試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)遼寧省遼西重點(diǎn)高中2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，，且，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．113．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．，4．定義在上的偶函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（

）A． B． C． D．5．已知樣本數(shù)據(jù)均為正數(shù)，其方差，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（

）A．1 B． C．2 D．6．在直角梯形中，已知，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)，和滿足，若，則的最大值為（

）A． B．3 C． D．18．如圖，在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱中，分別為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，若平面，則（

）

A． B． C． D．二、多選題9．已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．b的取值范圍是 B．的最小值為C．的最小值為2 D．的最小值10．小榮愛(ài)好籃球，他記錄了在7月份的10次訓(xùn)練成績(jī)和8月份的20次訓(xùn)練成績(jī).通過(guò)計(jì)算，他發(fā)現(xiàn)7月份的訓(xùn)練成績(jī)的平均值為94，方差為2.3；8月份的訓(xùn)練成績(jī)的平均值為97，方差為1.1.下列說(shuō)法正確的是（

）A．小榮這兩個(gè)月的30次訓(xùn)練成績(jī)的平均值為96B．小榮這兩個(gè)月的30次訓(xùn)練成績(jī)的平均值為95.5C．小榮這兩個(gè)月的30次訓(xùn)練成績(jī)的方差為2.5D．小榮這兩個(gè)月的30次訓(xùn)練成績(jī)的方差為3.511．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，的平分線交于點(diǎn)，則（

）A．B．外接圓的面積為C．若，則為直角三角形D．若的內(nèi)切圓的圓心為，則周長(zhǎng)的最大值為三、填空題12．直線經(jīng)過(guò)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則的最小值為.13．先把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸．14．已知銳角的面積為，點(diǎn)分別在上，且對(duì)任意恒成立，則．四、解答題15．已知函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，n，都有，且當(dāng)時(shí)，有．(1)求的值；(2)求證：在R上為增函數(shù)；16．已知函數(shù)（為常數(shù)，）．(1)當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，若方程在上有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．如圖，在中，分別為邊上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)，記，，，．

(1)求和的值，并用表示；(2)若，，，求與夾角的余弦值．18．中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求角C的值；(2)求的最大值；(3)若AB邊上的中線CD長(zhǎng)為，求的面積．19．已知四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為1的正方形，平面.(1)求證：平面；(2)若，平面與平面的交線為，求直線與直線所成角的余弦值；(3)若為中點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《遼寧省遼西重點(diǎn)高中2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ABAACDBCABAD題號(hào)11答案ACD1．A【分析】先用列舉法表示集合，再求兩個(gè)集合的交集.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A2．B【分析】整理題干中的等式，根據(jù)基本不等式中隱藏“1”的解題方法，可得答案.【詳解】由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.3．A【分析】應(yīng)用分段函數(shù)性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.4．A【分析】由函數(shù)滿足，可得函數(shù)的周期為4，，再根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)，，代入利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可得答案．【詳解】因?yàn)?，所以是一個(gè)周期為4的周期函數(shù).因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，∴所以.因?yàn)椋运?所以.故選：A.5．C【分析】根據(jù)方差的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則方差，所以，即，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)均為正數(shù)，所以，故.故選：C.6．D【分析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，且，，從而得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，所在直線為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意，有，，，，設(shè)，則，且，，，因，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故．

故選：D．7．B【分析】先利用復(fù)數(shù)的模與加減法的幾何意義，及三角形兩邊之和大于第三邊得到，再將時(shí)各復(fù)數(shù)的取值取出，即可得到的最大值.【詳解】根據(jù)題意，得，當(dāng)，，時(shí)，，此時(shí)，所以.故選：B.8．C【分析】取中點(diǎn)，先證明平面，進(jìn)而得到，然后分析出要使平面，只需.通過(guò)計(jì)算得到，進(jìn)而在中求出，即可得解.【詳解】

如圖所示，取中點(diǎn)，連接.是正三棱柱，為線段的中點(diǎn)，，，平面，平面，.,平面，平面，平面，.要使平面，只須.設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為，則，.在中，，，.故選：C9．AB【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意可得，，運(yùn)算求解即可；對(duì)于BCD：根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析判斷，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足，則，，解得，，故A正確，對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，整理可得，解得，或（舍去），?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，所以2不是的最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，且，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．AD【分析】根據(jù)分層抽樣的平均數(shù)公式及方差公式計(jì)算判斷.【詳解】由題意可得小榮這兩個(gè)月的30次訓(xùn)練成績(jī)的平均值為，則他這兩個(gè)月的30次訓(xùn)練成績(jī)的方差為.故選：AD11．ACD【分析】利用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)目標(biāo)式求解出判斷A，利用正弦定理求出三角形外接圓的半徑，再結(jié)合圓的面積公式求出外接圓面積判斷B，結(jié)合題意求出，再得到，利用余弦定理求出，，結(jié)合勾股定理得到為直角三角形判斷C，作出符合題意的圖形，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到，再利用正弦定理得到，結(jié)合兩角差的正弦公式表示出周長(zhǎng)，最后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解最大值判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，由題意得，由正弦定理得，可得，化簡(jiǎn)得，由兩角和的正弦公式得，故，而，則，得到，解得，而，可得，故A正確，對(duì)于B，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理得，解得，由圓的面積公式得外接圓的面積為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，如圖，作出符合題意的圖形，因?yàn)?，所以，而的平分線交于點(diǎn)，則，得到，即，故，在中，由余弦定理得，解得，故，滿足，則為直角三角形，故C正確，對(duì)于D，如圖，作出符合題意的圖形，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈膬?nèi)心為，所以，故，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，，則，得到的周長(zhǎng)為，因?yàn)椋?，則，可得，故D正確．故選：ACD12．9【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分析可知函數(shù)的對(duì)稱中心為，進(jìn)而可得，結(jié)合乘“1”法求最值.【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，解得且，可知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，可知函?shù)的對(duì)稱中心為，由題意可知：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.故答案為：9.13．，【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)整理函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的變換得到函數(shù)，令，求得函數(shù)的對(duì)稱軸.【詳解】由題意可得：，函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變可得函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象，所以，令，，解得：，，故答案為：，14．【分析】根據(jù)題意可推出，以及，，結(jié)合三角形的面積關(guān)系可得和，繼而結(jié)合數(shù)量積的定義求解，即得答案.【詳解】由題意知銳角的面積為，則，即得，表示直線上的一點(diǎn)到點(diǎn)D的向量，故表示直線上的一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離，由于對(duì)任意恒成立，則的模即為D到直線的最短距離，則，同理可得，由于，則，即得，由，得，由銳角可知A為銳角，故為鈍角，故，故，故答案為：15．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用賦值法，求；（2）設(shè)，是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，令，，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性的定義直接證明在R上為增函數(shù).【詳解】（1）由，故此令，則，則.（2）設(shè)，是R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，令，，則，所以，由得，所以，故，即，故此函數(shù)為R上增函數(shù).16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義直接構(gòu)造方程求解即可；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可求得，令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上有根，結(jié)合單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】（1）若為奇函數(shù)，則，即，，，，解得：.（2）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令，則方程在上有實(shí)根，在上有實(shí)根，又在上單調(diào)遞增，，.17．(1)，，(2)【分析】（1）利用基底表示，結(jié)合以及平面向量基本定理求出即可表示；（2）利用第一問(wèn)求出，，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律以及向量夾角公式即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，，則，，所以，，所以，，因?yàn)椋?，解得，所以，；?）因?yàn)?，，，所以，，，因?yàn)?，，所以．，．因?yàn)椋耘c夾角的余弦值為．18．(1)；(2)；(3).【分析】(1)先根據(jù)正弦定理對(duì)進(jìn)行邊角互化，再根據(jù)余弦定理，即可得到值，進(jìn)而得到角C的值；(2)利用正弦定理，將"求的最大值問(wèn)題"轉(zhuǎn)化為"求的最大值問(wèn)題"，再轉(zhuǎn)化為"求的最大值問(wèn)題",最后利用輔助角公式可得結(jié)果；(3)因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，兩邊平方可得到邊的關(guān)系，結(jié)合(1)式結(jié)論，可求得的值，從而得到的面積.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定?可得，整理可得，由余弦定理得，所以,所以.因?yàn)樵谥?，，所?（2）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，可得?因?yàn)?所以.,所以，其中.所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.（3）由題可知，，由(1)知，即，①因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，兩邊平方得：，所以，②②①可得，可得，所以的面積．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行證明.（2）先把直線與直線所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角，即為或其補(bǔ)角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求解.（3）將四棱柱補(bǔ)成正四棱柱，利用線面角的概念明確直線與平面所成的角，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求的長(zhǎng).【詳解】（1）在四棱錐中，連接，，由平面，平面，得，由正方形，得，而，，平面，所以平面.（2）由正方形，得，而平面，平面，則平面，又平面，平面平面，因