南匯中學(xué)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)期中2025.11一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.設(shè)全集，若集合，則.2.函數(shù)且的圖像過定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.3.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則.4.已知，則.5．已知，用表示.6．已知向量，則向量在向量方向上的數(shù)量投影為.7．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.8．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

9．已知一個(gè)圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和，則該圓錐的體積為.

10．設(shè)函數(shù)（其中），若函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與其對(duì)稱中心的最小距離為，則.

11．已知函數(shù)，若有四個(gè)不同的解，且，則的最小值為.

12．已知平面向量滿足，則的最小值為.

B．多面體的體積為定值 C．側(cè)面上存在點(diǎn)，使得 C．①真命題；②真命題D．①假命題；②假命題

解答題（第17-19題每題14分，第20-21題每題18分，共78分）

17．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．

（1）求；

（2）若，求

18．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)在棱上且，

（1）求與所成角的大小

（2）求點(diǎn)到平面的距離19．已知某公司生產(chǎn)某款產(chǎn)品的年固定成本為30萬(wàn)元，每萬(wàn)件產(chǎn)品還需另外投入16萬(wàn)元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)萬(wàn)件產(chǎn)品并全部銷售完，每萬(wàn)件產(chǎn)品的銷售收入為萬(wàn)元，且已知

（1）求一年的總利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的總利潤(rùn)最大？并求出最大總利潤(rùn)．（總利潤(rùn)總銷售收入-固定成本-額外投入）

20．對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得為上的奇函數(shù)，則稱是位差值為的＂位差奇函數(shù)＂.

（1）判斷函數(shù)和是否是位差奇函數(shù)，并說明理由；

（2）若是位差值為的位差奇函數(shù)，求的值；

（3）若對(duì)于任意都是位差值為的位差奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

21．已知，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值以及對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)；

（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：．

南匯中學(xué)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)數(shù)學(xué)期中2025.11一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.設(shè)全集，若集合，則.【答案】2.函數(shù)且的圖像過定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.【答案】3.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則.【答案】4.已知，則.【答案】

5．已知，用表示.

【答案】

6．已知向量，則向量在向量方向上的數(shù)量投影為.

【答案】

7．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.

【答案】

8．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【答案】或

9．已知一個(gè)圓錐的底面積和側(cè)面積分別為和，則該圓錐的體積為.

【答案】

10．設(shè)函數(shù)（其中），若函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與其對(duì)稱中心的最小距離為，則.B．多面體的體積為定值 C．側(cè)面上存在點(diǎn)，使得 D．直線與直線所成的角可能為C．①真命題；②真命題D．①假命題；②假命題

【答案】C

三、解答題（第17-19題每題14分，第20-21題每題18分，共78分）

17．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．

（1）求；

（2）若，求

【答案】（1）（2）【解析】（1）變形為：，

所以，因?yàn)?，所以；?分】

（2）因?yàn)?，且，所以?/p>

由正弦定理得：，即，解得：．【8分】

18．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，點(diǎn)在棱上且，

（1）求與所成角的大小

（2）求點(diǎn)到平面的距離【答案】（1）（2）【解析】（1）連接，因?yàn)樵谡襟w中，，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

所以為異面直線與所成的角，

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)在棱上且，所以，所以，

所以由余弦定理得，

所以，所以與所成角的大小為，【6分】

（2）連接，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

因?yàn)闉殇J角，所以，

所以，

因?yàn)?，所以，所以，解得?4分】

利用空間向量參考給分.

19．已知某公司生產(chǎn)某款產(chǎn)品的年固定成本為30萬(wàn)元，每萬(wàn)件產(chǎn)品還需另外投入16萬(wàn)元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)萬(wàn)件產(chǎn)品并全部銷售完，每萬(wàn)件產(chǎn)品的銷售收入為萬(wàn)元，且已知

（1）求一年的總利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的總利潤(rùn)最大？并求出最大總利潤(rùn)．（總利潤(rùn)總銷售收入-固定成本-額外投入）

【答案】（1）見解析（2）當(dāng)年產(chǎn)量為32萬(wàn)件時(shí)，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)為6114萬(wàn)元【解析】（1）一年的總利潤(rùn)：（2）當(dāng)時(shí)，萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)最大6114萬(wàn)元；【8分】

當(dāng)年產(chǎn)量超過40萬(wàn)件，即，此時(shí)

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故當(dāng)年產(chǎn)量為32萬(wàn)件時(shí)，公司在該款產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲得的總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)為6114萬(wàn)元．【14分】

20．對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得為上的奇函數(shù)，則稱是位差值為的＂位差奇函數(shù)＂.

（1）判斷函數(shù)和是否是位差奇函數(shù)，并說明理由；

（2）若是位差值為的位差奇函數(shù)，求的值；

（3）若對(duì)于任意都是位差值為的位差奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）是，不是（2）（3）【解析】（1）由，所以為奇函數(shù)．

故對(duì)于任意有為位差奇函數(shù)．

又，設(shè).

此時(shí)，若為奇函數(shù)，則恒成立，與假設(shè)矛盾，故不存在有為位差奇函數(shù).【4分】

（2）由是位差值為的位差奇函數(shù)，可得為上的奇函數(shù)．為奇函數(shù)．

即即.【10分】

（3）．由題意對(duì)任意的均不恒成立．

此時(shí)

即對(duì)任意的不恒成立，故在無(wú)解．又，故．故【18分】

21．已知，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值以及對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)；

（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：．

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，取得極小值0，無(wú)極大值．（2）（3）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，

由可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得極小值．【4分】

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，取得極小值0，無(wú)極大值．

（2）由方程有兩個(gè)不等實(shí)根可知，，

依題意，方程有兩個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)．

由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值，且當(dāng)；當(dāng)，故可作出函數(shù)的圖象如下．由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有兩個(gè)交點(diǎn)，故的取值范圍