8.6.2直線與平面垂直的判定定理（第1課時）(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點題型分類研究題型1:直線與平面垂直的判斷題型2：直線與平面垂直的判定定理題型3：補全線面垂直的條件題型4：直線與平面所成的角的概念題型5：求線面角題型6：由線面角求參數(shù)題型7：線面角最值問題三、高考（模擬）題體驗一、必備知識分層透析知識點1：直線與平面垂直（1）定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線垂直于平面，記為．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線與平面的交點P叫垂足.（2）符號語言：對于任意，都有.（3）圖形語言：（4）應(yīng)用：①若直線與平面垂直，則這條直線與這個平面內(nèi)的所有直線都垂直，從而可判斷直線與平面內(nèi)的直線互相垂直，即“若,,則”,簡述為“若線面垂直，則線線垂直”因此直線與平面垂直的定義不僅是直線與平面垂直的判定方法，也是證明直線與直線垂直的重要且常用的方法.②重要結(jié)論：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直；過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.知識點2：直線與平面垂直的判定定理（1）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.簡記：線線垂直線面垂直（2）符號語言：，，，，（3）圖形語言：如圖知識點3：直線與平面所成角（1）直線與平面所成角的定義如圖，一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.（2）說明：①為斜線②與的交點為斜足③直線為在平面上的射影④直線與射影所成角(角)為直線與平面上所成角⑤當(dāng)直線與平面垂直時：；當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時：⑥直線與平面所成角取值范圍：.（3）直線與平面所成角的求解步驟①作：在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平而引垂線，在這一步確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義；③算：一般借助三角形的相關(guān)知識計算.二、重點題型分類研究題型1:直線與平面垂直的判斷典型例題1．已知直線和平面，則“垂直于內(nèi)任意直線”是“”的（

）.A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件2．在正方體的六個面中，與垂直的平面有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖，圓柱中，是側(cè)面的母線，AB是底面的直徑，C是底面圓上一點，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面同類題型演練1．設(shè)l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下面命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，C．若，，則 D．若，，，則2．如果直線l，m與平面，，滿足：，，和，那么必有（

）A． B． C． D．3．已知m，n為兩條不同的直線，為平面，有下列命題：①，；②，；③，．其中正確的命題是______．（填序號）題型2：直線與平面垂直的判定定理典型例題1．如圖，和都垂直于平面，且，，是的中點．(1)求證：平面；(2)求證：平面．2．如圖，在底面是矩形的四棱錐中，底面，，分別是，的中點.(1)若，求四棱錐的體積；(2)求證：平面.3．如圖，四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點，CA＝CB＝CD＝BD＝2，．(1)求證：平面BCD；(2)求點E到平面ACD的距離．4．如圖所示的長方體中，底面是邊長為2的正方形，O為與的交點，，M是線段的中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面.5．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，．(1)證明：BD?平面PAC；(2)求三棱錐的表面積．同類題型演練1．如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，為的中點．(1)求證：平面；(2)若點是棱的中點，求證：平面．2．如圖，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中點．求證：(1)平面；(2)平面．3．在棱長為2的正方體中．(1)求證：面；4．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面，，.(1)證明：平面PAC；(2)求點到平面的距離.5．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝＝1.現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF折疊，使ED⊥DC，M為ED的中點，如圖2.(1)求證：BC⊥平面BDE；(2)求點D到平面BEC的距離.題型3：補全線面垂直的條件典型例題1．直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面上的___________直線都垂直，那么此直線與該平面垂直.2．已知平面ABCD，則四邊形ABCD滿足______時，有．（試寫出一個滿足的條件）3．如圖，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：平面PAD；(2)試確定當(dāng)△PAD中PA與AD滿足什么關(guān)系時，MN⊥平面PCD？并說明理由．4．如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中點．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．5．如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，，點是棱上靠近點的三等分點，點是的中點．(1)證明：平面；(2)點為線段上一點，設(shè)，若平面，試確定的值．同類題型演練1．，，是三直線，是平面，若，，，，且__________（填上一個條件即可），則有．2．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．當(dāng)＝__時，D1E⊥平面AB1F．3．已知正方體的棱長為，分別是的中點．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由；(3)求到平面的距離．4．如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點．(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離；(3)在對角線上是否存在點，使得平面？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點．（1）求證：BM//平面PAD．（2）平面PAD內(nèi)是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由．題型4：直線與平面所成的角的概念典型例題1．若直線m與平面所成的角為，則可能為135°．()2．若直線l與平面所成角為，直線a在平面上，且與直線l異面，則直線l與直線a所成角的取值范圍是___________.同類題型演練1．一條直線與一個平面所成角的取值范圍是___________.（用區(qū)間表示）2．如圖所示，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的動點.記直線A1P與平面ABC所成的角為θ1，與直線BC所成的角為θ2，則θ1_________θ2(填“>”“=”或“<”).題型5：求線面角典型例題1．已知在長方體中，，，那么直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．已知正方體的棱長為1，點P在線段上，且，則AP與平面ABCD所成角的正切值為（

）A．1 B． C． D．3．如圖，在直角中，，斜邊，是中點，現(xiàn)將直角以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐.點為圓錐底面圓周上一點，且.(1)求圓錐的體積與側(cè)面積；(2)求直線與平面所成的角的正切值.4．如圖，在長方體中，，.求(1)求直線和直線所成的角的大小；(2)求直線與平面所成的角的大小.5．如圖在四棱錐中，底面是邊長的正方形，側(cè)面底面，且，設(shè)，分別為，的中點.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大小.同類題型演練1．如圖，在正三棱柱中，，，點D是側(cè)棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．在長方體中，，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．3．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點，AB＝AD＝2，AA1＝3.(1)證明：EF∥平面A1ADD1；(2)求直線AC1與平面A1ADD1所成角的正弦值．4．在四棱錐中，⊥平面，，，．(1)證明：平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值．5．如圖，三棱柱的底面為菱形，，為的中點，且.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.題型6：由線面角求參數(shù)典型例題1．已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為A．40 B． C． D．2．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，直線與平面成角.設(shè)四面體外接球的圓心為，則球的體積為__________.3．已知正三棱柱中，，是的中點.(1)求證：平面；(2)點是直線上的一點，當(dāng)與平面所成的角的正切值為時，求三棱錐的體積．4．如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，底面.（1）求證：平面；（2）若，直線與平面所成的角為，求點到平面的距離.同類題型演練1．若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD所成角的大小為60°，則A1C1到底面ABCD的距離為（

）A． B．1 C．2 D．2．若正三棱錐底面邊長為2，側(cè)棱與底面所成的角為，則其體積為_______．3．如圖，已知四棱錐中，平面，且.(1)求證：平面；(2)當(dāng)直線與底面所成的角都為，且時，求出多面體的體積.4．如圖，三棱柱各棱長均為2，.(1)求證：；(2)若與平面所成的角為，求三棱柱的體積.題型7：線面角最值問題典型例題1．如圖，在圓錐中，為圓錐的底面直徑，為等腰直角三角形，B為底面圓周上一點，且，M為上一動點，設(shè)直線與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．如圖，在三棱柱中，點在平面上的射影為的中點，，，，.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.同類題型演練1．三棱錐中，面面，，，，，,為射線上一動點，求直線與面所成角的正弦的最大值為______________2．如圖，在四面體ABCD中，，，E為BD的中點，F(xiàn)為AC上一點.(1)求證：平面平面BDF；(2)若，，，求直線BF與平面ACD所成角的正弦值的最大值.三、高考（模擬）題體驗1．已知點是球的小圓上的三點，若，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．已知直線l，平面，，如果，，那么l與平面的位置關(guān)系是（

）A． B． C．或 D．3．（多選）如圖所示，正方體的棱長為2，點E，