2025年專升本理工科專業(yè)復變函數(shù)測試試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題（每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將正確選項的字母填在題后的括號內。）1.若復數(shù)\(z=1-i\)，則\(|z|^2\)等于(A)2(B)1(C)3(D)\(-1\)2.函數(shù)\(f(z)=\frac{z^2+1}{z-i}\)在\(z=0\)處(A)可導但不可微(B)不可導也不可微(C)可微(D)僅在\(z=0\)處可微3.設\(f(z)=e^z\)，則\(f(z)\)在整個復平面上(A)僅在\(z=0\)處解析(B)處處解析(C)僅在\(z\)為實數(shù)時解析(D)處處不解析4.由柯西積分公式\(\int_{|z|=1}\frac{e^z}{z+2}dz\)的值為(A)\(2\piie^2\)(B)\(2\piie^{-2}\)(C)0(D)\(-2\piie^2\)5.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}\)在\(z=1\)處的留數(shù)等于(A)1(B)-1(C)2(D)-2二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在題后的橫線上。）1.若\(z=re^{i\theta}\)，則\(\bar{z}\)的模等于________。2.函數(shù)\(f(z)=z^3+2z\)的實部\(\operatorname{Re}(f(z))\)等于________。3.柯西-黎曼方程為\(u_x=v_y\)和\(u_y=-v_x\)的函數(shù)\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處解析的必要條件是________。4.級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\)的收斂半徑等于________。5.若\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)，則\(\int_{|z|=2}f(z)dz\)的值為________。三、計算題（每小題7分，共28分。）1.計算積分\(\int_{|z|=1}\frac{z+1}{z}dz\)。2.將函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(|z|>1\)處展開成洛朗級數(shù)。3.計算積分\(\int_{|z|=1}\frac{z^2+1}{z}dz\)。4.求函數(shù)\(w=z^2\)將\(z\)平面上的區(qū)域\(\{z\mid|z|<1,\operatorname{Arg}(z)<\frac{\pi}{4}\}\)映射到\(w\)平面上的區(qū)域。四、證明題（每小題9分，共18分。）1.證明：如果函數(shù)\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內解析，且\(f(z)\)恒不為零，那么\(\frac{1}{f(z)}\)在區(qū)域\(D\)內也解析。2.證明：設\(f(z)\)在\(|z|\leq1\)上解析，且在\(|z|=1\)上\(f(z)=0\)，則在\(|z|\leq1\)上\(f(z)\)恒為零。試卷答案一、單項選擇題1.C2.B3.B4.C5.D二、填空題1.r2.z^3+2z3.\(f'(x_0,y_0)\)存在4.∞5.0三、計算題1.解析：原式\(=\int_{|z|=1}(1+\frac{1}{z})dz=\int_{|z|=1}1dz+\int_{|z|=1}\frac{1}{z}dz\)。前者積分值為0（閉合曲線積分為0），后者積分值為\(2\pii\)。故原式\(=0+2\pii=2\pii\)。2.解析：當\(|z|>1\)時，\(\frac{1}{z}\)是解析的。\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{z-1}\)。將\(\frac{1}{z-1}\)在\(|z|>1\)處展開：\(\frac{1}{z-1}=-\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{z})^n\)。故\(f(z)=\frac{1}{z}\cdot(-\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{z})^n)=-\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{z})^{n+1}=-\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{z})^n\)。3.解析：原式\(=\int_{|z|=1}\frac{z^2}{z}dz+\int_{|z|=1}\frac{1}{z}dz=\int_{|z|=1}zdz+\int_{|z|=1}\frac{1}{z}dz\)。前者積分值為0，后者積分值為\(2\pii\)。故原式\(=0+2\pii=2\pii\)。4.解析：令\(w=z^2\)，則\(z=\sqrt{w}\)(考慮\(|z|<1\)，取\(z=re^{i\theta}\)，則\(w=r^2e^{2i\theta}\)，\(|w|=r^2<1\))。映射將\(z\)平面上的單位圓內部\(|z|<1\)映射到\(w\)平面上的單位圓內部\(|w|<1\)。原區(qū)域\(\{z\mid|z|<1,\operatorname{Arg}(z)<\frac{\pi}{4}\}\)對應\(\{w\mid|w|<1,\operatorname{Arg}(w)<\frac{\pi}{2}\}\)。四、證明題1.證明：因為\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內解析，所以\(f(z)\)在\(D\)內滿足柯西-黎曼方程且可導。令\(g(z)=\frac{1}{f(z)}\)。則\(g(z)=\frac{\overline{f(\bar{z})}}{|f(\bar{z})|^2}\)。由于\(f(z)\)在\(D\)內解析，\(f(\bar{z})\)在\(D\)內連續(xù)且\(|f(\bar{z})|^2\)連續(xù)且不為零。因此\(g(z)\)在\(D\)內連續(xù)。又\(g'(z)=\frac{-f'(z)}{f(z)^2}\)。由于\(f(z)\)在\(D\)內解析，\(f'(z)\)存在，\(f(z)\)恒不為零，所以\(g'(z)\)存在。故\(g(z)=\frac{1}{f(z)}\)在\(D\)內解析。2.證明：令\(F(z)=f(z)\cdot