8.6.2直線與平面垂直的性質(zhì)定理（第2課時(shí)）目錄一、必備知識(shí)分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:利用直線與平面垂直證明線線平行題型2：利用直線與平面垂直證明線線垂直題型3：直線與平面垂直的性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用題型3：空間中的距離問題角度1：點(diǎn)面距角度2：線面距角度3：面面距題型4：直線與平面所成角探索性問題三、高考（模擬）題體驗(yàn)一、必備知識(shí)分層透析知識(shí)點(diǎn)1：直線與平面垂直的性質(zhì)定理(定義)（1）定義轉(zhuǎn)化性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，那么直線垂直于平面內(nèi)所有直線.（2）符合語言：，.（3）圖形語言：（4）定理應(yīng)用：線面垂直線線垂直.知識(shí)點(diǎn)2：直線與平面垂直的性質(zhì)定理（1）性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.（2）符合語言：，（3）圖形語言：（4）定理應(yīng)用：垂直與平行的轉(zhuǎn)換①線面垂直線線平行②作平行線知識(shí)點(diǎn)3：點(diǎn)面距、線面距、面面距（1）點(diǎn)到平面的距離過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.①圖形語言：如圖，線段的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離.②點(diǎn)面距的范圍：.③常用方法：等體積法（2）直線到平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.①圖形語言：線段的長(zhǎng)度就是直線到平面的距離.②當(dāng)直線與平面相交或時(shí)，直線到平面的距離為0.（3）平面到平面的距離如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.①圖形語言：線段的長(zhǎng)度就是平面到平面的距離(2)當(dāng)平與平相交時(shí)，平面到平面的距離是0.二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:利用直線與平面垂直證明線線平行典型例題例題1．若直線平面，直線平面，則直線與直線的位置關(guān)系為（

）A．異面 B．相交 C．平行 D．平行或異面【答案】C【詳解】由于垂直于同一平面的兩直線平行，故當(dāng)直線平面，直線平面時(shí)，直線與直線平行.故選：C.例題2．（多選）已知，，是三條直線，是一個(gè)平面，下列命題不正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BC【詳解】對(duì)A，根據(jù)直線平行的傳遞性，故A正確；對(duì)B，垂直于同一直線的兩個(gè)直線可以相交、平行、異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，平行同一平面的兩條直線可以平行、相交、異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，垂直于同一平面的兩條直線平行，故D正確.故選：BC例題3．如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點(diǎn)E，滿足，，現(xiàn)將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：【詳解】證明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，在中，，在中，，則，因?yàn)?，平面，所以平面，所?例題4．已知空間幾何體中，，是全等的正三角形，平面平面，平面平面.(1)若，求證：；(2)證明：.(1)因?yàn)?、是全等的正三角形，所以，又因?yàn)?，所以，故，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?2)分別取，中點(diǎn)，，連接，，，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，同理平面，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，所以．同類題型演練1．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線．給出下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則．其中正確的命題是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】D【詳解】如圖，長(zhǎng)方體中，對(duì)于①，令平面為平面，直線分別為直線m，n，顯然有，，而直線m，n相交，①不正確；對(duì)于②，令平面，平面分別為平面，，直線為直線m，顯然有，，而平面與相交，②不正確；對(duì)于③，因，，則，又，因此，③正確；對(duì)于④，因，，則，又，因此，④正確，所以正確命題的序號(hào)是③④.故選：D2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.【詳解】因?yàn)锳B⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因?yàn)锳D＝AP，E是PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因?yàn)镸N⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因?yàn)镸N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.3．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點(diǎn)E，l⊥平面PCD．求證：l∥AE．【詳解】證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD．又四邊形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．因?yàn)镻A∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE?平面PAD，所以AE⊥DC．因?yàn)锳E⊥PD，PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因?yàn)閘⊥平面PCD，所以l∥AE．4．如圖，已知，于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，，，求證：．【答案】見解析【詳解】證明：因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)?，，所以，又，，所以平面，所?題型2：利用直線與平面垂直證明線線垂直典型例題例題1．如題圖，正方體中，為棱上一點(diǎn)．(1)試過點(diǎn)在平面上作直線，寫出作法，并說明理由；(2)若為棱中點(diǎn)，是棱中點(diǎn)，求異面直線與所成角的大?。敬鸢浮?1)答案見解析(2)【詳解】（1）連接，在平面上過點(diǎn)P作交AD于Q，如圖所示平面，則，又，，則平面，而平面，所以.（2）連接，如圖所示：由P、Q分別是和AD中點(diǎn)，得，則是異面直線PQ與所成角（或其補(bǔ)角），連接，在中，，則，所以異面直線PQ與所成角的大小為．例題2．如圖，在三棱柱中，，且，底面，為中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：平面【詳解】（1）底面且平面，，又且，平面，平面，又平面，（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)可知，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面例題3．如圖所示，已知平面，，分別是，的中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求證：；【詳解】（1），分別是，的中點(diǎn)，，平面，且平面，平面；（2）平面，，分別是，的中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，.例題4．已知空間幾何體中，與均為等邊三角形，平面平面平面．求證：.【詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榕c均為等邊三角形，所以，又，所以平面，平面，所以.例題5．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，，，點(diǎn)在棱上，平面平面.(1)證明：；(2)若平面，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面．平面，平面，；?）解：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，底面為平行四邊形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，所以，所以，所以.同類題型演練1．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面，，，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱CD．(1)求四棱錐P－ABCD的表面積；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：已知平面，平面，，而底面ABCD是矩形，則，又，平面，，∴平面，平面ABP，∴，∴，同理可得，∴.（2）證明：∵平面，平面，∴，又四邊形是矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴，又∵，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，而，∴平面，∵平面，∴．2．如圖，四棱錐E-ABCD中，EA=EB，AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD．(1)求證：AB⊥ED；(2)線段EA上是否存在點(diǎn)F，使DF//平面BCE？若存在，求出；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.（1）在四棱錐E-ABCD中，取AB中點(diǎn)O，連接EO，DO，如圖，因EA=EB，則EO⊥AB，而AB//CD，AB=2CD，則有BO//CD，BO=CD，即四邊形OBCD是平行四邊形，又AB⊥BC，則四邊形OBCD為矩形，即有AB⊥DO，而，平面，因此AB⊥平面EOD，又平面，所以AB⊥ED．（2）點(diǎn)F滿足，即F為EA中點(diǎn)時(shí)，有DF//平面BCE，取EB中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G，因F為EA中點(diǎn)，則FG//AB，，又AB//CD，，于是得FG//CD，F(xiàn)G=CD，即四邊形CDFG是平行四邊形，有DF//CG，又平面BCE，平面BCE，因此DF//平面BCE，所以存在點(diǎn)F使DF//平面BCE，.3．在四棱錐中，底面，，,，．證明：.【詳解】證明：在四邊形中，作，，垂足分別為、，因?yàn)?，，，所以四邊形為等腰梯形，在等腰梯形中，，，則，又因?yàn)椋瑒t四邊形為矩形，則，因?yàn)?，，，所以，，則，故，，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?4．如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，、分別是、的中點(diǎn)，是的重心，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)．證明：.【詳解】證明：連接，因是等邊三角形，是的中點(diǎn)，是的重心，所以在上，且，又點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，即平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以?．如圖，三棱柱中，是底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐．（1）求證：；（2）若異面直線與所成的角為，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連，交于，連、，因?yàn)槭钦忮F，所以三角形為正三角形，所以為三角形的中心，所以平面，所以，因?yàn)?，且，所以平面，所以，又，所?（2）因?yàn)?，異面直線與所成的角為，所以，又是底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐．所以為正三角形，所以，連，則，所以，所以，所以.題型3：直線與平面垂直的性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用典型例題例題1．如圖，在棱長(zhǎng)都等于1的三棱錐中，是上的一點(diǎn)，過作平行于棱和棱的截面，分別交，，于，，．(1)證明截面是矩形；(2)在的什么位置時(shí)，截面面積最大，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)是的中點(diǎn)時(shí)，截面面積最大【詳解】（1）平面，平面平面，平面，，同理，，同理，四邊形是平行四邊形，取中點(diǎn)，連接，，，是中點(diǎn)，，同理，又，平面，平面，平面，，又，，，即四邊形是矩形.（2）設(shè)，，由（1）知，又，，則，當(dāng)時(shí)，最大，即是的中點(diǎn)時(shí)，截面面積最大.例題2．在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)在底面上的射影為棱的中點(diǎn)，且與底面所成角為，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn).(1)證明：；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)見解析；(2).【詳解】（1）分別連接，，為中點(diǎn)，為等邊三角形，點(diǎn)在底面上的投影為點(diǎn)，平面，平面，，又平面平面，面，面，.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,點(diǎn)到面的距離為，，為在底面上的投影,為與面所成角，，垂直平分，，為正三角形，，Rt中，易得，，，到的距離為，，又，由，，，，點(diǎn)到平面的距離為例題3．如圖，三棱臺(tái)中，，，四邊形為等腰梯形，，平面平面.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)AD、BE、CF交于點(diǎn)P，∵四邊形ACFD為等腰梯形，∠ACF＝45°，∴∠APC＝90°，即CP⊥AP，∵平面ABED⊥平面ACFD，平面平面ACFD＝AP，平面ACFD，∴CP⊥平面ABED，∵平面ABED，∴CP⊥AB.（2）由AC＝2AB＝2DF，可知D為PA的中點(diǎn)，設(shè)AB＝DF＝a，則，，由（1）知，CP⊥AB，∵∠ABC＝90°，即AB⊥BC，，CP、平面PBC，∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴，，過點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，∵AB⊥平面PBC，平面PBC，∴AB⊥PM，又，AB、平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，由（1）知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴，即，∴，∵D為PA的中點(diǎn)，∴D到平面ABC的距離，∴直線BD與平面ABC所成角的正弦值為.例題4．在三棱錐中，，，、分別是棱、的中點(diǎn).(1)證明：；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，當(dāng)上的點(diǎn)滿足.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，如圖，因，，則，，而平面，平面，，于是得平面，又平面，所以.（2）當(dāng)上的點(diǎn)滿足時(shí)，平面連接交于，連接，、分別是、的中點(diǎn)，則是△的重心，有，即有，因此，而平面，平面，所以平面．同類題型演練1．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．求證：(1)；(2)平面ABE．（1）在四棱錐中，∵底面ABCD，CD?平面ABCD，∴，∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴平面PAC．而AE?平面PAC，∴CD⊥AE．（2）由AB＝BC，，得，又PA＝AB＝BC，所以AC＝PA．∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．2．如圖，在三棱錐A-BCD中，且AD⊥DC，AC⊥CB，面ABD⊥面BCD，AD＝CD＝BC，E為AC的中點(diǎn)，H為BD的中點(diǎn).(1)求證：AD⊥BC；(2)在直線CH上確定一點(diǎn)F，使得AF∥面BDE，求AF與面BCD所成角的度數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)45°（1）證明:，為中點(diǎn)，所以，又面面，且面面，所以面，則，又,,,所以面，所以.（2）在CH延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使FH＝HC，且為中點(diǎn)，則四邊形BCDF為平行四邊形，又EH∥AF，EH?面BDE，AF?面BDE，∴AF∥面BDE，又AD⊥面BCD，∴∠AFD即為AF與面BCD所成的角，又DF＝BC＝AD，∴∠AFD＝45°，即AF與面BCD所成的角為45°3．如圖，在四棱錐中，平面底面，底面為平行四邊形，.(1)求證：；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)【詳解】（1）因?yàn)槠矫娴酌?，平面底面，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?（2）解：存在，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).連接，交于點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).在中，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn).所以，且.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?4．如圖，四棱錐的底面是矩形，E為側(cè)棱的中點(diǎn)，側(cè)面是正三角形，且側(cè)面底面．(1)求證：平面；(2)當(dāng)為何值時(shí)，使得？【答案】(1)證明見解析；(2)（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又?cè)面是正三角形，E為側(cè)棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，所以平面；?）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，又平面平面，平面平面，所以平面，所以是在平面上的射影，要使得，只需要，在矩形中，設(shè)，由，可知，又，所以，所以，所以，即，所以，所以，所以當(dāng)為何值時(shí)，使得題型3：空間中的距離問題角度1：點(diǎn)面距典型例題例題1．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由于是的中點(diǎn)，所以到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)這個(gè)距離為，由題可知，所以，由于，所以，所以.故選：A例題2．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是側(cè)面的中心，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：連接，因?yàn)槭莻?cè)面的中心，所以，因?yàn)?，由正方體的性質(zhì)知，所以，是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面所以平面，所以，到平面的距離與到平面的距離相等，設(shè)到平面的距離為中，，，因?yàn)?，所以，，解得所以，到平面的距離為故選：A例題3．在正四棱柱中，，，則點(diǎn)到平面的距離為_____.【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為d，由，即可得故答案為：例題4．已知三棱錐的高為分別為的中點(diǎn)，若平面，平面，平面相交于點(diǎn)，則到平面的距離為___________.【答案】【詳解】如圖所示，平面ABD與平面BCE交于BQ，平面ABD與平面ACF交于AP，所以O(shè)為AP與BQ的交點(diǎn).因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為VC，VA，VB的中點(diǎn)，所以P，Q分別為，的重心，所以，連接DO并延長(zhǎng)交AB于H，連接PQ，設(shè)PQ與DO交于S，則，，易得，所以，，所以，設(shè)三棱錐的高為，三棱錐的高為，所以，所以，故.例題5．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．已知在鱉臑中，平面，．為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______．【答案】【詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，依題意可知平面，所以平面，由于是的中點(diǎn)，所以到平面的距離是到平面的距離的一半，即到平面的距離是.,，所以，由于，所以，，設(shè)到平面的距離為，則，即.故答案為：角度2：線面距典型例題例題1．若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，與底面所成角的大小為60°，則到底面的距離為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【詳解】由題意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1與底面ABCD所成的角，則∠B1AB＝60°，因?yàn)檎睦庵鵄BCD-A1B1C1D1底面邊長(zhǎng)為1，所以B1B＝AB×tan60°＝，即正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱長(zhǎng)為.又因?yàn)锳1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1C1到底面ABCD的距離為A1A＝.故選：D.例題2．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則到平面的距離是________．【答案】【詳解】因?yàn)?，且面，所以，面，則A1B1到平面D1EF的距離為到面的距離，且明顯可見，面，對(duì)于三棱錐，有，設(shè)到面的距離為，由題意得，，，，在中，得到，，所以，，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而可得，故答案為：例題3．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，直線到平面的距離為___________.【答案】.【詳解】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，取的中點(diǎn)E，連接，則，且，又平面，平面，所以，而，所以平面，易知平面，則C1到平面的距離即為直線B1C1到平面的距離，所以直線B1C1到平面的距離為.故答案為：.例題4．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，的中點(diǎn)為.(1)求證：平面；(2)求直線到面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）連接BD交AC于O，連接FO，∵F為AD的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，則，∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF.（2）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD.由于平面ACF，則PB到平面ACF的距離，即P到平面ACF的距離.又因?yàn)镕為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)P到平面ACF的距離與點(diǎn)D到平面ACF的距離相等.取AD的中點(diǎn)E，連接EF，CE，則，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榱庑吻?，，所以，，則，，，，設(shè)點(diǎn)D到平面ACF的距離為，由得即直線PB到平面ACF的距離為.例題5．在直三棱柱中，，，且異面直線與所成的角等于，設(shè)；（1）求的值；（2）求直線到平面的距離.【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）∵，∴就是異面直線與所成的角，即，又連接，∵，則，∴為等邊三角形，∵，，∴，∴，∴；（2）易知平面，此時(shí)有直線上的任意一點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)其為，連接，又∵，，∴平面，并且，∵的面積，并且的面積，∵，∴，∴，∴直線到平面的距離為．角度3：面面距典型例題例題1．用六個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六面體的棱長(zhǎng)為，則平面與平面間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知：正六面體是棱長(zhǎng)為的正方體，，，，，平面平面，連接，，，，平面，又平面，，同理可證得：，又平面，，平面，平面，設(shè)垂足分別為，則平面與平面間的距離為.正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為.在三棱錐中，由等體積法求得：，∴平面與平面間的距離為：.故選：.例題2．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是與的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面之間的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).（1）若為中點(diǎn)，連接，又F是CC1的中點(diǎn)，所以，，故為平行四邊形，所以，又E是AA1的中點(diǎn)，易知：，所以，正方體中，而，面，由面，則面，同理面，又，面，故平面EB1D1平面FBD；（2）由（1）知：平面EB1D1與平面FBD之間的距離等于到面的距離，而，而，，故△中BD的高為，所以，而，到面的距離，所以，可得，故平面EB1D1與平面FBD之間的距離為.例題3．在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面之間的距離．【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)?，，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，所以，平面．又因?yàn)?，所以平面平面．?）解：連接分別交、于點(diǎn)、，則為的中點(diǎn)，且，因?yàn)槠矫?，平面，，又因?yàn)?，，平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，平面，所以線段的長(zhǎng)度等于平面與平面之間的距離，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，且有，則，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，即平面與平面之間的距離為．例題4．如圖，正方體中，.（1）求證：平面平面；（2）求兩平面與之間的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】(1)正方體中，且不在平面內(nèi)，所以平面同理可得，平面又平面平面；（2）如圖，設(shè)，連接，，平面，，又正方體中，平面，，又，平面，根據(jù)（1），平面平面平面，圖中線段EF為兩平面的公垂線段，線段EF的長(zhǎng)即為兩平面間的距離，平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，，兩平面與之間的距離為.題型3同類題型演練1．若四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，且，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，，，，，又為的中點(diǎn)，，四邊形為菱形，，又，平面，在平面中，過作，垂足為，則，又，平面，即到平面的距離為，由已知：，為等邊三角形，，.和均為等邊三角形，，，在中，由余弦定理，，，，在中，.故選：C.2．如圖，在三棱柱中，，，，側(cè)棱的長(zhǎng)為1，則該三棱柱的高等于________【答案】##0.5【詳解】過作平面、直線的垂線，交點(diǎn)分別為O，D，E，連接OD、OC、OE，則即為三棱柱的高，由平面，平面，可得，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，所以四邊形為矩形，在直角三角形和中，，，側(cè)棱的長(zhǎng)為1，則，，所以，所以，即三棱柱的高等于.故答案為：.3．如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，，E為的中點(diǎn)，則到平面EAC的距離為________．【答案】【詳解】連接，因?yàn)椤?，平面，平面，所以∥平面EAC，所以到平面EAC的距離等于到平面EAC的距離，設(shè)到平面EAC的距離為，因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L(zhǎng)為2，，所以，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，,因?yàn)?，所?所以，解得，故答案為：.4．某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，對(duì)棱長(zhǎng)為3的正方體木塊進(jìn)行加工.如圖，學(xué)生需要分別過頂點(diǎn)A和對(duì)角線BD對(duì)正方體木塊進(jìn)行平面切割，兩個(gè)切割面與棱，，，分別交于點(diǎn)M，F(xiàn)，E，N，要求兩次切割所得到的截面平行，且，則兩個(gè)截面間的距離為_____________.【答案】2【詳解】連接，分別交EF，MN于點(diǎn)H，Q，連接AQ.連接AC交BD于點(diǎn)G，連接HG.因?yàn)槠矫嫫矫?，是分別是平面、平面與平面的交線，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面、平面，分別與平面交于直線、，與平面交于直線、，所以，，則四邊形為平行四邊形，.又因?yàn)?，所以點(diǎn)M，F(xiàn)，E，N分別為棱，，，的中點(diǎn)在中，，由平面平面得，又，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，所以平面AMN與平面EFBD間的距離即為Q到平面BDE的距離，即為Q到GH的距離，設(shè)為h，在平行四邊形AGHQ中，，則，即兩個(gè)截面間的距離為2.故答案為：2．5．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方體中，為底面正方形的中心.(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面之間的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，，，四邊形為平行四邊形，，，四邊形，為平行四邊形，分別為中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面.（2）由（1）知：平面，則直線與平面之間的距離即為點(diǎn)到平面的距離，，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，；又，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得：，直線與平面之間的距離為.題型4：直線與平面所成角探索性問題典型例題例題1．已知正三棱柱中，，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，當(dāng)與平面所成的角的正切值為時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危?，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，故平面.（2）解：因?yàn)槠矫?，與平面所成的角為，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，平面，平面，，則，所以，，平面，，所以，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，則.例題2．已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的菱形所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)在底面上的射影是與的交點(diǎn)，已知，是等邊三角形.(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并說明點(diǎn)此時(shí)所在的位置.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)，在線段上靠近點(diǎn)的處.（1）因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的射影是與的交點(diǎn)，所以平面.因?yàn)槠矫?所以.因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?因?yàn)槠矫?所以平面.因?yàn)槠矫?，所?（2）由題意可得、與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以,.所以.因?yàn)?所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，即，解得.故點(diǎn)到平面的距離為.（3）設(shè)直線與平面所成的角為，平面，∴到平面的距離即為到平面的距離.過作垂線平面交于點(diǎn)，則，此時(shí),要使最大，則需使最小，此時(shí).經(jīng)計(jì)算得，，，則，此時(shí)在線段上靠近點(diǎn)的處.例題3．如圖，在三棱錐中，側(cè)面，是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個(gè)側(cè)面是正三角形．(1)求證：；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使與面所成角為？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，.（1）證明：如圖1所示，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：存在．如圖1所示，作于點(diǎn)，由（1）知，因?yàn)?，且平面，所以平面，設(shè)，則，，因?yàn)闊o解，即點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，如圖2所示，所以，解得，即，所以，所以垂足與構(gòu)成一個(gè)正方形，過作交于，連接,因此平面，所以平面，所以，記，則，，所以，解得，即存在滿足條件．同類題型演練1．如圖，三棱錐中，，，．(1)AB上是否存在點(diǎn)Q，使得．若存在，求出點(diǎn)Q的位置并證明，若不存在，說明理由；(2)若，求直線AB與平面PAC所成角的正弦值．【答案】(1)存在Q，且Q是AB中點(diǎn)時(shí)，，證明見解析(2)【詳解】（1）存在Q，且Q是AB中點(diǎn)時(shí)，；證明如下：如圖，取AC中點(diǎn)M，連結(jié)PM，QM，，，∴，又∵PA＝PC，∴，，∴平面PMQ，平面PMQ，即：；（2）如圖，過點(diǎn)B作AC的平行線交MQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由（1）知：平面PMQ，∴平面PMD，平面PMD，，∠BDP＝90°，，，，，中，，DM＝BC＝1，，，由于平面PMQ，平面PAC，∴平面平面PAC，在中，，,點(diǎn)Q到平面PAC的距離，，因此AQ與平面PAC所成角的正弦值，即：直線AB與平面PAC所成角的正弦值為．2．如圖，在三棱錐中，，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面ABC；(2)若E是棱AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求SC與平面SDE所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)椋諨為BC的中點(diǎn)，所以，且，連接，，所以為等腰直角三角形，且，，由，可知，由，，，平面，可知平面.（2）解：因?yàn)?，平面，所以，，所以，?dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，取