4/132021北京重點(diǎn)校高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編集合與常用邏輯用語(yǔ)綜合一、單選題1．（2021·北京師大附中高一期末）已知平面向量滿足，則“與互相垂直”是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021·北京二中高一期末）設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2021·北京·人大附中高一期末）若是兩條不同的直線，垂直于平面，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2021·北京·匯文中學(xué)高一期末）已知平面，和直線，且，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2021·北京二中高一期末）設(shè)函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)是的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）向量“，不共線”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，則（）A． B． C． D．8．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）設(shè)平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分不必要條件9．（2021·北京·人大附中高一期末）“直線垂直平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必安條件10．（2021·北京·清華附中高一期末）“，”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．（2021·北京·清華附中高一期末）已知集合與的交集為，則a的值可以為（）A．0 B．1 C．2 D．312．（2021·北京二中高一期末）已知集合，則（）A． B． C． D．二、解答題13．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）設(shè)n為正整數(shù)，集合A=．對(duì)于集合A中的任意元素和，記M（）=．（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，M（）是偶數(shù)．求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值；（Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素，M（）=0．寫(xiě)出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由．14．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的一個(gè)有序數(shù)組，記作．其中稱為數(shù)組的“元”，稱為數(shù)組的“元”的下標(biāo)，如果數(shù)組中的每個(gè)“元”都是來(lái)自數(shù)組中不同下標(biāo)的“元”，則稱為的“子數(shù)組”．定義兩個(gè)數(shù)組，的“關(guān)系數(shù)”為．（1）若，，且中的任意兩個(gè)“元”互不相等，的含有兩個(gè)“元”的不同“子數(shù)組”共有個(gè)，分別記為．①；②若，，記，求的最大值與最小值；（2）若，，且，為的含有三個(gè)“元”的“子數(shù)組”，求的最大值．15．（2021·北京二中高一期末）對(duì)于集合M，定義函數(shù)對(duì)于兩個(gè)集合M，N，定義集合已知4，6，8，，2，4，8，．Ⅰ寫(xiě)出和的值，并用列舉法寫(xiě)出集合；Ⅱ用表示有限集合M所含元素的個(gè)數(shù)，求的最小值；Ⅲ有多少個(gè)集合對(duì)，滿足P，，且？16．（2021·北京二中高一期末）已知集合，若集合，且對(duì)任意的，存在，使得（其中），則稱集合為集合的一個(gè)元基底.（Ⅰ）分別判斷下列集合是否為集合的一個(gè)二元基底，并說(shuō)明理由；①，；②，.（Ⅱ）若集合是集合的一個(gè)元基底，證明：；（Ⅲ）若集合為集合的一個(gè)元基底，求出的最小可能值，并寫(xiě)出當(dāng)取最小值時(shí)的一個(gè)基底.17．（2021·北京·清華附中高一期末）已知n為不小于3的正整數(shù)，記對(duì)于中的兩個(gè)元素，，定義為，，…，中的最小值.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，，求的值；（Ⅱ）若，為中的兩個(gè)元素，且，求實(shí)數(shù)b的所有可能取值構(gòu)成的集合.（Ⅲ）若，且對(duì)于任意的，均有，求L的最小值.18．（2021·北京二中高一期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，關(guān)于的不等式的解集為.（1）求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案1．C【分析】第一點(diǎn)：充分利用非零向量垂直與兩向量數(shù)量積為零的相互轉(zhuǎn)化；第二點(diǎn)：緊扣充分，必要條件的概念.【詳解】若與互相垂直，則，展開(kāi)得，把代入解得，，所以.若，則，有，所以與互相垂直.綜上可知，“與互相垂直”是的充分必要條件.故選：C.2．C【分析】運(yùn)用兩直線平行的充要條件得出與平行時(shí)的值，而后運(yùn)用充分必要條件的知識(shí)來(lái)解決即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，兩條直線的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線平行.當(dāng)與平行時(shí)可得：，解得或.若時(shí)，由上可得與平行當(dāng)時(shí)，，,此時(shí)兩直線重合.所以當(dāng)與平行時(shí)，故“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：C3．B【詳解】若，因?yàn)榇怪庇谄矫?，則或；若，又垂直于平面，則，所以“”是“的必要不充分條件，故選B．考點(diǎn)：空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系．4．A【分析】根據(jù)線面平行關(guān)系，利用定義法直接判斷即可.【詳解】若，，則與無(wú)公共點(diǎn)，根據(jù)線面平行的定義，知；反過(guò)來(lái)，，不能推出，因?yàn)榕c可能相交；所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.5．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，由可得在上為奇函數(shù)，由時(shí)，為增函數(shù)，進(jìn)行分析判斷即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，，所以為奇函數(shù)，由時(shí)，為增函數(shù)，由在上為奇函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，，由，可得，可得，所以，由可得，所以，可得，故對(duì)任意實(shí)數(shù)是的充要條件.故選：A6．A【分析】先轉(zhuǎn)化條件，再判斷充分性成立和必要性,即可求解.【詳解】解：由題意：，此時(shí)，不共線或反向共線，充分性：由“，不共線”可推出“”，所以充分性成立；必要性：若“”，推不出“，不共線”，所以必要性不成立.所以“，不共線”是“”的充分不必要條件.故選：A.7．D【分析】求出函數(shù)的定義域后，由交集定義計(jì)算．【詳解】由得，∴，又，∴．故選：D．8．A【詳解】試題分析：α⊥β，b⊥m又直線a在平面α內(nèi)，所以a⊥b，但直線不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件.9．B【分析】根據(jù)線面垂直的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)直線垂直平面內(nèi)的所有直線時(shí)，才能得到，所以由直線垂直平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不一定能推出，但是由一定能推出直線垂直平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，所以直線垂直平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線是的必要不充分條件，故選：B10．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)，結(jié)合充分必要條件的概念即可判斷.【詳解】，時(shí)，，，時(shí)，，所以“，”是“”的充分而不必要條件，故選:.11．D【分析】由已知得到中的元素都不在中，即1和2都不滿足不等式,由此得到的取值范圍，從而做出判定.【詳解】由已知得中的元素都不在中，即1和2都不滿足不等式,所以且,所以,故選：D.12．B【分析】分析集合M中元素與集合N的關(guān)系即可得解.【詳解】顯然，集合M中只有兩個(gè)元素，所以.故選：B13．(1)2,1;(2)最大值為4;(3)【詳解】（Ⅰ），．（Ⅱ）考慮數(shù)對(duì)只有四種情況：、、、，相應(yīng)的分別為、、、，所以中的每個(gè)元素應(yīng)有奇數(shù)個(gè)，所以中的元素只可能為（上下對(duì)應(yīng)的兩個(gè)元素稱之為互補(bǔ)元素）：、、、，、、、，對(duì)于任意兩個(gè)只有個(gè)的元素，都滿足是偶數(shù)，所以集合、、、滿足題意，假設(shè)中元素個(gè)數(shù)大于等于，就至少有一對(duì)互補(bǔ)元素，除了這對(duì)互補(bǔ)元素之外還有至少個(gè)含有個(gè)的元素，則互補(bǔ)元素中含有個(gè)的元素與之滿足不合題意，故中元素個(gè)數(shù)的最大值為．（Ⅲ），此時(shí)中有個(gè)元素，下證其為最大．對(duì)于任意兩個(gè)不同的元素，滿足，則，中相同位置上的數(shù)字不能同時(shí)為，假設(shè)存在有多于個(gè)元素，由于與任意元素都有，所以除外至少有個(gè)元素含有，根據(jù)元素的互異性，至少存在一對(duì)，滿足，此時(shí)不滿足題意，故中最多有個(gè)元素.14．（1）①6；②最大值為199，最小值為5；（2）1【分析】（1）①根據(jù)“子數(shù)組”的定義可得；②不妨設(shè)，則可得，根據(jù)可得最值；（2）分為中含0和不含0兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，再結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）①根據(jù)“子數(shù)組”的定義可得，的含有兩個(gè)“元”的不同“子數(shù)組”有共6個(gè)，；②不妨設(shè)，，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)是連續(xù)的四個(gè)整數(shù)時(shí)，取得最小值為；（2）由，且可知，實(shí)數(shù)具有對(duì)稱性，故分為中含0和不含0兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，①當(dāng)0是中的“元”時(shí)，由于中的三個(gè)“元”都相等及B中三個(gè)“元”的對(duì)稱性，可只計(jì)算的最大值，因?yàn)?，則，可得，故當(dāng)時(shí)達(dá)到最大值，故；②當(dāng)0不是中的“元”時(shí)，，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，故，綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查新定義問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確理解子數(shù)組的定義以及“關(guān)系數(shù)”的定義，巧妙利用不等式的性質(zhì)求解.15．(1),,，(2)4，（3）128【詳解】試題分析：（Ⅰ）依據(jù)定義直接得到答案；（Ⅱ）根據(jù)題意可知：對(duì)于集合,①且,則;②若且,則.，據(jù)此結(jié)論找出滿足條件的集合，從而求出的最小值．（Ⅲ）由P，Q?A∪B，且（P△A）△（Q△B）=A△B求出集合P，Q所滿足的條件，進(jìn)而確定集合對(duì)（P，Q）的個(gè)數(shù)．試題解析：(Ⅰ),,.(Ⅱ)根據(jù)題意可知：對(duì)于集合,①且,則;②若且,則.所以要使的值最小,2,4,8一定屬于集合;1,6,10,16是否屬于不影響的值;集合不能含有之外的元素.所以當(dāng)為集合{1,6,10,16}的子集與集合{2,4,8}的并集時(shí),取到最小值4.(Ⅲ)因?yàn)?所以.由定義可知：.所以對(duì)任意元素,,.所以.所以.由知：.所以.所以.所以,即.因?yàn)?所以滿足題意的集合對(duì)的個(gè)數(shù)為.點(diǎn)睛：本題主要考查新定義問(wèn)題、集合與集合間的基本關(guān)系、函數(shù)、集合的基本運(yùn)算，考查了分類(lèi)討論思想與邏輯推理能力.(1)由題意易得結(jié)論；(2)根據(jù)題意可知：對(duì)于集合,若且,則;若且,則，由此可得結(jié)論；(3)由題意易得，由定義可知：，易知，由可得，則結(jié)論易得.16．（Ⅰ）①不是的一個(gè)二元基底.；②是的一個(gè)二元基底.（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ），的最小可能值為5.當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等.【詳解】分析：（I）利用二元基底的定義加以驗(yàn)證，可得不是的一個(gè)二元基底.，是的一個(gè)二元基底.．

（II）設(shè)，計(jì)算出的各種情況下的正整數(shù)個(gè)數(shù)并求出它們的和，結(jié)合題意得，即．

（III）由（Ⅱ）可知，所以，并且得到結(jié)論“基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè)”．再討論當(dāng)時(shí)，集合的所有情況均不可能是的4元基底，而當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底，由此可得的最小可能值為5．詳解：（Ⅰ）①不是的一個(gè)二元基底.理由是；②是的一個(gè)二元基底.理由是，.（Ⅱ）不妨設(shè)，則形如的正整數(shù)共有個(gè)；形如的正整數(shù)共有個(gè)；形如的正整數(shù)至多有個(gè)；形如的正整數(shù)至多有個(gè).又集合含個(gè)不同的正整數(shù)，為集合的一個(gè)元基底.故，即.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.當(dāng)時(shí)，，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè).*假設(shè)為的一個(gè)4元基底，不妨設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)或.如果，則由，與結(jié)論*矛盾.如果，則或.易知和都不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當(dāng)時(shí)，均不可能是的4元基底.當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要寫(xiě)出一個(gè)即可.綜上，的最小可能值為5.點(diǎn)睛：本題以一個(gè)集合為另一個(gè)集合的元基底的討論為載體，著重考查了集合元素的討論和方程、不等式的整數(shù)解的討論和兩個(gè)計(jì)數(shù)原理等知識(shí)，屬于難題．17．（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）利用定義計(jì)算即得;（Ⅱ）根據(jù)定義和條件得到不等式組，求解即得;（Ⅲ）先找一特例，使得,然后證明不可能更大即可.【詳解】（Ⅰ），，，,=；（Ⅱ）若，，，,或.,解得或,即實(shí)數(shù)b的所有可能取值構(gòu)成的集合;（Ⅲ）若，且對(duì)于任意的，均有，當(dāng)時(shí)，，所以.若存在,使得,則,矛盾.所以