第3講變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例

基礎(chǔ)知識(shí)整企J

□知識(shí)梳理

1.變量間的相關(guān)關(guān)系

（1）常見(jiàn)的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系

不同，相關(guān)關(guān)系是一種非西確定性關(guān)系.

（2）從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左卜角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為

國(guó)正相關(guān),點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為螞鯉［去.

2.回歸方程與回歸分析

（1）線性相關(guān)關(guān)系與回歸直線

如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在理二條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線

性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.

（2）回歸方程

①最小二乘法：求【可舊直線使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到I可歸直線的場(chǎng)距離的平方和最小的方法

叫做最小二乘法.

②回歸方程：方程y="+a是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)（M,乃），（照，

㈤，…，（乂，%）的回歸方程，其中a,方是待定數(shù).

rn——n——

￡X—xy—y^x>y—nxy

/-I/-I

b=--------------------------------=------------------,

Jn-n

、V2V-22

>.x-x工XLnx

/=1/=!

<a=y—bx.

（3）回歸分析

①定義：對(duì)具有圖相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變審進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.

②樣本點(diǎn)的中心：在具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（汨，J1）,（題，次），…，（劉，%）中，x=

1—1————

---Fx0），y=1（y+…+以），a=y—bx,（x,y）稱為樣本點(diǎn)的中心.

EXLxYi—y

/=1

③相關(guān)系數(shù)r=-/，當(dāng)r>0時(shí)，兩變量回正相關(guān);當(dāng)K0

Atx二T；2

\//=1J=1

時(shí)，兩變量暨優(yōu)相關(guān)；當(dāng)IHW1且|不|越接近于1時(shí)，相關(guān)程度圓越強(qiáng);當(dāng)IWW1且|力越接

近于0時(shí)，相關(guān)程度理越我.

3.獨(dú)立性檢驗(yàn)

（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)的有美概念

①分類變量

可用變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的包丕回類別的變量稱為分類變量.

②2X2列聯(lián)表

假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和匕它們的取值分別為｛川，均和｛力，.引，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱

為2X2列聯(lián)表）為

y\Y2總計(jì)

X\aba-\rb

X1cdc+d

總計(jì)a+cb+da+〃+c+d

（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)

利用隨機(jī)變量一葉〃kF二〃十"（其中為樣本容

量）來(lái)判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).

步驟如下：

①計(jì)算隨機(jī)變量/的觀測(cè)值h杳表確定臨界值的

尸（。云娟

h

k。

②如果42篇，就推斷“1與V有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)尸（/2k）；否

則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)戶（*2闔的前提下不能推斷“X與尸有關(guān)系”.

知識(shí)拓展

1.求解回歸方程的關(guān)鍵是確定a,b,應(yīng)充分利用回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心（x,/）.

2.根據(jù)回歸方程計(jì)算的7值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.

3.根據(jù)片的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若尤越大，則兩分類變量有關(guān)

的把握越大.

□雙基自測(cè)

1.下面是一個(gè)2X2列聯(lián)表:

■力總計(jì)

X\a2173

X2222547

總計(jì)b46120

其中a,。處填的值分別為()

A.94,72B.52,50

C.52,74D.74,52

答案C

解析由a+21=73,得a=52,a+22=〃，得6=74.故選C.

2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)從“兩個(gè)變量的線性相關(guān)性做了試驗(yàn)，并用回歸分

析方法分別求得相關(guān)系數(shù)，?與殘差平方和m，如卜.表：

甲乙丙T

r

m106115124103

則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)的A,%兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性()

A.甲B.乙

C.丙D.T

答案D

解析T越大，勿越小，線性相關(guān)性越強(qiáng)，故選D.

3.(2022?鄭州一中月考)變量才與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為據(jù)0,1),(11.3,2),(11.8,3),

(12.5,4),(13,5)；變量〃與P相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),

(13,1).n表示變量產(chǎn)與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，廠2表示變量V與〃之間的線性相關(guān)系數(shù)，

則()

A.r2<ri<0B.0<r><rj

C.72<0<?-ID.r2=/'i

答案C

解析對(duì)于變量y與x而言，［'隨>的增大而增大，故Y與才正相關(guān)，即n>o：對(duì)于變

量產(chǎn)與〃而言，【/隨〃的指大而減小，故/與〃負(fù)相關(guān)，即水0.故選C.

4.通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到了如下的列聯(lián)表.參照附

表，能得到的正確結(jié)論是（：）

男女總計(jì)

愛(ài)好402060

不愛(ài)好203050

總計(jì)6050110

A.有9毀以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.陶的前提3認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1$的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”

2

附：----T-.---------y-~~—:------------,/7=a+Z?+c+d.

a+bc+da-tcb+d

P（片/）

A-o

答案A

解析由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

,故有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有

ouxouxboxou

關(guān)”.故選A.

5.（2021?山西太原模擬）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

廣告費(fèi)用M萬(wàn)元）4235

銷售額y（萬(wàn)元）49263954

根據(jù)上表可得回歸方程y="+a中的據(jù)此模型預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額約為

________萬(wàn)元.

答案

解析由表可計(jì)算

-4+2+34-5-49+26+39+54

x=----4----，------4------=42，

因?yàn)辄c(diǎn)（3.5,42）在回歸直線y=bx+a上，且所以42=9.4X3.5+a,解得a=9.1.

故回歸方程為yxx=6,得y=65.5.

故預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額約為65.5萬(wàn)元.

6.（2021?安徽馬鞍山模擬）某企業(yè)為了調(diào)查其產(chǎn)品在國(guó)內(nèi)和國(guó)際市場(chǎng)的發(fā)展情況，隨機(jī)

抽取國(guó)內(nèi)、國(guó)外各100名客戶代表，了解他們對(duì)該企業(yè)產(chǎn)品的發(fā)展前景所持的態(tài)度，得到如

圖所示的等高條形圖，則（填“能”或“不能”）有99%的把握認(rèn)為是否持樂(lè)觀態(tài)度

與國(guó)內(nèi)外差異有關(guān).

PG》崎

nad-be~__________

附：*=

a+bc+da+c6+d'

答案能

解析根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2X2列聯(lián)表:

樂(lè)觀不樂(lè)觀總計(jì)

國(guó)內(nèi)代表6040100

國(guó)外代表4060100

總計(jì)100100200

則片，所以有99馳勺把握認(rèn)為是否持樂(lè)觀態(tài)度與國(guó)內(nèi)外差

IUUA1UUA1UUA1UU

異有關(guān).

核心號(hào)向突破|

精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破

考向一兩個(gè)變量的相關(guān)性

角度1相關(guān)關(guān)系的判斷

例1觀察下圖所示的散點(diǎn)圖，其中對(duì)兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系判斷正確的是（）

A.a為正相關(guān)，b為負(fù)相關(guān)c為不相關(guān)

B.a為負(fù)相關(guān)，b為不相關(guān)c為正相關(guān)

C.a為負(fù)相關(guān)，b為正相關(guān)c為不相關(guān)

D.a為正相關(guān)，b為不相關(guān)，c為負(fù)相關(guān)

答案D

解析根據(jù)散點(diǎn)圖，由相關(guān)性可知，a中各點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域里，是正

相關(guān)；b中各點(diǎn)分布不是帶狀的，相關(guān)性不明確，所以不相關(guān)；C中各點(diǎn)分布在從左上角到右

下角的區(qū)域里，是負(fù)相關(guān).

角度2相關(guān)系數(shù)的意義

例2（2021?南寧一中期末）某公司為了準(zhǔn)確地把握市場(chǎng)，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，對(duì)過(guò)去

四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第*年與年銷售量y（單位：萬(wàn)件）之間的關(guān)系如下表：

40

30

20

10

I234w年

（1）在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

（2）根據(jù)（1）中的散點(diǎn)圖擬合y與X的回歸模型，并月相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;

⑶建立y關(guān)于x的回歸方程，預(yù)測(cè)第5年的銷售量約為多少？

參考數(shù)據(jù):yi-y:#,E%匕=418.

參考公式:

相關(guān)系數(shù)

￡Xi-x'Ey>—y

xy-y

回歸方程y=a^bx的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為b=~

Lx-x

￡XiyLnxy

,a=y—bx.

Ex>—nx'

解（1）作出散點(diǎn)圖如圖:

w萬(wàn)件

40

30.

20

10,

di53i工年

⑵由⑴中的散點(diǎn)圖可?知，各點(diǎn)大致分布在?條直線附近，由題中所給表格及參考數(shù)據(jù),

「5—69「

得％=5,y=—,￡必”=418,E7/—y\E^=30,E（尤一才）（六一y）=￡

乙乙/=1/=!J=1

5692

-4A-y=418-4X-X=73,Z^-4%=A/30-4X

T小

十,

EXLXy-y

?739%6

2.24X32.7

X-xy-y

/=i

???y與人說(shuō)明y與*的線性相關(guān)程度相當(dāng)強(qiáng),

???可以用線性回歸模型擬合y與彳的關(guān)系.

44

—5—69

（3）由（2）,知x=5，y=—,Lx,y,=418,Z#=30,

乙N/=]/=1

Lx：y-4xy?_,_

j=it73,6973o

??b=-i--------------------=-ta=y-bx----------X-=—2.

—bzoz

E4x

/=1

故y關(guān)于x的回歸方程為y=『-2.

當(dāng)x=5時(shí)，y==X5—2=71,

□

???預(yù)測(cè)第5年的銷售量約為71萬(wàn)件.

觸類旁通.判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法

(1)散點(diǎn)圖法:如果所有的樣本點(diǎn)都落在某?函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如

果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.

(2)相關(guān)系數(shù)法：利用相關(guān)系數(shù)判定，"I越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng).

"即時(shí)訓(xùn)練L(2021?江西六校聯(lián)考)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，

關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()

35

30

25

2()

15

10

5

05101520253035

相關(guān)系數(shù)為八相關(guān)系數(shù)為「2

①②

相關(guān)系數(shù)為A相關(guān)系數(shù)為小

③④

A.冰/KO<乃<nB."<冰0<水"

C.r><?2<0<73<riI).Z2<r?<0<ri<n

答案A

解析易知題中圖①與圖③是正相關(guān)，圖②與圖④是負(fù)相關(guān)，且圖①與圖②中的樣本點(diǎn)

集中分布在一條直線附近，則r2<r?<0<73<ri.

2.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)

抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺

寸:

抽取次序12345678

零件尺寸

抽取次序910111213141516

零件尺寸

經(jīng)計(jì)算得*=+￡為,

-x)(2,其中必為抽取的第了個(gè)零件的尺寸，7=1,2,16.

(1)求(埼，…，16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件

尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若I人則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的

進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小)；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(x—3s,x+3s)之外的零件，就認(rèn)為這條生

產(chǎn)線在這天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)入的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

①?gòu)倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？

②在（x—3s,x+3s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生

產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.（精確到0.01）

附：樣本（為,/）（了=1,2,…的相關(guān)系數(shù)

ZXLxyt-y

參考數(shù)據(jù)：■0.008ko.09.

解（1）由樣本數(shù)據(jù)，得（無(wú)，力（/=1,2,…，16）的相關(guān)系數(shù)

”,0.212X標(biāo)X18.439）^-0.18.

由于k因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.

（2）①由于X,s,因比由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在（x-3s,x+

3s）以外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

②剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為微，

10

這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02.

16

k222

/=1

剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為

西二

這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為屈而生0.09.

考向二回歸分析

例3在紅外線照射下，組織溫度升高，毛細(xì)血管擴(kuò)張，血流加快，物質(zhì)代謝增強(qiáng)，組

織細(xì)胞活力及再生能力提高，因此紅外線治療儀對(duì)某些疾病的治療有著很好的作用.某藥店

兼營(yíng)某紅外線治療儀，經(jīng)過(guò)近5個(gè)月的營(yíng)銷，對(duì)銷售狀況進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)月銷售量

與銷售價(jià)格有關(guān)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

每臺(tái)紅外線治療儀的銷售價(jià)格力元140150160170180

紅外線治療儀的月銷售量y/臺(tái)6455453526

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求尸關(guān)于X的線性回歸方程；

(2)①每臺(tái)紅外線治療儀的價(jià)格為165元時(shí)，預(yù)測(cè)紅外線治療儀的月銷售量；(四舍五入

為整數(shù))

②若該紅外線治療儀的成本為120元/臺(tái)，要使每月獲得最大的純收益，利用⑴中結(jié)論,

間每臺(tái)紅外線治療儀的銷售價(jià)格應(yīng)定為多少？(四舍五入，精確到1元)

參考公式：回歸方程/="+&

n

ZXLxy,-y'_'_

其中6=------------二-------，a=y—bx.

LXi—x'

i=\

/、-140+150+160+170+180

解⑴x=-----------------------=160,

―64+55+45+35+26

y=5=45,

5—

Z{x-X)2=(140-160)2+(150-160)24-(160-160)2+(170-160)2+(180-160)2=

/-I

1000,

5——

.(M一上)(匕一y)=-20X19—10X104-0X0-1OX10—20X19=—960,

2=1

5——

￡XLxy,-y

,_______________________一960

=jZ=looo*

ZXLX2

/=|

:.a=y-bx,

?，關(guān)于x的線性回歸方程為y『H98.6.

(2)①由(1)知，當(dāng)x=165時(shí)，y=-0.96X165+198.6=40.2=^40,即每臺(tái)紅外線治療

儀的價(jià)格為165元時(shí)，紅外線治療儀的月銷售量約為40臺(tái).

②藥店每月獲得的純收益

0(xx+198.6)(A—120)

XX—23832,

???當(dāng)*=,2X0.96)七163時(shí)，0(%)取得最大值,

即要使每月獲得最大的純收益，每臺(tái)紅外線治療儀的銷售價(jià)格應(yīng)定為163元.

觸類旁通.

(1)正確理解計(jì)算力，3的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算是求線性回歸方程的關(guān)鍵.

(2)回歸方程y=8x+a必過(guò)樣本點(diǎn)中心(x,y).

(3)在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否

具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程來(lái)估計(jì)和預(yù)測(cè).

(4)對(duì)非線性回歸分析問(wèn)題可通過(guò)適當(dāng)?shù)膿Q元轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問(wèn)題求解.

r即時(shí)訓(xùn)?練，需了解年宣傳費(fèi)>(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：

千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)必和年銷售量%(=1,2,…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得

到下面的數(shù)點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

年銷

仰血

620

600

580.■

560■?

540.

520

500.?

3436384()424446485()525456

年直傳費(fèi)/千元

、

￡（M-

/=1

8_8_E（的-IF）,

/=l

E（x-x）2E（w-wY

XW

yJ-17-I>）*

（六一7）

（匕-y）

5631469

-I

表中電H-=~EWi.

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，曠=〃+"與尸=。+八〃哪一個(gè)適宜作為年銷售量P關(guān)于年宣傳費(fèi)

x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程;

(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與人y的關(guān)系為zy—x.根據(jù)?(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題:

①年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?

②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(s,公，(如⑹，…，(如嶗，其回歸直線/=」+￡U的斜率和

n__

Eu-uv-v_'_

截距的最小二乘估計(jì)分別為B=?——,:-------二--------，a=v—Bu.

EULU2

1=1

解(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y=c+M適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)>的回歸方程

類型.

⑵令“-W，先建立y關(guān)于“，的線性回歸方程.

8__

Lw>-w必一y

由于d-------------------=,1.6)=68,

Lw;—w

/-I

c—y—dw,

所以y關(guān)于“，的線性回歸方程為y=100.6+68必

因此y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+68，；.

⑶①由⑵知，當(dāng)x=49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值/=100.6+68m，

年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)=576.6X0.2-49=66.32.

②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值

z=0.2(100.6+68^/A)—^=—A-\/X+20.12.

所以當(dāng)、「=,2),即右z取得最大值.

,年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.

考向三獨(dú)立性檢驗(yàn)

例4(1)黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長(zhǎng)點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享

經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過(guò)社會(huì)化平臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享

經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn)，根

據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有

顯著效果的圖形是()

I)

答案D

解析根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中的等高條形圖可知，選項(xiàng)D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的

差異較大，且最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D.

(2)(2021?全國(guó)甲卷)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，

為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了20()件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)

如下表:

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

①甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

②能否有99$的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

附.人----------…die-------

a+bc+da+cb+cl

尸(片2Q

k

解①設(shè)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別為%則幺=搭，月=黑

=0.6.

②根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)，得

以400X150X80-50X1202400八…

/=----------------------------------------------------=?109S6

200X200X270X13039

,所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

觸類旁通,

1.比較幾個(gè)分類變量有關(guān)聯(lián)的可能性大小的方法

(1)通過(guò)計(jì)算爐的大小判斷：/越大，兩變最有關(guān)聯(lián)的可能性越大.

(2)通過(guò)計(jì)算8的大小判斷：后公兒1越大,兩變量有關(guān)聯(lián)的可能性越大.

(3)通過(guò)計(jì)算U與均勺大小判斷：相差越大，兩變后有關(guān)聯(lián)的可能性越大.

2.獨(dú)立性檢驗(yàn)的?般步驟

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2X2列聯(lián)表.

(2)根據(jù)公式K=————〃:——計(jì)算尤的觀測(cè)值仁

a-\~bc-vaa十cb+d

(3)比較左與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷.

.即時(shí)訓(xùn)練4.(2021?南陽(yáng)市一中第一次目標(biāo)考試)為考察力，B兩種藥物預(yù)防某疾病

的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，分別得到如下等高條形圖.根據(jù)圖中信息，在下列各項(xiàng)中，說(shuō)法最

佳的一項(xiàng)是()

0.

0.

0.

().

().

0.

().

0.

0.

A.藥物8的預(yù)防效果優(yōu)于藥物力的預(yù)防效果

B.藥物力的預(yù)防效果優(yōu)于藥物8的預(yù)防效果

C.藥物4〃對(duì)該疾病均有顯著的預(yù)防效果

D.藥物4夕對(duì)該疾病均沒(méi)有預(yù)防效果

答案B

解析由題圖可得服用藥物力的患病比例少于服用藥物"的患病比例，而服用藥物力的

未患病比例多于服用藥物8的未患病比例，所以藥物力的預(yù)防效果優(yōu)于藥物8的預(yù)防效果.故

選B.

5.(2022?廣西柳州高三摸底考試)隨著我國(guó)老齡化進(jìn)程不斷加快，養(yǎng)老將會(huì)是未來(lái)每個(gè)

人要面對(duì)的問(wèn)題，而如何養(yǎng)老則是我國(guó)逐漸進(jìn)入老齡化社會(huì)后，整個(gè)社會(huì)需要回答的問(wèn)題.為

了調(diào)查某地區(qū)老年人是否愿意參加個(gè)性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法

從該地區(qū)調(diào)查了500位老人，結(jié)果如下：

I男I女

不愿意參加4030

愿意參加160270

(1)估計(jì)該地區(qū)老年人中，愿意參加個(gè)性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的男性老年人的比

例以及女性老年人的比例：

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)能有多大的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否愿意參加個(gè)性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)

結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)與性別有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考公式.*=---------------------------------

夕可A六.抵a+bc+db+d

參考數(shù)據(jù)：

P(片/)

ku

解(1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)互知愿意參加個(gè)性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的男性老年人人數(shù)

為160,調(diào)查的男性老年人總?cè)藬?shù)為200,

故愿意參加個(gè)性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的男性老年人的比例碟=也

由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知愿意參加個(gè)性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的女性老年人人數(shù)為270,

調(diào)查的女性老年人總?cè)藬?shù)為300,

oynq

故愿意參加個(gè)性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的女性老年人的比例為訴=h.

<5vU1U

(2)結(jié)合列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算

2_500義40X270—30X160'

長(zhǎng)=70X430X200X300

_3000

=3oT,

所以有99.5%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否愿意參加個(gè)性化社區(qū)型醫(yī)養(yǎng)結(jié)合型養(yǎng)老機(jī)

構(gòu)與性別有關(guān).

課時(shí)作業(yè)I

1.為了考察兩個(gè)變量X和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做了100

次和150次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為人和匕己知兩個(gè)人在試驗(yàn)

中發(fā)現(xiàn)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是s,變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是K那么下列說(shuō)法

正確的是（）

A.?和上有交點(diǎn)（s,t）

B.4與，2相關(guān)，但交點(diǎn)不一定是（s,t）

C.人與心必定平行

D.人與人必定重合

答案A

解析由題意知（s,。）是甲、乙兩位同學(xué)所做試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的中心，而線性回歸直線恒

過(guò)樣本點(diǎn)的中心，故選A.

2.某互聯(lián)網(wǎng)公司借助手機(jī)微信平臺(tái)推廣自己的產(chǎn)品，對(duì)今年前5個(gè)月的月微信推廣費(fèi)用

x與月利潤(rùn)額y（單位：百萬(wàn)元）進(jìn)行了初步統(tǒng)計(jì)，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：

X24568

y304060P70

經(jīng)計(jì)算，月微信推廣費(fèi)用x與月利潤(rùn)額y滿足線性回歸方程分，則夕的值為（）

A.50

C.60D.70

答案A

解析由于回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，x=5,代入線性回歸方程得誓^

30

解得夕=50.故選A.

3.（2020?全國(guó)I卷）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率p和溫度x（單

位：℃）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（笛,修）（了=1,2,…，

20）得到下面的散點(diǎn)圖：

由此散點(diǎn)圖，在10℃至40c之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率『和溫

度x的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx

C.y=a+be'D.y=a+/Hnx

答案D

解析由散點(diǎn)圖可知，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在一個(gè)對(duì)數(shù)型曲數(shù)圖象的附近，因此最適宜作為發(fā)

芽率y和溫度》的回歸方程類型的是y=a+/，ln故選【）.

4.以下四個(gè)命題：

①在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)尸的值判斷模型的擬合效果，〃越大，模型的擬合效果

越好;

②回歸模型中殘差是實(shí)際值匕與估計(jì)值j的差，殘差點(diǎn)所在的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說(shuō)明

模型擬合精度越高；

③在一組樣本數(shù)據(jù)（小，切），（為2,㈤，…，（居，x\,盟，…，不全相等）的

散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（必，力）（j=1,2,…，力都在直線y=-L+1上，則這組樣本數(shù)

據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為一看

④對(duì)分類變量X與y的隨機(jī)變量/的觀測(cè)值在來(lái)說(shuō)，女越小，判斷'”與y有關(guān)系”的

把握程度越大.

其中真命題的個(gè)數(shù)為（：）

A.1B.2

C.3I）.4

答案B

解析根據(jù)相關(guān)指數(shù)的意義可知①正確：由殘差的定義和殘差圖的繪制可以知道②正確；

相關(guān)系數(shù)r反映的是兩變量之間線性相關(guān)程度的

強(qiáng)弱，與回歸直線斜率方=無(wú)關(guān)，因?yàn)樗袠颖军c(diǎn)都在直線尸一.

y.XLx

x+l上，所以樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為一1,故③錯(cuò)誤；〃的觀測(cè)值A(chǔ)越小，X與y有關(guān)系

的把握程度越小，故④錯(cuò)誤.故選B.

5.（2021?山西大同模擬）針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追

星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的去男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的看

9

女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的不若有95%的把握認(rèn)為是否追星和性別有關(guān)，則男生至少有

*5

()

A.11人B.12人

C.18人D.24人

附表及公式：吸+c―月］，〃=a+6+,+d

尸（片/）

ko

答案B

解析設(shè)男生人數(shù)為x,依題意可得2X2列聯(lián)表如下:

追星不追星總計(jì)

X5X

男生

6TX

XX4

女生

362

X3x

總計(jì)

2X~2

3Vx5父

3x則x.、為

若有95%的杷樨認(rèn)為是否追星和性別有關(guān)，則凡,即一-—―~8

一?一

22

整數(shù)，???若有95$的把握認(rèn)為是否追星和性別有關(guān)，則男生至少有12人，故選B.

6.高三年級(jí)267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)、數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)

在全年級(jí)中的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生.

從這次考試成績(jī)看，

（1）在甲、乙兩人中，其語(yǔ)文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是

（2）在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是________.

答案（1）乙（2）數(shù)學(xué)

解析（1）由圖分析，甲的語(yǔ)文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠后，乙的語(yǔ)文成績(jī)名次比其總

成績(jī)名次靠前，故填乙.

（2）根據(jù)內(nèi)在兩個(gè)圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，觀察易得，丙同學(xué)成績(jī)名次更靠前的科目是數(shù)

學(xué).

7.某數(shù)學(xué)老師身高176cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、，該老師用線性

回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高約為cm.

.'XLxyi-y

f=l——

b=-----------------------,a=y—bx

2

XXi二

\a7

答案185

解析設(shè)父親身高為xcm,兒子身高為ycm,則

X173170176

y170176182

x=173,y=176,

OX-6+-3X04-3X6

b=OS-94-9=b

a=y-bA-=176-1X173=3,

所以y=x+3,當(dāng)x=182H、J,y=185.

8.（2022?北京海淀模擬）如圖是某地區(qū)2004年至202（）年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位:

億元）的折線圖.

掰

拉B

2

40()

2*()

2(

1X

1)鎧

1

1

41()

2()

(

X

)

XO

6()

4()

2()

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量I的兩個(gè)線性回歸

模型.根據(jù)2004年至2020年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量［的值依次為1,2,…，17）建立模型①：yt；

根據(jù)2014年至2020年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量［的值依次為1,2,…，7）建立模型②：yt.

利用這兩個(gè)模型，該地區(qū)2022年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值分別為一

;并且可以判斷利用模型_______得到的預(yù)測(cè)值更可靠.

答案226.1（億元）256.5（億元）②

解析①y=-30.4+13.5X19=226.1（億元），

②y=99+17.5X9=256.5（億元）;

當(dāng)年份為2020時(shí)，對(duì)于模型①：￡=17,

y=-30.4+13.5X17=199.1（億元），

對(duì)于模型②：1=7,

y=99+17.5X7=221.5（億元），所以②的準(zhǔn)確度較高，①偏差較大，所以選擇模型②

得到的預(yù)測(cè)值更可靠.

9.某媒體為調(diào)查喜歡娛樂(lè)節(jié)目力是否與觀眾性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了3