第頁1.1空間向量及其運算【知識點梳理】知識點一：空間向量的有關(guān)概念1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識點詮釋：（1）空間中點的一個平移就是一個向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點二：空間向量的線性運算(1)向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點詮釋：（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，可以將向量合并；（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識點三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。知識點四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進而證面面平行）。知識點五：空間向量數(shù)量積的運算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識點詮釋：（1）由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識點六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當(dāng)a⊥b時，a·b＝0.知識點七：夾角問題1.定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個向量、的夾角的余弦。知識點詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2.利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角。知識點八：空間向量的長度定義：在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2.利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解?！绢}型歸納目錄】【典型例題】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運算【例題1-1】下列命題為真命題的是（

）A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．若，則?的長度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個非零向量與滿足，則.【例題1-2】如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A．B．C．D．【變式1-1】如圖所示，在平行六面體中，M、N分別是、BC的中點．設(shè)，，．(1)已知P是的中點，用、、表示、、；(2)已知P在線段上，且，用、、表示．題型二：共線向量定理的應(yīng)用【例題2-1】如圖，已知M，N分別為四面體A－BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點共線．【變式2-1】已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．題型三：共面向量及應(yīng)用【例題3-1】下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（

）A．B．C．D．【例題3-2】已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．(1)用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有．【變式3-1】如圖所示，已知斜三棱柱，點、分別在和上，且滿足，.(1)用向量和表示向量；(2)向量是否與向量，共面？【變式3-2】如圖，在三棱錐中，點為的重心，點在上，且，過點任意作一個平面分別交線段，，于點，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.題型四：空間向量的數(shù)量積【例題4-1】如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．【變式4-1】已知正方體的棱長為1，E為棱上的動點.求向量在向量方向上投影的數(shù)量的取值范圍.題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角【例題5-1】如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長度為4，且.用向量法求:(1)的長;(2)直線與所成角的余弦值.【變式5-1】平行六面體，(1)若，，，，，，求長；(2)若以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度【例題6-1】如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，設(shè)．(1)求；(2)求．【變式6-1】如圖，棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形），是棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，.(1)用向量，，表示；(2)求.題型七：利用空間向量的數(shù)量積證垂直【例題7-1】如圖，在棱長為1的正方體中，G、H分別是側(cè)面和的中心．設(shè)，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)判斷與是否垂直．同步鞏固練習(xí)1．有下列命題：①若與平行，則與所在的直線平行；②若與所在的直線是異面直線，則與一定不共面；③若、、兩兩共面，則、、一定也共面；④若與是平面上互不平行的向量，點，點，則與、一定不共面．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0B．1C．2D．32．已知，，三點不共線，為平面外一點，下列條件中能確定，，，四點共面的是（

）A．B．C．D．3．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點，則的值為（

）A．1B．C．D．4．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為（

）A．B．C．D．5．在一個正方體中，為正方形四邊上的動點，為底面正方形的中心，分別為中點，點為平面內(nèi)一點，線段與互相平分，則滿足的實數(shù)的值有A．0個B．1個C．2個D．3個6．已知空間四邊形中，，則______．7．在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當(dāng)最短時，_______．8.已知??是不共面的向量，且，，，.(1)判斷P?A?B?C四點是否共面；(2)能否用??表示？并說明理由.9.已知平行六面體的各棱長均為1，且．(1)求證：；(2)求對角線的長．10.已知在平行六面體中，，，，且.（1）求的長；（2）求與夾角的余弦值.1.1空間向量及其運算隨堂檢測1.下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．空間向量不可以平行移動C．如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量2.化簡所得的結(jié)果是（

）A．B．C．D．3.正六棱柱中，設(shè)，，，那么等于（

）A．B．C．D．4.如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則=（

）A．B．C．D．5．若、、、為空間不同的四點，則下列各式為零向量的序號是_______．①；