2025年下學(xué)期高二數(shù)學(xué)溝通表達(dá)能力試題（二）一、解答題（共6題，每題15分，共90分）1.概率模型的辨析與應(yīng)用某商場為提升顧客體驗(yàn)，設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案：方案A：在一個(gè)不透明的盒子中放入10個(gè)除顏色外完全相同的球，其中紅球3個(gè)、白球7個(gè)。顧客隨機(jī)摸出2個(gè)球，若均為紅球則中獎(jiǎng)。方案B：在一個(gè)半徑為1米的圓形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一枚飛鏢，若飛鏢落在圓心為原點(diǎn)、半徑為0.5米的同心圓內(nèi)則中獎(jiǎng)。（1）分別判斷兩種方案是否屬于古典概型或幾何概型，并說明理由；（2）計(jì)算兩種方案的中獎(jiǎng)概率，比較哪個(gè)方案中獎(jiǎng)可能性更大；（3）若你是商場經(jīng)理，需向顧客解釋抽獎(jiǎng)規(guī)則的公平性，請(qǐng)用簡潔的語言說明選擇哪種方案更合適，并從概率角度給出兩條理由。2.函數(shù)性質(zhì)的邏輯推理已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}x^2-ax+\lnx$（$a$為常數(shù)，$x>0$）。（1）若函數(shù)$f(x)$在$x=1$處取得極值，求$a$的值，并證明此時(shí)函數(shù)$f(x)$存在唯一極小值點(diǎn)；（2）請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性與參數(shù)$a$的關(guān)系，要求：①分情況討論；②結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)說明理由；③用數(shù)軸表示不同區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。3.立體幾何的直觀描述與證明如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$為$BC$中點(diǎn)，$E$為$A_1C_1$中點(diǎn)。（1）請(qǐng)用文字描述四棱錐$A-B_1C_1CB$的結(jié)構(gòu)特征（需說明底面形狀、側(cè)棱與底面的位置關(guān)系、高的長度等）；（2）證明：$DE\parallel$平面$A_1ABB_1$；（3）若用一個(gè)平面截該三棱柱，使得截面為菱形，請(qǐng)寫出至少兩種不同的截法，并說明理由（可結(jié)合圖形輔助說明）。4.數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用與建模某公司為擴(kuò)大生產(chǎn)，計(jì)劃通過以下兩種方式積累資金：方式一：第1年年初存入100萬元，以后每年年初比上一年多存入20萬元，共存5年；方式二：第1年年初存入50萬元，以后每年年初將上一年的本利和（按年利率5%復(fù)利計(jì)算）再增加50萬元投入，共存5年。（1）分別寫出兩種方式下第$n$年（$1\leqn\leq5$）年初的投入金額$a_n$和$b_n$的表達(dá)式（無需計(jì)算具體數(shù)值）；（2）計(jì)算5年后兩種方式的總投入金額（精確到0.1萬元），并比較哪種方式更優(yōu)；（3）若公司希望通過方式二在5年后獲得至少350萬元資金，年利率需調(diào)整為多少（精確到0.1%）？請(qǐng)寫出你的計(jì)算思路，并向非數(shù)學(xué)專業(yè)的公司管理層解釋結(jié)果的含義。5.解析幾何的綜合探究已知橢圓$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程，并說明如何通過代數(shù)運(yùn)算驗(yàn)證點(diǎn)$(2,1)$在橢圓上；（2）設(shè)直線$l$：$y=kx+m$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點(diǎn)（$A$，$B$不是頂點(diǎn)），且以$AB$為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)$D(2,0)$。①證明：直線$l$過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；②請(qǐng)用幾何語言描述直線$l$與橢圓$C$的位置關(guān)系隨$k$變化的規(guī)律，要求結(jié)合圖形特征說明。6.統(tǒng)計(jì)案例的分析與表達(dá)為研究“學(xué)生每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間”與“數(shù)學(xué)周測成績”的關(guān)系，某學(xué)校隨機(jī)抽取50名高二學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：每周學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]人數(shù)1020155平均成績（分）65758590（1）繪制“每周學(xué)習(xí)時(shí)間—平均成績”的散點(diǎn)圖（用文字描述圖形特征，如趨勢、集中度等）；（2）若用線性回歸模型擬合兩者關(guān)系，設(shè)$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$，其中$x$為每周學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)），$y$為平均成績（分）。已知$\bar{x}=14$，$\bar{y}=76$，$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=500$，$\sum(x_i-\bar{x})^2=100$，求$\hat$和$\hat{a}$的值，并解釋$\hat$的實(shí)際意義；（3）有同學(xué)認(rèn)為“學(xué)習(xí)時(shí)間越長，成績一定越好”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)知識(shí)和生活實(shí)際，用300字左右的短文反駁這一觀點(diǎn)，要求：①引用數(shù)據(jù)說明；②指出模型的局限性；③提出合理的學(xué)習(xí)建議。二、開放探究題（共1題，30分）7.數(shù)學(xué)思想方法的遷移應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法。請(qǐng)結(jié)合高二數(shù)學(xué)知識(shí)，完成以下任務(wù)：（1）舉例說明“以形助數(shù)”在函數(shù)、不等式或方程中的應(yīng)用（需寫出具體問題、圖形分析過程及結(jié)論）；（2）舉例說明“以數(shù)解形”在解析幾何或立體幾何中的應(yīng)用（需寫出具體問題、代數(shù)運(yùn)算過程及結(jié)論）；（3）撰寫一段200字左右的總結(jié)，說明“數(shù)形結(jié)合”思想的核心內(nèi)涵，并結(jié)合自身學(xué)習(xí)經(jīng)歷談?wù)勅绾卧跀?shù)學(xué)解題中靈活運(yùn)用這一思想。三、跨學(xué)科實(shí)踐題（共1題，30分）8.數(shù)學(xué)建模與方案設(shè)計(jì)某社區(qū)計(jì)劃修建一個(gè)矩形休閑廣場，要求廣場面積不小于400平方米，且四周留出寬度為1米的綠化帶。設(shè)廣場的長為$x$米，寬為$y$米（$x\geqy>0$）。（1）寫出廣場與綠化帶總面積$S$關(guān)于$x$，$y$的函數(shù)關(guān)系式，并求$S$的最小值（結(jié)果用含$x$或$y$的代數(shù)式表示）；（2）若社區(qū)預(yù)算為2萬元，每平方米地面硬化費(fèi)用為50元，綠化帶每平方米種植費(fèi)用為20元，求廣場面積的最大值（精確到1平方米）；（3）請(qǐng)以“休閑廣場的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案”為題，向社區(qū)居民說明你的設(shè)計(jì)思路，要求：①用數(shù)學(xué)公式表示關(guān)鍵量之間的關(guān)系；②結(jié)合計(jì)算結(jié)果說明方案的合理性；③考慮居民的實(shí)際需求（如活動(dòng)空間、綠化效果等）。四、評(píng)分