8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積（精練）一、單選題1．已知某圓柱的內(nèi)切球半徑為，則該圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，該圓柱底面圓的半徑為，圓柱的高為7，所以該圓柱的側(cè)面積為．故選：B．2．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為12的正方形，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知該圓柱的高和底面直徑是，所以該圓柱的體積為.故選：C.3．已知均在球的球面上運動，且滿足，若三棱錐體積的最大值為6，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的體積為，故選:C.4．已知圓臺的上、下底面的半徑分別為，，若，高，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，過A作AC垂直于于點C，則，∴在直角△ACB中，∴故選：C.5．氈帳是蒙古族牧民居住的一種房子，內(nèi)部木架結(jié)構(gòu)，外部毛氈圍攏，建造和搬遷都很方便，適合牧業(yè)和游牧生活.如圖所示，某氈帳可視作一個圓錐與一個圓柱的組合，圓錐的高為3米，圓柱的高為2.5米，底面直徑為8米，則建造該氈帳需要毛氈（

）平方米.A． B． C． D．【答案】B【詳解】圓柱的側(cè)面積為平方米；圓錐的母線長為，側(cè)面積為平方米.所以建造該氈帳需要毛氈平方米.故選：B6．《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當于給出了由圓錐底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式，一個圓錐的側(cè)面展開圖扇形的中心角為，半徑為5．按上述公式計算該幾何體的體積為（

）．（計算時圓周率近似取3）A．48 B．49 C．52 D．54【答案】A【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則圓錐的底面周長，所以，高，由近似公式得．故選：A．7．亭是我國古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場所，也是園林風(fēng)景的重要點綴．重檐圓亭（圖1）是常見的一類亭，其頂層部分可以看作是一個圓錐以及一個圓臺（圖2）的組合體．已知某重檐涼亭的圓臺部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺部分的側(cè)面積為（）A．m2 B．3.6m2 C．7.2m2 D．11.34m2【答案】A【詳解】由圓臺的軸截面圖，母線，所以該圓臺側(cè)面積.故選：A.8．《九章算術(shù)·商功》中描述很多特殊幾何體，例如“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”，即如圖，一個長方體，沿對角面分開（圖1），得到兩個一模一樣的塹堵（圖2），將其中一個塹堵，沿平面分開（圖2），得到一個四棱錐稱為陽馬（圖3），和一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若鱉臑的體積為4，且，則陽馬的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由切割過程可知，平面，，，∴，∴.為長方體體對角線，即為的外接球直徑，，∴陽馬的外接球的表面積為.故選：B二、多選題9．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體.已知，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（

）A．該半正多面體的體積為B．該半正多面體過三點的截面面積為C．該半正多面體外接球的表面積為D．該半正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足關(guān)系式【答案】BD【詳解】如圖，該半正多面體，是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的.A：因為由正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為：，故A錯誤；B：如圖，過三點的截面為正六邊形，又，所以正六邊形面積為，故B正確；C：根據(jù)該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為，側(cè)棱長為2的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積為，故C錯誤；D：幾何體頂點數(shù)為12，有14個面，24條棱，滿足，故D正確.故選：BD10．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征(如圖1甲)，圖乙是一個圓臺的側(cè)面展開圖(扇形的一部分)，若兩個圓弧所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．內(nèi)切球的半徑為【答案】ACD【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則，即；，即；圓臺的母線長，所以圓臺的高，故A正確；圓臺的體積，故B錯誤；圓臺的表面積，所以C正確；由于圓臺的母線長等于上下底面半徑和，所以圓臺的高即為內(nèi)切球的直徑，所以內(nèi)切球的半徑為，即D正確.故選：ACD.三、填空題11．球面上三點A、B、C，AB＝18，BC＝24，AC＝30，球心到平面ABC的距離為球半徑的一半，則球半徑為______．【答案】【詳解】因為，，，所以，所以為直角三角形，則為球小圓的直徑，設(shè)球半徑為，如圖：由題意可知：，解得：，故答案為：.12．如圖，在正四棱臺中，，分別是正方形，的中心.若以為球心，為半徑的球與平面相切，且是該四棱臺的外接球的球心，則該四棱臺的體積與其外接球的體積之比為______.【答案】【詳解】設(shè)，，，因為以為球心，為半徑的球與平面相切，所以，因為是該四棱臺的外接球球心，所以，即，所以四棱臺的體積，且外接球的體積，則.故答案為：.四、解答題13．如圖，某種水箱用的“浮球”，是由兩個半球和一個圓柱筒組成.已知球的直徑為8cm，圓柱筒高為3cm.(1)求這種“浮球”的體積；(2)要在這樣的3000個“浮球”的表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方厘米需要涂膠0.1克，共需膠多少克？【答案】(1)(2)26400克【詳解】（1）由題意得該幾何體由兩個半球和一個圓柱筒組成，所以體積為一個球體體積和一個圓柱體積之和，由球體的體積為：，圓柱體積為：，所以浮球的體積為：.（2）上下半球的表面積：，圓柱側(cè)面積：，所以，1個浮球的表面積為，3000個浮球的表面積為：，因此每平方厘米需要涂膠0.1克，共需膠克.14．如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，其高為，底面三角形的邊長分別為，，.(1)以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個圓柱，求剩余部分幾何體的體積；(2)求該三棱柱的外接球的表面積與內(nèi)切球的體積.【答案】(1)(2)外接球的表面積為，內(nèi)切球的體積為【詳解】（1）因為底面三角形的邊長分別為，，，由勾股定理逆定理可知：底面三角形為直角三角形，兩直角邊分別為，，又因為三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，其高為，所以設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則，圓柱體積所以剩下的幾何體的體積（2）由（1）可知該直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，則內(nèi)切球球的體積直三棱柱可補形為棱長分別為的長方體，它的外接球的球半徑滿足，即所以，該直三棱柱的外接球的表面積為.B能力提升15．如圖，是一圓柱形樹樁的底面直徑，是圓柱的母線，且，點是圓柱底面圓周上的點．(1)求該樹樁的側(cè)面積和體積；(2)若，是的中點，線有一只小蟲在點，先在線段上鉆一個小洞，記為點，若該小蟲要從點鉆過小洞點到達點，要使得小蟲爬過的路徑最短，請你確定小洞點的位置，并求出路徑的最小值．【答案】(1)，；(2)位置見解析，最小值為（1）由題意得，圓柱的底面半徑為1，高為2，所以樹樁的側(cè)面積為，樹樁的體積為．（2）路徑為，如圖，將繞所在直線旋轉(zhuǎn)到的位置，使其與平面共面，且在的反向延長線上．此時與的交點即為使取得最小值的點的位置，即小洞的位置．∵，∴，．又，∴在中，由余弦定理得，∴的最小值為，即路徑的最小值為．16．如圖，正四棱錐中，是這個正四棱錐的高，是斜高，且，．(1)求這個四棱錐的全面積(2)分別求出該幾何體外接球與內(nèi)切球的半徑．【答案】(1)；(2)；（1）連接，．在中，，故．所以，，故這個四棱錐的全面積為；（2）由題幾何體外接球球心在線段上，設(shè)為，設(shè)外接的半徑為．因為，所以，在中，由勾股定理得：，即，解得：設(shè)內(nèi)接球的半徑為．，所以，解得：.C綜合素養(yǎng)17．已知在圓錐中，底面的直徑，的面積為12．(1)求圓錐的表面積；(2)若球內(nèi)切于圓錐，用一個與圓錐的底面平行且與球相切（切點）的平面截圓錐得圓臺，求球的體積和圓臺的體積之比．【答案】(1)；(2)(1)設(shè)圓錐的母線長為，底面的直徑為，所以，因為的面積為12，所以，解得，由勾股定理有：，由圓錐的表面積公式有：.所以圓錐的表面積為.(2)作該圓錐的軸截面，如圖，則因為球內(nèi)切于圓錐，所以，所以，設(shè)球的半徑為，則，即，解得，所以球的體積為.由題知，，所以，即，解得.所以圓的面積，又圓的面積，圓臺的高記為，所以，由圓臺的體積公式有，所以球的體積和圓臺的體積之比為.18．如圖，已知圓錐的頂點為P，O是底面圓心，AB是底面圓的直徑．(1)若，求圓錐側(cè)面積與底面積的比和圓錐側(cè)面展開圖扇形圓心角的弧度數(shù)；(2)經(jīng)