第5課時(shí)一次方程（組）及其應(yīng)用第二章方程（組）與不等式（組）

知識(shí)點(diǎn)1等式的基本性質(zhì)內(nèi)容性質(zhì)1等式兩邊

，所得

結(jié)果仍是等式.若a＝b，則a±c＝

?同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子）

b±c

內(nèi)容性質(zhì)2等式兩邊

?，

所得結(jié)果仍是等式.若a＝b，則ac＝

?；若a＝b，則

＝

（c≠0）其他

性質(zhì)若a＝b，則b＝a（對(duì)稱性）；若a＝b，b＝c，則a

c（傳遞性）等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)，在使用時(shí)要注意等式性質(zhì)成立的

條件.同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)（或除以同一個(gè)不為0的數(shù)）

bc

＝

知識(shí)點(diǎn)2一次方程（組）的相關(guān)概念和解法概念解法一元一次方程只含有

未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)

，且系數(shù)

?的方程，叫做一元一次方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合

并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1二元一

次方程含有

，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)

?的方程，叫做二元一次方程—一個(gè)

是1

不為

0

兩個(gè)未知數(shù)

都是1

概念解法二元一次方程組含有兩個(gè)未知數(shù)的兩

個(gè)

?所組

成的一組方程，叫做

二元一次方程組（1）代入消元法：將其中一個(gè)方程中

的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代

數(shù)式表示出來，并代入另一個(gè)方程中，

從而消去一個(gè)未知數(shù)，簡稱代入法；（2）加減消元法：通過方程兩邊分別

相加（或減）消去其中一個(gè)未知數(shù)，簡

稱加減法一次方程

概念解法二元一次方程組的解二元一次方程組中各

個(gè)方程的

?

，叫做這個(gè)二元

一次方程組的解—公共

解

（續(xù)表）

知識(shí)點(diǎn)4列一次方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）列方程（組）；（4）解方程（組）；（5）檢驗(yàn)并寫答案.知識(shí)點(diǎn)5幾種常見的實(shí)際問題常見的實(shí)際問題數(shù)量關(guān)系經(jīng)濟(jì)問題商品銷售問題利潤＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)利潤率＝

×100％售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×折扣售價(jià)＝進(jìn)價(jià)×（1＋利潤率）行程問題基本量之間的關(guān)系路程＝速度×?xí)r間相遇問題全路程＝甲走的路程＋乙走的路程（續(xù)表）常見的實(shí)際問題數(shù)量關(guān)系行程問題追及問題路程差＝快走的路程－慢走的路程水流（航行）問題v順＝v靜＋v水，v逆＝v靜－v水工程問題基本量之間的關(guān)系工作效率＝

其他常用量關(guān)系（1）通常把工作總量看作“1”；（2）甲、乙合做的工作效率＝甲的效率＋

乙的效率

考點(diǎn)一

等式的性質(zhì)與一次方程（組）的相關(guān)概念

（1）下列等式的變形，正確的是（

C

）A.

若m＋n＝2n，則m＝2nB.

若x＝3，則4x＝9C.

若a＝b，則a＋2c＝b＋2cD.

若x＝y(tǒng)，則

＝

C

2025

2031

考點(diǎn)二

一元一次方程的解法

A.

2x－1＝1－（3－x）B.2（2x－1）＝1－（3－x）C.2（2x－1）＝8－（3－x）D.2（2x－1）＝8－3－xC

解方程：

解：去分母，得2（2x＋1）＝6＋（1－3x），去括號(hào)，得4x＋2＝6＋1－3x，移項(xiàng)，得4x＋3x＝6＋1－2，合并同類項(xiàng)，得7x＝5，

解方程一方面要熟悉解法步驟，另一方面要注意各個(gè)步驟的易錯(cuò)點(diǎn)，比

如：①去分母時(shí)漏乘不含分母的項(xiàng)；②移項(xiàng)不變號(hào)；③分?jǐn)?shù)線的括號(hào)功

能；④最后一步系數(shù)化為1的時(shí)候，顛倒分子和分母的位置.考點(diǎn)三

二元一次方程（組）的解法

二元一次方程2x＋y＝8的正整數(shù)解有（

B

）A.2組B.3組C.4組D.5組B

解方程組：

將③代入②，得x－2（3x＋4）＝－3，解得x＝－1.

[答案]解：由①，得y＝3x＋4.③

①－②，得－2y＝6，解得y＝－3.

解二元一次方程組時(shí)要根據(jù)方程組的特點(diǎn)靈活選擇方法，當(dāng)方程組中一

個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值是1或一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)，用代入法較方

便；當(dāng)方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或成整數(shù)倍時(shí)，用加

減法較方便.利用加減法解二元一次方程組時(shí)，選擇方程組中同一個(gè)未

知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值較小的未知數(shù)消元，這樣會(huì)使運(yùn)算量較小.考點(diǎn)四

含參數(shù)的一次方程（組）

11

考點(diǎn)五

一次方程（組）的應(yīng)用

（1）（2025·內(nèi)江）學(xué)校準(zhǔn)備添置一批課桌椅，原訂購60套，每

套100元.店方表示：如果多購，可以優(yōu)惠.結(jié)果校方購了72套，每套減

價(jià)3元，但商店獲得同樣多的利潤.求每套課桌椅的成本.設(shè)每套課桌椅

的成本為x元，則可列方程為（

B

）A.72（100－x）＝60（100＋3－x）B.60（100－x）＝72（100－3－x）C.60（100＋x）＝72（100－3＋x）D.

＝

B（2）（2025·齊齊哈爾）神舟二十號(hào)發(fā)射窗口時(shí)間恰逢第十個(gè)“中國航

天日”.為激發(fā)青少年探索浩瀚宇宙的興趣，學(xué)校組織900名師生乘車前

往航空科技館參觀，計(jì)劃租用45座和60座兩種客車（兩種客車都要

租）.若每名學(xué)生都有座位且每輛客車都沒有空座位，則租車方案有

（

B

）A.3種B.4種C.5種D.6種B（3）（2025·自貢）某小區(qū)人行道地磚鋪設(shè)圖案如圖所示.用10塊相同

的小平行四邊形地磚拼成一個(gè)大平行四邊形.若大平行四邊形的短邊長

40

cm，則小地磚的短邊長（

B

）A.7

cmB.8

cmC.9

cmD.10

cmB（4）（2025·陜西）草莓熟了，學(xué)校組織同學(xué)們參加勞動(dòng)實(shí)踐，幫助果

農(nóng)采摘草莓.小康和小悅采摘的時(shí)長相同，采摘結(jié)束后，小康采摘的草

莓比小悅多2.4

kg.已知小康平均每小時(shí)采摘6

kg，小悅平均每小時(shí)采摘

4

kg，則小康采摘的時(shí)長是

h.1.2

（2025·廣西）自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自駕游

廣西的外省籍小客車可享受高速公路車輛通行費(fèi)（以下簡稱高速費(fèi)）優(yōu)

惠.小悅一家5月中旬從湖南自駕到廣西探親游玩，此次全程所產(chǎn)生的高

速費(fèi)享受的優(yōu)惠如下：湖南境內(nèi)路段廣西境內(nèi)特定路段廣西境內(nèi)其他路段周一至周四9.5折周五至周日9.5折全免5折（1）周六小悅一家從湖南Z市到廣西A市，所經(jīng)湖南境內(nèi)路段、廣西境

內(nèi)特定路段和其他路段的高速費(fèi)原價(jià)分別為a元、b元和c元.則此行程

的高速費(fèi)實(shí)付多少元？[答案]解：（1）此行程實(shí)際支付的高速費(fèi)為0.95a＋0＋0.5c＝（0.95a＋0.5c）元.（2）周日他們從A市到K市（全程在廣西境內(nèi)），高速費(fèi)實(shí)付27.55

元；周一從K市原路返回到A市，高速費(fèi)實(shí)付95.95元.則此行程中A市與

K市間廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的單程高速費(fèi)原價(jià)分別是多少元？

答：此行程中A市與K市間廣西境內(nèi)特定路段和其他路段的單程高速費(fèi)

原價(jià)分別是45.9元和55.1元.

列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題中蘊(yùn)含的等量關(guān)系，當(dāng)題目中沒有明確

等量關(guān)系時(shí)，可以選擇題中一個(gè)量（如：時(shí)間、路程、銷售額等），用

兩種方式表示“它”，中間用“＝”連接即可.當(dāng)有多種思路可以列出

不同方程時(shí)，所選用的可用兩種方式表示的量需是題目中現(xiàn)成給出的，

或者容易直接表示的量，用最簡便快捷的思路解題.

1.

下列等式變形正確的是（

B

）A.

如果

x＝6，那么x＝3B.

如果x－3＝y(tǒng)－2，那么x＝y(tǒng)＋1C.

如果mx＝my，那么x＝y(tǒng)D.

如果

x＋2＝y(tǒng)－1，那么