑，

C\UF

DE

設(shè)OA=OH=2x,

???NOAP=45。，

/.OP=AP=y[2x，

故選：B.

8.（2020?陜西初三三模）如圖,已知。0是正方形ABCD的外接圓，點(diǎn)E是弧AD上任意一點(diǎn),則NBEC

的度數(shù)為（）

R

A/^7V\p

B

D,巫

A.2B.1C.5/3

2

【答案】B

【解析】因?yàn)閳A內(nèi)接正三角形的面積為6，

故選：B.

11.（2019?和平天津二十中初三二模）正方形48CO內(nèi)接于。0,若。。的半徑是亞，則正方形的邊長(zhǎng)是

???正方形的邊長(zhǎng)是2,

12.（2020?嘉峪關(guān)市第六中學(xué)初三期末）一個(gè)半徑為2cm的圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（)

A.24cm2B.673cm2C.125/3cm2D.85/3cm2

【答案】B

【解析】解：如圖所示：

設(shè)0是正六邊形的中心力。是正六邊形的一邊,OC是邊心距,

則NAOB=60。，OA=OB=2cm,

是正三角形，

,\AB=OA=2cm,

OC=OAsinZA=2x^―-=5/3（cm）,

(cm2),

，正六邊形的面積=6x=66（cnF）.

故選B.

13.（2020.云南師大附中初三一模）如圖，若干全等正五邊形排成環(huán)狀.圖中所示的是前3個(gè)正五邊形，則要

完成這一圓環(huán)連管（）個(gè)這樣的正五邊形

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】如圖，

???多邊形是正五邊形,

，內(nèi)角是5x（52）x|800=108。，

:.ZO=180°（18（尸108°）（180。108°）-36°,

I

36。度圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為圓周長(zhǎng)的1°,

即10個(gè)正五邊形能圍城這一個(gè)圓環(huán)，

所以要完成這一圓環(huán)還需7個(gè)正五邊形.

故選B.

14.（2020.全國(guó)初三課時(shí)練習(xí)）如圖，把正六邊形各邊按同一方向延長(zhǎng)，使延長(zhǎng)的線段與原正六邊形的邊長(zhǎng)相

等，順次連接這/'、條線段外端點(diǎn)可以得到一個(gè)新的正八邊形，…，重復(fù)上述過(guò)程，經(jīng)過(guò)2020次后，所得到

的正六邊形的邊長(zhǎng)是原正六邊形邊長(zhǎng)的（）

【答案】C

【解析】???此六邊形是正六邊形,

AZl=l80o120o=60°,

VAD=CD=BC,

???△BCD為等邊三角形，

J_

，BD=2AC,

???△ABC是直角三角形

XVBC=-AC,

2

AZ2=30°,

Z.AB=^BC=^CD,

?，

二、填空題（本題共4個(gè)小題；每個(gè)小題3分，共12分，把正確答案填在橫線上）

15.（2020?西安交通大學(xué)附屬中學(xué)雁塔校區(qū)三模）某正多邊形外接圓的半徑為4,邊心距為20,則該正多

邊形的邊長(zhǎng)為.

【解析】解：???正多邊形外接圓的半徑為4,邊心距為2?,

，邊長(zhǎng)為2/20=472，

故答案為：A五.

【答案】10

【解析】如圖，連接AO,BO,

.,.ZAOB=2ZADB=36°

故答案為：10.

D

%

【解析】解：解：???五邊形ABCDE是。O的內(nèi)接正五邊形,

AZACB=ZBAC=36°,

同理NEAD=36。，

/.ZCAD=108o36°36o=36°,

故答案為：36°.

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC_LOB,垂足為C,

,:QO的半徑為1,

/.AC=—OB=—，

22

1.1

SAAOB=-OB*AC=—,

24

???圓的內(nèi)接正十二邊形的面積SI=12SAAOB=3,

1921每題6分，2225每題8分，26題10分，滿分60分）

【解析】解：連接DO并延長(zhǎng)，交BF于點(diǎn)G.

???正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。0,

???陽(yáng)影部分為正三角形，

設(shè)邊長(zhǎng)是a,則FG=2a,DG=2a,

解得@=46，

走

貝I」DG=BD?sin6（『=4石x2=6

22

???半徑0D=-DG=6x-=4.

33

20.（2018?浙江初三課時(shí)練習(xí)）如圖，半徑為R的圓內(nèi)，ABCDEF是正六邊形，EFGH是正方形.

⑴求正六邊形與正方形的面積比；（2）連接OF,OG,求NOGF.

【答案】⑴正六邊形與正方形的面積比3G：2：（2）ZOGF=15°.

【解析】（1）設(shè)止六邊形的邊長(zhǎng)為a,則三角形OEF的邊EF上的高為立a,

2

（2）VOF=EF=FG,

:.ZOGF=-x（180°60°90°）=15°.

2

21.（2020?江西南昌?初三二模）如圖，在網(wǎng)格紙中，。、A都是格點(diǎn)，以。為圓心，04為半徑作圓，用無(wú)

刻度的直尺完成以下畫圖：（不寫畫法）

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】（1）設(shè)A0的延長(zhǎng)線與圓交于點(diǎn)D,

⑵圓的內(nèi)接八邊形的中心角為360*8=45。，而正方形的對(duì)角線與邊的夾角也為45°

???在如②圖所示的正方形OMNP中，連接對(duì)角線ON并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)B,此時(shí)NAON=45。；???/NOP=45。，

???OP的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)C

同理，即可確定點(diǎn)D、E、F、G、H的位置，順次連接，

【點(diǎn)睛】

此題考查的是畫圓的內(nèi)接正六邊形和內(nèi)接正八邊形，掌握?qǐng)A的內(nèi)接正六邊形和內(nèi)接正八邊形的性質(zhì)和中心

角的求法是解決此題的關(guān)鍵.

22.（2019?江西宜春?中考模擬汝U圖，已知AB、AC是。O的弦，AB、AC的長(zhǎng)分別等于00的內(nèi)接正六邊

形和正五邊形的邊長(zhǎng).

⑴試判斷BC的長(zhǎng)是否等于00的內(nèi)接正幾邊形的邊長(zhǎng)；

（2）如果。O的半徑OA=6,求。0的內(nèi)接正六邊形的面積.

【答案】（DBC的長(zhǎng)等于。O的內(nèi)接正30邊形的邊長(zhǎng)，理由見解析；

【解析】解：（1）???AB、AC是。O的弦，AB、AC的長(zhǎng)分別等于00的內(nèi)接正六邊形和正五邊形的邊長(zhǎng)，

AZAOB=60°,ZAOC=72°,

.-.ZDOC=12O,

???n=360+12=30,

ABC的氏等于0O的內(nèi)接正30邊形的邊長(zhǎng)；

（2）:。0的半徑OA=6,且ZkOAB為等邊三角形，

23.（2019?全國(guó)單元測(cè)試）如圖，有一個(gè)圓O和兩個(gè)正六邊形Ti,T2.TI的6個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，T2的6

條邊都和圓O相切（我們稱Ti,七分別為圓O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形）.

Ti

（1）設(shè)T”T2的邊長(zhǎng)分別為a,b,圓O的半徑為r,求r：a及r：b的值;

⑵求正六邊形Ti,T2的面積比Si：S2的值.

【答案】（1）1:1,也：2（2）3：4

【解析】（1）連接圓心。和Ti的6個(gè)頂點(diǎn)可得6個(gè)全等的正三角形.

所以r：a=I：1；

連接圓心O和T?相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，得以圓O半徑為高的正三角形，

所以r：b=AO：BO=sin60°=V3：2：

2

（2）Ti：T2的邊長(zhǎng)比是6：2,所以Si：S2=（a：b）=3：4.

24.（2019?江蘇南京市第二十九中學(xué)初三二模）如圖1、圖2、圖3、…、圖n分別是。O的內(nèi)接正三角形ABC,

正四邊形ABCD、正五邊形ABCDE.........正n邊形ABCD…，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開始以相同的速度

在（DO上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng).

（1）求圖1中NAPN的度數(shù);

(2)圖2中，NAPN的度數(shù)是,圖3中/APN的度數(shù)是.

⑶試探索NAPN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫答案)

【解析】解：(I)圖1：???點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開始以相同的速度在。。上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),

AZBAM=ZCBN,

又：NAPN=NBPM,

NAPN=NBPM=NABN+NBAM=NABN+ZCBN=ZABC=60°；

【解析】解：(1)解法?:連接。80G

??,正△ABC內(nèi)接于00,

JZOBM=Z0C/V=3()°,ZBOC=12()°.

又<BM=CN,0B=0C,

.??△08M且△OCN,

???NBOM=NOCN,

???NMON=N8OC=120。.

解法二:連接OA.OB,