答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)湖北省襄陽(yáng)市第四中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．（

）．A．0 B．1 C． D．22．已知向量，，若與共線，則（

）A．3 B． C． D．3．某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．高一某班10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成績(jī)（單位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）A．85 B．86 C．85.5 D．86.55．若點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．6．如圖，在正四棱臺(tái)中，分別為棱的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線是異面直線 B．直線與直線是異面直線C．直線與直線共面 D．直線與直線共面7．在中，是邊上的點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．8．如圖，這是一副直角三角板組成的平面圖形，從中抽象出四邊形，其中，，，，．現(xiàn)將沿著折起，連接，得到三棱錐，取的中點(diǎn)分別為，連接．若，則直線與平面所成的角為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．已知向量，，則（

）A． B．若，則C． D．向量在向量上的投影向量為10．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，其中為等邊三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則(

)A．B．C．直線是圖象的一條對(duì)稱軸D．將的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象與函數(shù)的圖象重合11．已知函數(shù)函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則（

）A．的取值范圍是 B．C．的最小值是 D．越大，的值越大三、填空題12．雅言傳承文明，經(jīng)典浸潤(rùn)人生，南寧市某校每年舉辦“品經(jīng)誦典浴書香，提雅增韻享閱讀”中華經(jīng)典誦讀大賽，比賽內(nèi)容有三類：“誦讀中國(guó)”、“詩(shī)教中國(guó)”、“筆墨中國(guó)”．已知高一、高二、高三報(bào)名人數(shù)分別為：100人、150人和250人．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從三個(gè)年級(jí)中抽取25人組成校代表隊(duì)參加市級(jí)比賽，則應(yīng)該從高一年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為．13．某圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為，若母線長(zhǎng)為15，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為．14．如圖所示的正六邊形，是由六個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為與的全等的直角三角形拼接而成的，該圖形（陰影部分）繞著線段的中垂線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，現(xiàn)在用密度為的材料去制造該幾何體，則該幾何體的質(zhì)量為g.（結(jié)果用π表示）四、解答題15．已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù).(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù)的模.16．如圖，在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)．(1)證明：∥平面．(2)設(shè)，．①證明：平面．②求點(diǎn)到平面的距離．17．已知函數(shù)（，且）．(1)求的定義域；(2)若，求；(3)求不等式的解集．18．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角B；(2)如圖，的角平分線交于點(diǎn)D，且，，（i）求的長(zhǎng)度；（ii）若邊上的中線與相交于點(diǎn)F，求的余弦值．19．正方形中，，為的中點(diǎn)，，．將沿翻折到，沿翻折到，連接．(1)求證：：(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的正弦值；(3)設(shè)直線與平面所成角為，問(wèn)是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．《湖北省襄陽(yáng)市第四中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案DDDBACACACDBCD題號(hào)11答案BCD1．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及模的公式求解即可.【詳解】由，則．故選：D2．D【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示，列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，與共線，所以，解得，故選：D.3．D【分析】分別列出兩個(gè)事件包含的基本事件，再由充分條件和必要條件的概念判斷即可.【詳解】連續(xù)射擊兩次，基本事件有A：“兩次都中靶”，B：“兩次都沒(méi)中靶”，C：“第一次中靶且第二次沒(méi)中靶”，D：“第一次沒(méi)中靶且第二次中靶”.事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D，所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要條件.故選：D.4．B【分析】把數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，然后用百分位數(shù)的定義求解.【詳解】從小到大的順序排列數(shù)據(jù)為：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是第八個(gè)數(shù)據(jù)86.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查總體百分位數(shù)的估計(jì)，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.5．A【分析】先由三角函數(shù)的定義，得到，再化簡(jiǎn)原式為，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】由點(diǎn)在角的終邊上，可得，則．故選：A.6．C【分析】由正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于同一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線必過(guò)此點(diǎn)，可判斷選項(xiàng)中的線線位置關(guān)系.【詳解】延長(zhǎng)，由正四棱臺(tái)的性質(zhì)可得側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于同一點(diǎn)，設(shè)該交點(diǎn)為.分別為棱的中點(diǎn)，延長(zhǎng)，則的延長(zhǎng)線必過(guò)點(diǎn)，則直線與直線相交于點(diǎn)；與直線相交于點(diǎn)；與直線相交于點(diǎn)；與直線是異面直線.故選：C.7．A【分析】設(shè)，在中，由余弦定理求出，利用平方關(guān)系求出，在中再由正弦定理可得答案.【詳解】設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，因?yàn)椋?，，在中，由正弦定理得，?故選：A.8．C【分析】過(guò)點(diǎn)作的平行線，并與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),進(jìn)而由平面得到為直線與平面所成的角,借助余弦定理及三角函數(shù)的定義即可求出線面角.【詳解】由題意易得又因?yàn)榍颐妫云矫?如圖過(guò)點(diǎn)作的平行線，并與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，所以平面.連接，則直線與平面所成的角為．在中，，由，，可得.由，可得.則，則．故選：C.

9．ACD【分析】借助模長(zhǎng)公式可得A；借助向量垂直數(shù)量積為零計(jì)算可得B；借助向量坐標(biāo)運(yùn)算可得C；借助投影向量公式計(jì)算可得D.【詳解】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，由，得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，則向量在向量上的投影向量為，故D正確；故選：ACD．10．BCD【分析】對(duì)A，由圖數(shù)據(jù)得邊長(zhǎng)，求出；對(duì)B，由點(diǎn)坐標(biāo)求出；對(duì)C，代入驗(yàn)證最值；對(duì)D，由圖象變換可得.【詳解】對(duì)于A：如圖，因?yàn)??為等邊三角形，且高為??，所以邊長(zhǎng)為，所以，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，，解得又，所以，B正確；對(duì)于C：由上知，而，C正確；對(duì)于D：的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，解析式變?yōu)?，即所得圖象與函數(shù)的圖象重合，D正確.故選：BCD.11．BCD【分析】首先畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像即可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤，再利用函數(shù)的性質(zhì)，列出等式即可得到選項(xiàng)B正確，由將選項(xiàng)C化為，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C,D的對(duì)錯(cuò).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:畫出的大致圖象，由圖可知，則A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，所以，則B正確.對(duì)于選項(xiàng)C：由圖可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則C正確.對(duì)于選項(xiàng)D：在上單調(diào)遞減.因?yàn)樵酱?，越小，所以的值越大，則D正確.故選：BCD12．5【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】根據(jù)題意可得：高一、高二、高三報(bào)名人數(shù)之比為，故從高一年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.故答案為：5.13．【分析】設(shè)該圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，根據(jù)條件求出，再利用圓臺(tái)的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，則，其母線長(zhǎng)，所以，，故，故答案為：.14．【分析】外部正六邊形的邊長(zhǎng)為，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是兩個(gè)全等的圓臺(tái)，計(jì)算其體積；內(nèi)部的六邊形邊長(zhǎng)為2cm，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是一個(gè)圓柱和兩個(gè)與圓柱同底的圓錐，計(jì)算其體積，兩體積之差即為該圖形（陰影部分）繞著線段的中垂線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積，乘以密度即可求解.【詳解】外部正六邊形的邊長(zhǎng)為，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是兩個(gè)全等的圓臺(tái)，上底面半徑為，下底面半徑為，高為,體積為.內(nèi)部的六邊形邊長(zhǎng)為2cm，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是一個(gè)圓柱和兩個(gè)與圓柱同底的圓錐，圓錐的底面半徑為，高為1cm，圓柱的底面半徑為，高為，內(nèi)部的六邊形旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積為，所以該幾何體的體積為，用密度為的材料去制造該幾何體，則該幾何體的質(zhì)量為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用純虛數(shù)概念，結(jié)合乘法計(jì)算即可；（2）運(yùn)用模長(zhǎng)公式，結(jié)合除法和共軛復(fù)數(shù)知識(shí)求解.【詳解】（1）由題意得，是純虛數(shù)，，，（2）.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析；②【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，由中位線證得，再利用線面平行的判定定理即可得證；（2）①先證得，，利用線面垂直的判定定理得平面，繼而得.再利用平面圖形的性質(zhì)證得，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理即可得證；②設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，先由余弦定理求得，繼而求得，，.再根據(jù)等體積法得，即可求得.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥．因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面．?）①因?yàn)槭侵比庵裕驗(yàn)?，為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，平面，所以平?∵平面，∴．因?yàn)椋?，所以，所以．因?yàn)?，所以，，．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋矫?，所以平面．②在中，，，，則．因?yàn)椋裕O(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由①可知平面，所以三棱錐的體積．則，即點(diǎn)到平面的距離為．17．(1)(2)或(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域構(gòu)造不等式求解即可；（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（3）分和判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可求解；【詳解】（1）由題意得解得，即的定義域?yàn)椋?）由，得或，解得或．（3）當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，又在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，則是增函數(shù)，由，得，解得，即的解集為．當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，又在上為減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，可得是減函數(shù)，由，得，解得，即的解集為．綜上：當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為.18．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理求出即可得解.（2）（i）根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形面積的分割關(guān)系列出等式，求解BD的長(zhǎng)度.（ii）易知為向量的夾角，利用中線向量運(yùn)算得，結(jié)合角平分線定理利用向量線性運(yùn)算得，然后利用平面向量的夾角公式求解余弦值即可.【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）（i）已知的角平分線交于點(diǎn)D，則，又在中，，即，即，解得.（ii）因?yàn)闉榈闹芯€，所以，又，則，因?yàn)?，為的角平分線，在中，因?yàn)?，得到①，在中，因?yàn)?，得到②，又，由①②得到，所以，因?yàn)?，所以，即的余弦值?19．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)不存在，使得能取得最大值，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，即可求證.（2）根據(jù)二面角的幾何法可得即為二面角的平面角，即可由三角形的邊角關(guān)系求解，（3）理由等體積法求解點(diǎn)到