考點(diǎn)19直線和圓的方程(核心考點(diǎn)講與練)

，考點(diǎn)*蕭)

一、直線與方程

1.直線的傾斜角

(1)定義：■軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角,規(guī)定與彳軸平行或重合的直線的傾

斜角為零度角.

(2)規(guī)定：當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為。：

(3)范圍：直線的傾斜角。的取值范圍是［0,n).

2.直線的斜率

(1)定義：宜線中的系數(shù)4叫做這條直線的斜率,垂直于x軸的直線斜率不存在.

(2)計(jì)算公式：若由力(汨，，)，用照，㈤確定的直線不垂直于)軸，則4=上工/若比).若直線的傾斜角

題~為

為夕(。。=")’貝UA=tan￡.

3.直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率

與x釉不垂直的直線

點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y-—=4(x—加)

與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直

y-y』x-x\

兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)

%—y~~—一由線

不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均

x,y

截距式縱、橫截距二方

不垂直的直線

4r+故+C=0

一般式所有直線

(1+〃W0)

二、兩條直線的位置關(guān)系

1.兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行

對(duì)于兩條不重合的直線九12,其斜率分別為左,兒，則有任及?特別地，當(dāng)直線九乙的斜率都

不存在時(shí)，Ji與在平行.

(2)兩條直線垂直

如果兩條直線九A斜率都存在，設(shè)為尢，左，則，」多0建?1=-1,當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線

斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.

2.兩直線相交

[4x+8i_r+G=0,

直線h4x+4y+G=0和/2：4x+Ay+G=0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組彳+合,+6二。的解一一對(duì)應(yīng).

相交o方程組有唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；

平行o方程組無解;

重合o方程組有無數(shù)全解.

3.距離公式

(1)兩點(diǎn)間的距離公式

平面上任意兩點(diǎn)月(8，R),月(勵(lì)助間的距離公式為1〃月1=、/(加一小)%(“一”)；

特別地，原點(diǎn)。(0,0)與任一點(diǎn)戶(x,y)的距離I例

(2)點(diǎn)到直線的距離公式

平間上任息點(diǎn)片(為，珀到直線/：4￥+改+。一0的距離d—r-r-~.

w+8

(3)兩條平行線間的距總公式

IGc1

一般地，兩條平行直線心力x+By+G=0,12：4H■"+C=0間的距離占-71丁士

三、圓的方程

1.圓的定義和圓的方程

定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定二氐的點(diǎn)的集合叫做圓

圓心C(a,6)

標(biāo)準(zhǔn)(x—a)'+(y—?2=/(/>0)

半徑為r

充要條件：萬+3--1Q0

方程

f+4+〃x+故+40圓心坐標(biāo)：(二￡_二§

一般

(4+)—47>0)

半徑r=1\/〃+盧一4川

乙

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn).以加，㈤與圓G(*—4)2+3—6)2=產(chǎn)之間存在著下列關(guān)系：

(1)MC\>在圓外，即(加一a)?+(曾一力)+/=W在圓外;

（2）|玳1=/0，必在圓上,即（.一zM+（%—6）2=/=$/在圓上；

⑶|MC\V/=J/在圓內(nèi),即（加一a）'+（心一oM在圓內(nèi).

四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：（才一力2+3—6）2=/,直線7；而+敵+。=0,圓心CQ,6）到直線1的距離為d,由

（x-a）"+（y-。）2=產(chǎn)，

小+/+0=0

消去y（或x）,得到關(guān)于爪或y）的一元二次方程，其判別式為人

方法位置

幾何法代數(shù)法

關(guān)系

相交cKr4>0

相切d=r4=0

相離d>rJ<0

2.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為4,r,R>r,圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示:

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

R-r<

幾何特征d>R+rd=R+rd=R-rd<R—r

d<R-r

代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解

公切線條數(shù)43210

（1）求出斜率％=tana的取值范圍.

（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角。的取值范圍.求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在.

2.已知兩直線的一般方程

兩直線方程/i：Aix+8iy+G=0,，2：4?+/，2），+。2=0中系數(shù)Ai,B\,Ci?4,生，C2與垂直、平行的關(guān)

系：

【詳解】作出函數(shù)的圖象,如圖,

故選:A.

1

B.——C.3D.-3

A.\3

【答案】A

【分析】?jī)芍本€斜率均存在時(shí)，兩直線垂直，斜率相乘等于一L據(jù)此即可列式求出。的值.

故選：A.

【答案】C

故選:C.

C.點(diǎn)P到x軸的距離為6

三、填空題

7.（2021年1月新高考八省聯(lián)考卷）若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在

直線的斜率分別為.

【答案】二和一3.

3

即正方形其中一邊所在直線的斜率為:，

又由相鄰邊與這邊垂直，可得相鄰一邊所在直線的斜率為-3.

故答案為：；和—3.

3

【答案】［

16

【詳解】

由問量的線性運(yùn)算，得

故答案為：j

lo

四、解答題

(I)求橢圓C的方程；

【分析】(1)根據(jù)橢圓定義，可求得〃值，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求得從，即可得答案.

(1)

所以M,N,R三點(diǎn)共線

叵高兩直線的位置關(guān)系

A.-3B.-1C.-1或3D.1或一3

【答案】C

【答案】A

【詳解】設(shè)線段MN的中點(diǎn)為。，

故選:A

【答案】B

【分析】求出直線所過定點(diǎn)，當(dāng)直線與定點(diǎn)和圓心連線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，由此可得結(jié)論.

故選:B.

【答案】A

【分析】先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得％得取值范圍，即可得答案.

【詳解】若直線與圓有公共點(diǎn)，

故選:A

A.3或-1B.1或一3

C.0或4D.T或0

【答案】A

【分析】利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列式計(jì)算即得.

所以，〃的值為3或T.

故選:A

5.（2022年（新高考）數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)）圓/+尸+以一⑵葉匚。關(guān)于直線ax—by+6=0m>0,>0）對(duì)稱,

則二+一的最小值是（）

ab

.廠「20—32、16

A.25/2B.—C.—D.—

“333

【答案】C

【詳解】由圓好+爐+41-12），+1=0知，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+G，-6尸=39,

■:圓.正+產(chǎn)+而一12y+1=0關(guān)于宜.線cix—by+6=0（?>0,。>0）對(duì)稱，

,該直線經(jīng)過圓心（-2,6）,即一2。一6力+6=0,

?,.a+3b=3（a>0,0>0）,

故選:C.

二、多選題

A.直線/與圓C相切B.直線/與圓。相離

【答案】BD

???直線/與圓。相離

A不正確，B正確；

C不正確，D正確；

故選：BD.

A.存在3個(gè)不同的m使得圓C與無軸或），軸相切

B.存在2個(gè)不同的小使得圓。在x軸和），軸上截得的線段相等

C.存在2個(gè)不同的m使得圓。過坐標(biāo)原點(diǎn)

【答案】ACD

【分析】本題考查圓的方程與性質(zhì)以及函數(shù)圖象.

當(dāng)圓心縱（橫）坐標(biāo)的絕對(duì)值等于半徑時(shí)，圓與“⑺軸相切，可判定A；當(dāng)圓心到x軸或），軸距離相等時(shí)，在

軸上截得的線段相等，可判定B；對(duì)于C,只要圓心到原點(diǎn)距離等于半徑即可；當(dāng)直線過圓心時(shí)，平分圓的

面積，可判定D.

【詳解】由條件可知，I員IC的半徑為1,圓心坐標(biāo)為（。，In”），即圓心在曲線y=lnx上運(yùn)動(dòng).

故送：ACD.

（4）若直線過圓心，則平分圓的面積.

A.以線段為直徑的圓必過圓心C

B.以線段PQ為直徑的圓的面積的最小值為2不

D.直線P。在x，y軸上的截距的絕對(duì)值之和的最小值為4

【答案】BC

【分析】利用直線與圓之間的關(guān)系，列出點(diǎn)到直線距離公式，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可

故選：BC

三、填空題

所以過點(diǎn)P且與PC垂直的弦的弦長(zhǎng)最短，

四、解答題

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程及直線/的直角坐標(biāo)方程：

考向%圓與圓的位置關(guān)系

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

【答案】C

故選:C.

【詳解】解：根據(jù)題意，作出如下所示的圖形,

聾受茗＞直線與圓的綜合問題

【答案】A

【詳解】解法一（極限法）：如圖所示，

若點(diǎn)p離原點(diǎn)越遠(yuǎn)趨向無窮遠(yuǎn)處時(shí)，|。尸|越來越長(zhǎng)，|AP|、忸日也隨著越來越長(zhǎng),

顯然上式是/的單調(diào)遞增函數(shù),

故選:A.

A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線

【答案】A

【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量枳的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能

力和計(jì)算求解能力.

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考（新課標(biāo)川））若直線/與曲線產(chǎn)五和如+）2=（都相切，則/的方程為（）

A.v=2x+1B.y=2x+—C.v=—x+1D.y=—x+—

,2-222

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線/的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.

此時(shí)該直線與拋物線只有一-個(gè)交點(diǎn)，即不存在不合題意;

一、單選題

A.2B.V?C.1D.—

2

【答案】B

【分析】求出“坐標(biāo)及直線4M的方程，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式即可求解.

故選：B.

A.2B.—C.2D.；

22

【答案】C

【分析】根據(jù)兩直線垂直，直接列出方程求解，即可得出結(jié)果.

故選：C.

【答案】A

故選:A

【答案】A

故選：A.

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】由條件求出參數(shù)〃，再根據(jù)切線的性質(zhì)|尸。.

故選:B.

A.又一2y+1=0B.x+2y-l=0

C.2x+y-2=oD.x~2y-\=0

【答案】D

【分析】利用配方法求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合垂直直線之間斜率的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

因?yàn)橹本€法+廠3=0