浙教版八年級數(shù)學(xué)下冊《2.2一元二次方程的解法》同步練習(xí)題（含答案）

學(xué)校:班級：姓名：考號：

一、配方法解^一元二次方程

1.方程＞2+6*-5=0的左邊配成完全平方式后所得的方程為（）

A.（*3）2=14B.（X?3）2=14C.（x+6）24D.以上答案都不對

2.用配方法解方程2/-6/1=0時，若將方程化為（/加2=〃的形式，則而〃的值為（）

A.-1B.4C.-4D.1

44

3.一元二次方程，+4/1=0配方后可變形為（/2）2=丘則〃的值是（）

A.3B.2C.1D.0

4.將方程/+4/1=0化成（戶勿）2=〃的形式，則而〃的值為.

5.如圖，在用配方法解一元二次方程*2+6x=40時，配方的過程可以用拼圖直觀地表示，即看成

將一個長是（/6）、寬是X、面積是40的矩形割補成一個正方形，則用的值是_____________.

6.(1)計算：(-3)2+(2024-n)°-|-4|；

（2）下面是小明用配方法解一元二次方程2，+4x-8=0的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：移項，得2x2+4x=8…第一步，

二次項系數(shù)化為1,得/+2%=4…第二步，

配方，得（x+2）2=8…第三步，

由此可得升2=±2&…第四步，

所以，xi=-2+2^2,%2=-2-2&…第五步.

第I頁共23頁

①小明同學(xué)的解答過程，從第步開始出現(xiàn)錯誤；

②請寫出你認(rèn)為正確的解答過程.

7.閱讀下列材料：

有人研究了利用幾何圖形求解方程?+34x-71000=0的方法，該方法求解的過程如下：

第一步：構(gòu)造

已知小正方形邊長為x,將其邊長增加17,得到大正方形（如圖）.

第二步：推理

根據(jù)圖形中面積之間的關(guān)系，可得（A+17）2=X+2X17^172.

由原方程x+34x-71000=0,得x+34x=71000.

所以（/17）2=71000+172.

所以（/17）2=71289.

直接開方可得正根x=250.

依照上述解法，要解方程，+6吠0=0（/>>0）,請寫出第一步“構(gòu)造”的具體內(nèi)

容：;

與第二步中“（/17）2=71000+17?“相應(yīng)的等式是

二、根據(jù)一元二次方程根的情況求字母的取值范圍

1.關(guān)于x的方程af+2/1=0有實數(shù)根，則a的取值范圍是（）

A.aW1B.aWI且a羊。C.a取一切實數(shù)D.a<1

2.若關(guān)于x的一元二次方程4，-2X-1=0有實數(shù)根，則〃的取值范圍是（）

A.kV-1B.1C.?>-1D.-1且k豐。

3.若關(guān)于x的一元二次方程』-4/3"-2=0無實數(shù)根，則加的取值范圍是（）

第2頁共23頁

A.后2B.777^2C.m<2D.m>2

4.關(guān)于x的方程x2-/c=0有兩個不相等的實數(shù)，則實數(shù)c的取值范圍是

5.若關(guān)于x的一元二次方程AA+/77=O沒有實數(shù)根，則勿的取值范圍是.

6.乙知關(guān)于x的一元二次方程x-4A+1-Zr=O.

（1）若這個方程沒有實數(shù)根，求"的取值范圍.

（2）當(dāng)穴=-2時，若等腰三角形的兩邊長分別為該方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長.

7.已知關(guān)于x的一元二次方程（府1）F+2加什加-3=0有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求力的取值范圍；

（2）當(dāng)加取滿足條件的最小奇數(shù)時，求方程的根.

三、開平方法解一元二次方程

1.如圖，這是一個簡單的數(shù)值運算程序，則輸入x的值為（）

輸入了|------>|（x-1）2|-----\X2|——輸出8

A.毛=2,x2=-2B.x=3,x2=-3C.2=3,x2=-1D.毛=-3,x2=1

2.若一元二次方程ax?=1（a>0）的兩根分別是m1與2m-4,則這兩根分別是（）

A.1,4B.1,-1C.2,-2D.3,0

3.若x=3是關(guān)于x的一元二次方程x?=a的一個解，則a的值為（）

A.9B.6C.3D.1

22

4.已知關(guān)于x的方程加（/a）+n=Q的解是2=-3,x2=1,則關(guān)于x的方程m（尸a-5）+/7

=0的解是.

5.對于實數(shù)a,b,定義一種運算“十”為：a十。=才-2仇若關(guān)于x的方程（/1）十（3m）=

0沒有實數(shù)根，則實數(shù)用的取值范圍為.

6.解方程：（3x-1）2=4（2,什3）2.

7.關(guān)于x的一元二次方程ax2+-+c=0（a手0）的一個根是1,且a,6滿足6=心工+V?工？一

3,求關(guān)于y的方程］丫2一。=0的根.

第3頁共23頁

=

當(dāng)y=6時，即x?-x=6./.＜x-3）（A+2）=0.，x-3=0或/2=0./.x33,x4=-2.

原方程的解是毛=2,々=-1，$=3,x4=-2.

請你利用換元法解方程：（￥-7）2-（￥-7）-2=0.

五、根據(jù)一元二次方程根的情況求字母的值

1.若關(guān)于x的一元二次方程＞-3/加=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)加的值可以是（）

A.5B.4C.3D.2

2.若關(guān)于x的一元二次方程f+x-加=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)勿的值為（）

A.-4B.-4C.4D.4

44

3.若關(guān)于x的一元二次方程/-*-勿=0有兩個相等實數(shù)根，則實數(shù)加的值為（）

A.—B.-4C.—D.4

44

4.關(guān)于x的一元二次方程*2一3*-//7=0沒有實數(shù)根，寫出一個符合條件的整數(shù)力的值

為.

5.已知關(guān)于x的方程（血-1）/-怎7乂4=0有兩個實數(shù)根，請寫出一個符合條件的加的

值.

6.已知a,b,c為三角形的三邊長，且關(guān)于x的方程6必+（＞。）A+a=0有兩個相等的實數(shù)根,

試判斷這個三角形的形狀.

7.已知關(guān)于x的一元二次方程x?-（A+1）/2A-3=0.

（1）求證：無論〃為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）等腰三角形力8。中，48=3,若4?、8C為方程X?-（A+1）盧2〃-3=0的兩個尖數(shù)根，求

A的值.

參考答案

一、配方法解一元二次方程

1.方程F+6x-5=0的左邊配成完全平方式后所得的方程為（）

第5頁共23頁

A.（戶3）2=14B.（x-3）2=14。（x+6）2JD.以上答案都不對

【答案】A

【解析】先變形得到f+6x=5,再把方程兩邊加上9得f+6/9=5+9,然后根據(jù)完全平方公式

得到（A+3）2=14.

先移項得x+6x=5

方程兩邊加上9得x+6A+9=5+9

所以（/3）2=14.

故選：A.

2.用配方法解方程242-6/1=0時，若將方程化為（/而2=n的形式,則府"的值為（）

A.-1B.4C.-4D.1

44

【答案】B

【解析】根據(jù)配方法進(jìn)行計算即可求解

2〉-6/1=0

27

，m=7,

.371

故選：B.

3.一元二次方程了+4/i=o配方后可變形為（/2）2=丘則4的值是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

第6頁共23頁

【解析】利用配方法將原方程CM/1=0變形成與（/2）2=〃的形式，即可求解.

/+4/1=0

x+4x=-1

x"+4/4=-1+4

02）2=3

：.k=3

故選：A.

4.將方程X?+4A+1=0化成（/勿）？=〃的形式，則府”的值為.

【答案】5.

【解析】利用解一元二次方程-配方法，進(jìn)行計算即可解答.

$+4"=0

：.x+4x=-1

，*+4/4=-1+4

???（A+2）2=3

==

m2fn3

.\（n^n=2+3=5

故答案為：5.

5.如圖，在用配方法解一元二次方程x?+6x=40時，配方的過程可以用拼圖直觀地表示，即看成

將一個長是（/6）、寬是X、面積是40的矩形割補成一個正方形，則勿的值是_____________.

【答案】3.

第7頁共23頁

【解析】用配方法求解即可.

由題意,得X(A+6)=40,

.\?+6x=40

???/+6/9=40+9

(x+3)2=49

m—3.

故答案為:3.

6.(1)計算:(-3)2+(2024-n)°-|-4|;

(2)下面是小明用配方法解一元二次方程2x?+4x-8=0的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

解：移項，得2%2+4x=8…第一步，

二次項系數(shù)化為1,得/+2x=4…第二步，

配方，得(x+2)2=8…第三步，

由此可得"2=±2&???第四步，

所以，X1=-2+2V2,%2=-2-…第五步.

①小明同學(xué)的解答過程，從第步開始出現(xiàn)錯誤；

②請寫出你認(rèn)為正確的解答過程.

【答案】解：(1)(-3)2+(2024-n)°-|-4|

=9+1-4

=10-4

=6;

(2)①小明同學(xué)的解答過程，從第三步開始出現(xiàn)錯誤

故答案為：三；

②正確的解答過程如下：

2f+4x-8=0

2f+4x=8

第8頁共23頁

x+2x=4

X2+2A+1=4+1

O1）2=5

A+1=±V5

Xy=-1+V5?*2=-1一巡.

7.闈讀下列材料：

有人研究了利用幾何圖形求解方程?+34x-71000=0的方法，該方法求解的過程如下：

第一步：構(gòu)造

已知小正方彩邊長為x,將其邊長增加17,得到大正方形（如圖）.

第二步：推理

根據(jù)圖形中面積之間的關(guān)系，可得（/17）2=X+2X17A4-172.

由原方程*2+34%-71000=0,得x+34x=71000.

所以（/17）2=71000+172.

所以（/17）2=71289.

直接開方可得正根x=250.

依照上述解法，要解方程?+6吠0=0（b>0）,請寫出第一步“構(gòu)造”的具體內(nèi)

容：;

與第二步中“（/17）2=71000+172“相應(yīng)的等式是

【答案】已知小正方形邊長為x,將其邊長增加得到大正方形;

第9頁共23頁

（吟2=2吟）2.

乙乙

【解析】第一步：仿照材料中的內(nèi)容構(gòu)造具體內(nèi)容；

第二步：根據(jù)圖形面積關(guān)系和等式的性質(zhì)列出相應(yīng)的等式.

解方程，+6/c=0（6>0）

第一步“構(gòu)造”：已知小正方形邊長為x,將其邊長增加得到大正方形

故答案為：已知小正方形邊長為X,將其邊長增加得到大正方形；

第二步：推理

根據(jù)圖形面積之間的關(guān)系，可得（於￡）2=X2+2X-1A+（晟）2,

由原方程x+6/c=0,得x?+bx=-c.

所以（內(nèi)92=一1吟）2

乙乙

故答案為：（/5）2=-c+（5）2.

二、根據(jù)一元二次方程根的情況求字母的取值范圍

1.關(guān)于X的方程af+2/i=0有實數(shù)根，則a的取值范圍是（）

A.aW1B.aWI且aWOC.a取一切實數(shù)D.a<1

【咨案】A

【解析】分為兩種情況：①當(dāng)a=0,②a/0,根據(jù)已知得出△》（），求出即可.

分為兩種情況：①當(dāng)a=0時，2內(nèi)d=0

解得：x=-￡；

②當(dāng)a手0時，?.?關(guān)于x的方程/+2/1=0有實數(shù)根

AA=22-4X5X1=4-4a、0

解得：

故選：A.

第10頁共23頁

2.若關(guān)于x的一元二次方程％，-2*-1=0有實數(shù)根，則〃的取值范圍是()

A.kV-1B.42?1C.A>-1D.42?1且k*U

【答案】D

【解析】先根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列出關(guān)于A的不等式，求出A的取值范圍即可.

???關(guān)于x的一元二次方程〃?-2x-1=0有實數(shù)根

，△=(-2)2-4XA-X(-1)^0,k*Q

解得：“2-1且〃手0.

故選：D.

3.若關(guān)于x的一元二次方程*2-4/3/77-2=0無實數(shù)根，則加的取值范圍是()

A.>77^2B.622C.mV2D.m>2

【答案】D

【解析】由方程無實數(shù)根即△=6-4acV0,從而得出關(guān)于力的不等式，解之可得.

??,關(guān)于x的一元二次方程/-4/3勿-2=0無實數(shù)根

:?&=t}-4ac=(-4)2-4(3/77-2)=16-12m8Vo

解得：加>2.

故選：D.

4.關(guān)于x的方程￥一/0=0有兩個不相等的實數(shù)，則實數(shù)0的取值范圍是.

【答■案】c〈［.

4

【解析】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，根據(jù)兩個不相等的實數(shù)，得△=。2-4初>0,代

入數(shù)值進(jìn)行計算，即可作答.

???關(guān)于x的方程/。=0有兩個不相等的實數(shù)

.,?△=6-4ac=(-1)2-4X1XC>0

解得c<)

4

第11頁共23頁

故答案為：c<J.

4

5.若關(guān)于x的一元二次方程，+/加=0沒有實數(shù)根，則m的取值范圍是.

【冷案】m>-y.

4

【解析】由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△<(),即可得出關(guān)于"的一元一次不等式，解之即可得

出m的取值范圍.

???關(guān)于X的一元二次方程彳2+//77=0沒有實數(shù)根

/.△=12-4X1X/77=1-4/77<0

解得：加

4

故答案為：加>[.

4

6.已知關(guān)于x的--元二次方程x-4%|1-A=0.

(1)若這個方程沒有實數(shù)根，求〃的取值范圍.

(2)當(dāng)〃=-2時，若等腰三角形的兩邊長分別為該方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長.

【答案】解：(1)根據(jù)題意，得△=(-4)2-4X1X(1-k)=16-4(1-k)<0

.??16-4+44VO

：Ak<-12

解得k<-3.

(2)當(dāng)％=-2時，方程為X?-4/3=0

解得“1=3,々=1?

若3為腰，則周長=3+3+1=7；

若1為腰，V1+K3

工構(gòu)不成三角形，舍去

???等腰三角形的周長為7.

7.已知關(guān)于x的一元二次方程(研1)f+2加/加-3=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求勿的取值范圍；

第12頁共23頁

(2)當(dāng)加取滿足條件的最小奇數(shù)時，求方程的根.

【答案】解：(1)???關(guān)于x的一元二次方程(府1)了+2如什加-3=0有兩個不相等的實數(shù)根

???加1W0且△>().

*.*△—(2/77)2-4(辦1)(/??-3)=4(2府3)

???2府3>0.

解得m>今

m的取值范圍是m>一|■且內(nèi)豐~1.

Q

(2)在加>下且加#=-1的范圍內(nèi)，最小奇數(shù)加為1.

此時，方程化為x+x-1=0.

VA=Z?2-4ac=12-4X1X(-1)=5

.-1±V5-1±V5

2X12

???方程的根為xi;￥，、2片區(qū)?

三、開平方法解一元二次方程

1.如圖，這是一個簡單的數(shù)值運算程序，則輸入x的值為()

輸入工|------J(1產(chǎn)|----->|X2|-------A|輸出8

A.再=2，x2=-2B.毛=3，x2=-3C.毛=3，x2=-1D.毛=-3，x2=\

【答案】C

【解析】利用程序圖中的程序列出方程，解方程即可解答.

由題意得：2(x-1)2=8

整理得：(x-1)2=4

直接開平方得：*-1=2或彳-1=-2

解得M=3,X2=-1.

故選：C.

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2.若一元二次方程a/=1（a>0）的兩根分別是府1與2m-4,則這兩根分別是（）

A.1,4B.1,-1C.2,-2D.3,0

【答案】C

【解析】方程af=i（5>o）的兩根互為相反數(shù)，據(jù)此可得府1+2加-4=0,求得小的值，繼而

可得答案.

由題意知，方程2，=1（2>0）的兩根互為相反教

1+2/77-4=0

解得加=1

.?.冰1=2,2m-4=-2

故選：C.

3.若x=3是關(guān)于x的一元二次方程F=a的一個解，則a的值為（）

A.9B.6C.3D.1

【答案】A

【解析】把方程的解x=3代入方程，即可求出a的值.

Vx=3是方程f=a的解

a=32=9

故選:A.

2

4.已知關(guān)于x的方程勿（/a）?+n=0的解是％=-3,x2=1,則關(guān)于x的方程m（x^a-5）+n

=0的解是.

【答案】Xi=2,*2=6.

【解析】把關(guān)于x的方程加（戶a-5）2+〃=?？醋麝P(guān)于（x-5）的一元二次方程，則>-5=-3

或x-5=1,然后解一次方程即可.

二?關(guān)于x的方程m（x+a）2+〃=0的解是毛=-3,々=1

???關(guān)于（x-5）的方程加（/a-5）2+。=0的解滿足*-5=-3或x-5=1

解得毛=2,々=6.

第14頁共23頁

故答案為：x]=2,X2=6.

5.對于實數(shù)a,b,定義一種運算“十”為：a?b=a-2b,若關(guān)于x的方程（xH）十（3m）=

0沒有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為.

【答案】m<0.

【解析】根據(jù)定義的新運算可得：（/1）2-6/77=0,從而可得（加）2=6叫然后利用解一元

二次方程-直接開平方法進(jìn)行計算，即可解答.

???（/1）十（3/77）=0

J（A+1）2-6m=Q

（A+1）2=6加

???方程（/1）?（3/77）=0沒有實數(shù)根

6/77<0

：.m<0

故答案為：/V0.

6.解方程：（3x7）2=4（2戶3）2.

【答案】解：由原方程，得

3x-1=±2|2/3|

則3x-1=4/6或3x-1=-4x-6

整理，得

x=-7或1x=-5

解得毛=-7,x2=-

7.關(guān)于x的一元二次方程丁+6/。=0（a#=0）的一個根是1,且凡。滿足6=色4-2+V12a一

3,求關(guān)于y的方程92一。=0的根.

【答案】解：由題意得：a-220,4-2a20

解得：a=2

：.b=-3

第15頁共23頁

???關(guān)于x的一元二次方程（a羊0）的一個根是1

，＞加c=0

c=1

則方程為。1=0

4

整理得：y=4

?,?%=2,y2=-2.

四、換元法解一元二次方程

1.若（x+y2-3）2=25,則/+/等于（）

A.8B.8或-2C.-2D.以上都不對

【答案】A

【解析】根據(jù)開平方法求解即可.

另/+/=m，則（m-3）三25

m-3=±5

m-3=5或勿-3=-5

解得：m=8或m=-2

Vx+y=m^Q

/+y=m=8

故選：A.

2.已知（研〃）2+2/7^2/7=0,則W〃的值是（）

A.0B,-2C.0或-2D.0或2

【答案】C

【解析】設(shè)研/7=x,則原方程化為f+2x=0,求出方程的解，再求出答案即可.

（/n）2+2frr^2n=Q

設(shè)而〃=x,則原方程化為：x+2x=Q

第16頁共23頁

x1/2）=0

x=Q或A+2=0

x=0或-2

所以而〃=0或-2.

故選:C.

3.已知關(guān)于x的一元二次方程3f-2xy-丁=0,則金=（）

A.1B.1或段C1或1D.

oOu

【答案】C

【解析】方程兩邊同時除以/,構(gòu)造以2為未知數(shù)的一元二次方程，據(jù)此求解.

y

V3x-2xy-y=Q

A3（-）2-2--1=0

yy

解得：-=1或

y3

故選：c.

4.實數(shù)x,y滿足（x"/）2-x-y-5=0,則/+丁=.

［答案］上△②

2

【解析】設(shè)＞2+/=上則220,原方程化為t2-t-5=0,解方程得區(qū)或土返L（舍

22

去），即可得出答案.

設(shè)￥+/=亡，則亡20

???原方程化為#-t-5=0

解得t=上逞L或上叵（舍去）

22

?."=上返I.

2

第17頁共23頁

故答案為：上M區(qū).

2

5.已知x為實數(shù)，且滿足（>2+/1），2（』+/1）-3=C,那么的值為.

【答案】1.

【解析】首先利用換元思想，把*2+盧1看作一個整體換為匕化為含y一元二次方程，解這個

方程即可.

另/=42+/1,則「+2v—3=。，即（y-1）（八3）=0

解得：y=1或y=-3

當(dāng)x'+xH=-3時，即X2+A+4=0

△=12-4X1X4=-15<0,此時方程無解

當(dāng)F+戶1=1時，即x+x=0

△=12-4X1X0=1>0,此時方程有解

.,?￥+/1=1

故答案為：1.

6.對于方程（>2-1）2-5（?-1）+4=0,我們不妨將/-1視為一個整體，然后設(shè)*2-1=匕

則有（￥-1）2=y2,從而將原方程轉(zhuǎn)化為丁-5yM=0.

解得乂=1,以=4.

當(dāng)乂=1時，%-1=1,：.x=2,x=±V2：

當(dāng)先=4時，x~1=4,%2=5,x=±J^.

，原方程的解為x2=-^2,治=赤，*4=一遍.

問題：利用上述方法解方程（f+x）（x+x-2）=-1.

【答案】解：設(shè)V+x=y,則y（y-2）=-1

（/-1）2=0

/1=/2=1

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當(dāng)y=1時，x+x=1

?.?X_-l±V51

2

.,?原方程的解為：毛=二耳￡,々=7產(chǎn).

7.閱讀理解

解方程時，我們經(jīng)常將整體多次出現(xiàn)的部分打包進(jìn)行換元處理，從而達(dá)到了降次、轉(zhuǎn)整等目的，

這一“神奇”的方法叫換元法.

例如：解方程：(x?-x)2-8(x2-x)+12=0.

解：設(shè)X?-x=p.原方程化為6一8>+12=0.(y-2)(了-6)=0.I.v-2=0或y-6=0.，乂

=2,%=6.

當(dāng)V=2時，即，一*=2..?.(x-2)(A+1)=0,.,.*-2=0或/1=0.，毛=2,x2=-1

當(dāng)y=6時，即X?-x=6.<x-3)(A+2)=0.x-3=0或A+2=0.x3=3fx4=-2.

原方程的解是M=2,X2=-1,七=3,x4=-2.

請你利用換元法解方程：(/-7)2-(x-7)-2=0.

【答案】解：設(shè)必-7=匕

原方程化為y-y-2=Q

(y-2)(yH)=0

2=0或y+-1=0

/i=2,y2=-1-

當(dāng)y=2時，即x-7=2.

：.x=9

??x[39X],―t-3;

當(dāng)y——1時，即x?-7=-1.

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,\x=6

?3=&,々=-泥.

二原方程的解是x=3,X2=--3,&=孤，x4=-V6-

五、根據(jù)一元二次方程根的情況求字母的值

1.若關(guān)于x的一元二次方程>-3/加=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)加的值可以是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】先根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根得出關(guān)于勿的不等式，求出勿的取

值范圍，進(jìn)而可得出結(jié)論.

??,關(guān)于x的一元二次方程*2-3/切=0有兩個不相等的實數(shù)根

AA>0,即△=（-3）2-4/77>0

解得mV,

4

工實數(shù)勿的值可以是2.

故選：D.

2.若關(guān)于x的一元二次方程>2+*-川=0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)勿的值為（）

A.-4B.-4C.4D.4

44

【答案】B

【解析】利用根的判別式的意義得到△=<|2+4m=0,然后解方程即可.

根據(jù)題意得4=12+4加=0

解得m=

4

即777的值為..-

4

故選：B.

3.若關(guān)于X的一元二次方程