專題L5特殊四邊形中的折疊問題的四大題型

【北師大版】

考卷信息:

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)特殊四邊形中的折疊問題的四大

題型的理解！

【題型1矩形中的折疊問題】

1.（2023春?吉林長(zhǎng)春?九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐

【操作感知】如圖①，在矩形紙片/BCD的邊上取一點(diǎn)P,沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片

展平，連接尸M、BM.Z.DPM=60°,則NMBC的大小為度.

【遷移探究】如圖②，將矩形紙片換成正方形紙片，將正方形紙片4BCD按照【操作感知】進(jìn)行折疊，并延

長(zhǎng)PM交CO「點(diǎn)Q,連接8Q.

（1）判斷△MBQ與4C3Q的關(guān)系并證明.

（2）若正方形48co的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P為40中點(diǎn)，則CQ的長(zhǎng)為

2.（2023春?山東臨沂?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知長(zhǎng)方形A8CD（對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角）中，AB=6,

40=8,點(diǎn)P在邊8C上，且不與點(diǎn)8、C重合，直線力P與0C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

圖1圖2

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P是8C的中點(diǎn)時(shí)，求證：AABP三AECP；

（2）如圖2,將△4PB沿直線4P折疊得到點(diǎn)B'落在長(zhǎng)方形力BCD的內(nèi)部，延長(zhǎng)P交直線力。于點(diǎn)心

①證明E4=FP,并求出在（1）條件下/尸的值；

②連接B'C,求△PC夕周長(zhǎng)的最小值.

3.(2023春?湖南岳陽?九年級(jí)?？计谥?如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)。剛好落在線段力0

上，且折痕分別與邊8。、力。相交，設(shè)折疊后點(diǎn)。、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H,折痕分別與邊8C、力。相交

于點(diǎn)E、F.

H

⑴判斷四邊形"GF的形狀，并證明你的結(jié)論.

(2)若CD=2,GD=16,求OF的長(zhǎng).

4.(2023春?江蘇南京?九年級(jí)校聯(lián)考期末)數(shù)學(xué)課上老師讓學(xué)生們折矩形紙片.由于折痕所在的直線不同，

折出的圖形也不同，所以各個(gè)圖形中所隱含的“基本圖形”也不同.我們可以通過發(fā)現(xiàn)基本圖形，來研究這些

圖形中的幾何問題.

圖2圖3

問題解決：

(1)如圖1,將矩形紙片力3CD沿直線MN折疊，使得點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，點(diǎn)0落在點(diǎn)5的位置，連接MC,AN,AC,

線段AC交MN于點(diǎn)。，則：

①ACOM與△4D1M的關(guān)系為一，線段4c與線段MN的關(guān)系為二小強(qiáng)量得NMNC=50。，則ZD/IN=_.

②小麗說：“圖I中的四邊形力NCM是菱形”，請(qǐng)你幫她證明.

拓展延伸：

(2)如圖2,矩形紙片/BCD中，BC=2AB=6cm,=4cm,小明將矩形紙片/1BCD沿直線折疊，點(diǎn)

B落在點(diǎn)當(dāng)?shù)奈恢?，MB1交力。于點(diǎn)N,請(qǐng)你直接寫出線段ND的長(zhǎng)：

綜合探究：

(3)如圖3,48CD是一張矩形紙片，AD=1,AB=5,在矩形的邊48上取一點(diǎn)M(不與A和8點(diǎn)重合)，

在邊CD上取一點(diǎn)N(不與C和。點(diǎn)重合)，將紙片沿MN折疊，使線段MB與線段DN交于點(diǎn)P,得到△MNP,

請(qǐng)你確定^MNP面積的取值范圍

5.（2023春?江蘇連云港?九年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題背景】矩形紙古力BCD中，AB=6,8c=10；點(diǎn)P在48邊

上，點(diǎn)Q在BC邊上，將紙片沿尸Q?斤疊，使頂點(diǎn)3落在點(diǎn)E處.

力（P）DAEDAD

圖1圖2圖3

【初步認(rèn)識(shí)】

（1）如圖1，折痕的端點(diǎn)P與點(diǎn)4重合.

①當(dāng)4CQE=50°時(shí)，LAQB=°；

②若點(diǎn)E恰好在線段QD上，則BQ的長(zhǎng)為；

【深入思考】

（2）若點(diǎn)E恰好落在邊4D上.

①如圖2,過點(diǎn)E作EF||48交PQ于點(diǎn)兒交BC于點(diǎn)G,連接B凡請(qǐng)根據(jù)題意，補(bǔ)全圖2并證明四邊形P8打E

是菱形；

②在①的條件下，當(dāng)力￡=3時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；

【拓展提升】

（3）如圖3,若DQ上PQ,連接OE,若△DEQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求。Q的長(zhǎng).

6.（2023春?江蘇泰州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)研究課上，老師帶領(lǐng)大家探究《折紙中的數(shù)學(xué)問題》時(shí)，出

示如圖①所示的長(zhǎng)方形紙條其中力。=BC=2,AB=CD=10.然后在紙條上任意畫一條線段MN,

將紙片沿MN折疊，MB與DN交于點(diǎn)、K,得到aMN/C.如圖②所示：

C

B

備用圖①備用圖②

【基礎(chǔ)回顧】

（1）在圖②中，若41=52。，乙MKN=。；（直接寫出答案）

【操作探究】

（2）改變折痕MN位置，AMNK始終是______二角形，請(qǐng)說明理由；

⑶愛動(dòng)腦筋的小明在研究AM/VK的面積時(shí)，發(fā)現(xiàn)KN邊上的高始終是個(gè)不變的值.根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，他很快研

究出△KMN的面積最小值為2,此時(shí)21的大小可以為；

【拓展延伸】

（4）小明繼續(xù)動(dòng)手操作進(jìn)行折紙，發(fā)現(xiàn)了△MNK面積存在最大值，請(qǐng)你求出這個(gè)最大值.

7.（2023春?河南洛陽?九年級(jí)統(tǒng)考期末）小明嘗試著將矩形紙片力BCD（如圖1,AD>CD）沿過點(diǎn)A的直

線折疊，使得點(diǎn)8落在4。邊上的點(diǎn)尸處，折痕為AE（如圖2）；再沿過點(diǎn)。的直線折疊，使得點(diǎn)。落在邊

上的點(diǎn)N處，點(diǎn)E落在力E上的點(diǎn)M處，折痕為DG（如圖3）.若第二次折疊后，點(diǎn)M正好在4NDG的平分

線上，連接。M,且CD=1,則4）=

8.（2023春?浙江杭州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一張矩形紙片力BCD,點(diǎn)E在邊8c上，且滿足=2BE,

把沿宜線AE折置，使點(diǎn)B落在點(diǎn)尸處，"的延長(zhǎng)線與邊CD交于點(diǎn)G.若CG=DG,則不=

AD

【題型2菱形中的折疊問題】

1.（2023春?安徽淮南?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形4BCO中，BC=4,=120。，點(diǎn)E是的中點(diǎn),

點(diǎn)F是718上一點(diǎn)，以E尸為對(duì)稱軸將折等得到△EGG以CE為稱軸將△COE折疊得到△CHE,使得

點(diǎn)H落到EG上，連接AG.下列結(jié)淪錯(cuò)誤的是（）

A.Z.CEF=90°B.CE\\AGC.FG=1.6D.—=-

AB5

2.（2023春?安徽安慶?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形/WC0中，乙4=120。，=2,點(diǎn)Z:是邊4。上一

點(diǎn)，以DE為對(duì)稱軸將△D4E折疊得至IJADGE,再折疊BE使BE落在直線EG上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H,折痕

為EF且交BC于點(diǎn)F.

（2）若點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，則。/的長(zhǎng)為.

3.（2023秋?河南開封?九年級(jí)開封市第十三中學(xué)?？计谀┤鐖D，在菱形力BCD中，匕8=60。，48=4,

M為邊AB的中點(diǎn)，N為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將沿直線MN折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,

連接DE,CE,當(dāng)ACOE為等腰三角形時(shí)，8N的長(zhǎng)為

4.（2023春?重慶沙坪壩?九年級(jí)重慶南開中學(xué)校考期末）如圖，在菱形48C0中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、0,

AC=6,菱形為BCD的面積為24,點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，將菱形ABCD沿。后折疊，使8、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是B'、

C',若乙BEB'=90。,則點(diǎn)若到BC的距離為

5.（2023春?廣西來賓?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在菱形4BC。中，乙48。=120。，將菱形折置，使點(diǎn)力恰好

落在對(duì)角線8。上的點(diǎn)G處（不與8、。重合），折痕為EF,若DG=2,AD=6,則BE的長(zhǎng)為.

6.（2023春?浙江杭州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCO中，=2,M為邊4B上的一點(diǎn)，將菱形沿DM折

疊后，點(diǎn)A恰好落在的中點(diǎn)E處，貝MM=.

7.（2023春?廣東肇慶?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1,菱形紙片F(xiàn)BCD的邊長(zhǎng)為6cm,乙4BC=60°,將菱形48CD

沿E凡G”折疊，使得點(diǎn)B,。兩點(diǎn)重合于對(duì)角線BC上的點(diǎn)尸（如圖2）.若4E=2BE,貝1」六邊形4EFCHG的

面積為cm2.

圖1圖2

【題型3正方形中的折疊問題】

1.（2023春?陜西西安?九年級(jí)?？计谀┰谡叫?BCD中，點(diǎn)G是邊OC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線BC上一動(dòng)點(diǎn),

FEJ.AG于H,交直線40于點(diǎn)￡.

（I）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)8重合時(shí)（如圖I）,線段EF與4G的數(shù)量關(guān)系是

（2）若點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，（I）探究的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明：如果不成立,

請(qǐng)說明理由.

（3）如圖3,將邊長(zhǎng)為6的正方形A3C。折疊，使得點(diǎn)力落在邊。。的中點(diǎn)M處，折痕為PQ,點(diǎn)P、Q分別在邊

AD.8c上，請(qǐng)直接寫出折痕PQ的長(zhǎng).

2.（2023春?山西大同?九年級(jí)校聯(lián)考期中）綜合與實(shí)踐

問題情境：

在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師以“正方形的折疊問題”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).如圖1,將正方形紙片4BCD對(duì)

折，使得邊48與CD重:合，展開鋪平，折痕為PQ.然后，再將正方形紙片沿著過點(diǎn)C的直線折疊，此時(shí)點(diǎn)及恰

好落在折痕PQ的點(diǎn)尸處，展開鋪平，設(shè)CE與PQ交于?點(diǎn)G,連接EG,得到圖2.

⑴操作發(fā)現(xiàn)：小康發(fā)現(xiàn)，四邊形BG/E是菱形，請(qǐng)說明理由;

⑵問題解決：若正方形力BCO的邊長(zhǎng)為6,求/Q的長(zhǎng)；

（3）問題拓展：如圖3,M是正方形;4BCD的邊4。上一點(diǎn)，正方形48。。的邊長(zhǎng)為8,連接8M,將△A8M沿著8M

折疊，使得點(diǎn)A落在正方形的內(nèi)部點(diǎn)K處，連接OK,求出DK的最小值.

3.（2023春?江蘇泰州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）【模型建立】

如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)E,/分別在邊BC,CD上,AE1BF,力E與相交于點(diǎn)P.AE,BF有什么數(shù)

量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.

圖1

【遷移應(yīng)用】

如圖2,請(qǐng)僅用無刻度的直尺畫圖(保留作圖痕跡，不用證明)

(1)以48為邊畫正方形A8CD；

(2)取CD中點(diǎn)E,連接力E：

圖2

【拓展提升】

如圖3,正方形/BC。中，點(diǎn)E,尸分別在邊48,CO上，將正方形沿EF折疊，點(diǎn)4,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為小，

使得點(diǎn)力'始終落在邊BC上，H0與。。相交于點(diǎn)G.

(I)若48=5,BA'=2,求。尸的長(zhǎng)度；

(2)點(diǎn)七，F(xiàn)在邊4B,CO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接4G,則乙4〃G的大小是否發(fā)生改變，若不變，求出大小，若改變,

請(qǐng)說明理由.

AD

BAfC

圖3

4.（2023春?河南南陽?九年級(jí)統(tǒng)考期末）動(dòng)手操作：利用“正方形紙片的折疊”開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究在正方

形折疊的過程中圖形的變化及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

圖I圖2圖3

折一折：如圖1,已知正方形718co的邊長(zhǎng)=6,將正方形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

M落在4c上，展開正方形48CD,折痕為4E,延長(zhǎng)EM交CD于點(diǎn)巴連接力幾

思考探究：（1）圖I中，與△48E全等的三角形有個(gè)，^EAF=,BE、EF、。產(chǎn)三者的數(shù)

量關(guān)系是.

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的“月/繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置，與3C、的交點(diǎn)分別為￡、F,連接ET.

證明推理：（2）圖2中，BE、EF、DF三者的數(shù)量關(guān)系是,并給出證明.

開放拓展：（3）如圖3,在旋轉(zhuǎn)4區(qū)4F的過程中，當(dāng)點(diǎn)尸為CD的中點(diǎn)時(shí)，8E的長(zhǎng)為________.

5.（2023春?江蘇南京?九年級(jí)校聯(lián)考期中）點(diǎn)E.F分別為正方形ABCD邊AD.AB上的點(diǎn)，連接CE,

DF交于點(diǎn)P.

AEDAEDA............D

OH“二

BCBCBAC

圖1圖2

⑴如圖1,若DE=AF,則線段DF與CE具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？說明理由.

(2)如圖2,若E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，求證BP=BC.

(3)若將正方形ABCD折疊，使得A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在BC邊上，折痕MN分別交AB,CD于M,N.若

正方形的的邊長(zhǎng)為6,線段A'B=2,則DN的長(zhǎng)為_.

6.(2023春?廣東江門?九年級(jí)統(tǒng)考期末)綜合與實(shí)踐：

如圖1,已知正方形紙片A8CD.

實(shí)踐操作

第一步：如圖1,將正方形紙片ABC。沿AC,分別折疊.然后展平，得到折痕AC,BD.天痕AC,BD

相交于點(diǎn)O.

第二步：如圖2,將正方形"CO折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)七恰好落在AC上，得到折痕人凡人尸與相交

于點(diǎn)G,然后展平，連接GE,EF.

圖1圖2圖3

問題解決

(1)4AG0的度數(shù)是：

(2)如圖2,請(qǐng)判斷四邊形4GEF的形狀，并說明理由；

探索發(fā)現(xiàn)

(3)如圖3,若48=1,將正方形4BC。折置，使點(diǎn)A和點(diǎn)尸重合，折痕分別與A8,。。相交于點(diǎn)M,N.求

的值.

7.(2023春?海南省直轄縣級(jí)單位?九年級(jí)統(tǒng)考期末)已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)=6,將正方形ABCD沿過

點(diǎn)4的直線折疊，使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在AC上，展開正方形力BCD,折痕為4E,延長(zhǎng)EM交CDF點(diǎn)F,連接力凡則

ZE.4F=°,BE的長(zhǎng)為.

J)

【題型4坐標(biāo)系中的折疊問題】

1.(2023春?黑龍江齊齊哈爾?九年級(jí)統(tǒng)考期中)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(0,a)和(瓦0),且Q,b滿足b=后二^+7^^+4.將

矩形04BC沿對(duì)角線力C所在的直線折疊，點(diǎn)3落在點(diǎn)。處，DC與)，軸相交于點(diǎn)￡

(l)a=,b=：

(2)試證明△ADEWCOE,并直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)尸是線段4c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則E尸+。尸的最小值為；

(4)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M與點(diǎn)N使四邊形力CMN為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

2.(2017春?北京豐臺(tái)?九年級(jí)統(tǒng)考期中)已知菱形048c在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)

CQ2),點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)M(0,2).

⑴點(diǎn)。是直線08上的動(dòng)點(diǎn)，求PM+PC最小值.

(2)洛直線y=-x-1向上平移，得到直線y=kx+b.

①當(dāng)直線y=/cx+b與線段OC有公共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖像，直接寫出〃的取值范圍.

②當(dāng)直線y=/cx+b將四邊形0ABe分成面積相等的兩部分時(shí)，求匕b.

（只需寫出解題的主要思路，不用寫出計(jì)算結(jié)果）.

3.（2023春.福建泉州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形O4BC為矩形，其中。為原點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)分別在x

軸和y軸上，8點(diǎn)的坐標(biāo)是（4,7）.點(diǎn)。，￡分別在OC,C3邊上，且CE：EB=5：3.將矩形OA3C沿

直線DZ?折疊，使點(diǎn)。落在A3邊上點(diǎn)/處.

（1）求尸點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）點(diǎn)P在第二象限，若四邊形PEFZ）是矩形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若M是坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)N在），軸上，若以點(diǎn)M,N,D,r為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫出所有

滿足條件的點(diǎn)”和點(diǎn)N的坐標(biāo).

丁本

4.（2023春?天津南開?九年級(jí)統(tǒng)考期末）將一個(gè)矩形紙片。ARC放置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0（0,0）,點(diǎn)

8（10,6）,點(diǎn)A在大軸，點(diǎn)。在），軸.在邊上取一點(diǎn)。，將△CB。沿CO翻折，點(diǎn)B恰好落在邊04上的點(diǎn)石

處.

（1）如圖I,求點(diǎn)E坐標(biāo)和直線CE的解析式；

⑵點(diǎn)P為.1軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)。P=￡.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段。力（不包含端點(diǎn)A,O）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作直線/肛軸，直線/被△CED截得的

線段長(zhǎng)為d.求d關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量/的取值范圍：

②在該坐標(biāo)系所在平面內(nèi)找一點(diǎn)G,使以點(diǎn)CE,P,G為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo).

5.（2023春?廣東惠州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形0A8C的頂點(diǎn)A、C分別位于％軸和y軸的正半軸匕線

段04、0c的長(zhǎng)度滿足：|0/1-15|+VOC-9=0,點(diǎn)N在0C上，將△8CN沿直線BN折疊，點(diǎn)C恰好落在x軸

上的點(diǎn)。處，且。。=3.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo);

（2）求直線8N的解析式；

（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使以8、N,D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)說明理由并求

出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6.（2023春?陜西西安?九年級(jí)西安市曲江第一中學(xué)?？计谀┤鐖D1,在矩形中，將矩形折疊，使點(diǎn)

B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為￡這時(shí)折痕與邊BC或者邊CD（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)F,然后展開鋪平，

圖⑴圖⑵圖⑶

⑴由“折痕三角形”的定義可知，矩形48CD的任意一個(gè)“折痕△防?一定是三角形.

(2)如圖2,在矩形4BCD中，AB=2,BC=4.當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)C重合，畫出這個(gè)“折痕△8""，并求出點(diǎn)E的

坐標(biāo).

(3)如圖3,在矩形48co中，AB=2,BC=4,當(dāng)“折痕△8E片面積最大的時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

7.(2023春?湖北武漢?九年級(jí)統(tǒng)考期中)在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形04BC為矩形，4(a,0),C(0,c),且

^^二^+9—8)2=0.點(diǎn)石從3點(diǎn)出發(fā)沿8。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)廠從8點(diǎn)出發(fā)沿B4運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G從。點(diǎn)出發(fā)沿OC運(yùn)

動(dòng).

(2)如圖I,將△/l。尸沿OF折直，點(diǎn)兒恰好落在點(diǎn)七處，求￡F兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若￡,“兩點(diǎn)以相同的速度同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)，使乙￡。尸=45。，設(shè)點(diǎn)上的橫坐標(biāo)為〃?，求m2+16771的

值；

(4)如圖3,已知點(diǎn)。(7.5,0),若F，G兩點(diǎn)以相同的速度同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)，連接FG,作力H1FG于”，直接寫

出D"的最大值.

8.(2023秋?四川達(dá)州?九年級(jí)?？计谥?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。力BC是長(zhǎng)方形，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，頂點(diǎn)人C分別在)，軸、x軸上，頂點(diǎn)8在第二象限內(nèi)，一次函數(shù)y=：x+6的圖象分別與坐標(biāo)軸交于

點(diǎn)A,C.

專題1.5特殊四邊形中的折疊問題的四大題型

【北師大版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題,題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣.選題有深度,可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)特殊四邊形中的折疊問題的四大

題型的理解！

【題型1矩形中的折疊問題】

1.（2023春?吉林長(zhǎng)春?九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐

【操作感知】如圖①，在矩形紙片48。。的4D邊上取一點(diǎn)P,沿BP折疊，使點(diǎn)4落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙

片展平，連接PM、BM.^DPM=60°,則NM8C的大小為度.

【遷移探究】如圖②，將矩形紙片換成正方形紙片，將正方形紙片/18CD按照【操作感知】進(jìn)行折置，并延

長(zhǎng)PM交COF點(diǎn)Q,連接8Q.

（1）判斷aMBQ與△CBQ的關(guān)系并證明.

（2）若正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P為4。中點(diǎn)，則CQ的長(zhǎng)為

【答案】【操作感知】3（）；【遷移探究】（1）全等，見解析；（2）：

【分析】操作感知：根據(jù)折疊求出4力8P=4M8P=30。，即可得出結(jié)論;

遷移探究：（1）根據(jù)HL證Rt△MBQ三Rt△C8Q即可；

（2）設(shè)CQ的長(zhǎng)為％,則OQ=4-x,MQ=yjBQ2-BM2=y/BC2+CQ2-BM2=x,利用勾股定理求出x

的值即可.

【詳解】解：【操作感知】：由折疊知，4APB=iMPB,^ABP=Z-MBP,4A=zM=90。,

■:乙DPM=60°,

：.LAPB=Z,MPB=（180。一4OPM）-2=60。,

：.z.ABP="IBP=30°,

:SMBC=90°-乙ABP-"IBP=30°,

故答案為：30：

【遷移探究】(1)判斷：△M8Q三△C8Q,理由如下：

證明：???正方形紙片力8C。按照【操作感知】進(jìn)行折疊，

：.AB=BM=BC,LA=乙BMP=乙BMQ=zC=90°

在RMM8Q和RtACBQ中，

(BO=BQ

IBM=BC，

ARt△MBQ=Rt△CBQ(HL),

即AM8Q妥CBQ；

(2)設(shè)CQ的長(zhǎng)為》,

???正方形A8CZ)的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P為4D中點(diǎn)，

:?DQ=4-％,MQ=y/BQ2-BM2=+CQ?-BM?=x,PM=AP=^x4=2,

在RtAPDQ中，PQ2=PD2+DQ2,

即(2+*)2=22+(4一%)2,

解得X=p

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握勾股

定理及正方形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2023春?山東臨沂?九年級(jí)統(tǒng)考期末)已知長(zhǎng)方形力BCD(對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角)中，48=6,

4。=8,點(diǎn)P在邊BC上，且不與點(diǎn)8、C重合，直線AP與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P是8c的中點(diǎn)時(shí)，求證：AABPNAECP；

(2)如圖2,將AAPB沿直線AP折疊得至IJ△4P8',點(diǎn)8'落在長(zhǎng)方形力BCD的內(nèi)部，延長(zhǎng)P8'交直線力。于點(diǎn)F.

①證明凡4=FP,并求出在(1)條件下AF的值；

②連接夕C,求APGr周長(zhǎng)的最小值.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析，力?=￡；②12

【分析】(I)根據(jù)矩形的性質(zhì)得4BIICD,可得乙84P=NE,乙B=LBCE,利用/L4s即可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出"A"=乙4”,等角對(duì)等邊即可得從4=",設(shè)戶71=X,貝W=

x,FB，=x-4,在Rtz\4B'F中，由勾股定理得％=日，即力尸二一；

②可得△PC夕的周長(zhǎng)=CP+PB14-CB'=CB+CB'=8+。"，當(dāng)點(diǎn)夕恰好位于對(duì)角線4c上時(shí)，CB'+AB'

最小，在RtaABC中，由勾股定理得4c=10,則。夕的最小值=AC-48'=4,即可得△PCS'周長(zhǎng)的最小

值.

【詳解】(1)證明：???四邊形A8CD是矩形，

???ABWCD,

???Z.BAP=Z-E,Z-B=Z.BCE,

???點(diǎn)P是8C的中點(diǎn)，

BP=CP,

：.〉A(chǔ)BP三△ECP(AAS)；

⑵解：①???四邊形4BCD是矩形,

ADWBC,

:.乙4P8=4FAP,

由折疊得ZAP8=N?1PF,

???Z.FAP=Z.APF,

FA=FP,

矩氏48co中，AB=6,AD=8,

:.BC=AD=8?

???點(diǎn)P是8c的中點(diǎn)，

：,BP=CP=4,

由折疊得AB'=AB=6,PB'=PB=4,=乙AB'P=4AB'F=90°,

設(shè)E4=x,MFP=x,

FB'=x-4,

2,2,2

在玲△AB'/中,AF=BF+BAf

x2=(%-鏟+62,

解得％=葭，

即HF=y;

②由折疊得/e=AB=6,PB'=PB=4,

.?.△PC9的周長(zhǎng)=CP+PB'+CBf=CB+CB1=8+CB',

連接B'C,AC,

???AB1+CB'>AC,

二當(dāng)點(diǎn)夕恰好位于對(duì)角線/C上時(shí)，Ce+4B'最小，

在RtA/lBC中，AB=6,BC=8,

AC=+BC2=10,

A。6的最小值4=4,

??.△PCB'周長(zhǎng)的最小值=8+CB'=8+4=12.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角

形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，掌握折疊是一種軸對(duì)稱，折疊前后的圖形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等,

靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?湖南岳陽?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將矩形紙片48CDG4O>49）折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段4。

上，且折痕分別與邊BC、月。相交，設(shè)折疊后點(diǎn)C、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G、H,折痕分別與邊8C、力。相交

于點(diǎn)E、F.

H

BEC

⑴判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論.

(2)若=2,GD=16,求。尸的長(zhǎng).

【答案】(1)菱形，見解析

(2)DF=:

O

【分析】(1)根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到卜G=FC,EG=EC,乙GE卜,="EC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到4G"二

"EC,得到GF=GE,得到GE=EC=CF=FG,根據(jù)菱形的判定定理證明；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到GF=CF,根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.

【詳解】(1)解：結(jié)論：四邊形CEG尸是菱形.

理由：???四邊形A8CD是矩形，

：.AD\\BC,

???4GFE=乙FEC,

???圖形翻折后點(diǎn)G與點(diǎn)。重合，E尸為折痕，

Z.GEF=Z.FEC,FG=FC,EG=EC,

:.Z.GFE=Z.FEG,

:.GF=GE,

:.GE=EC=CF=FG,

四邊形CEGF為菱形；

(2)解：設(shè)=%,

,:CD=16,

：,GF=16-x,

CF=16-x,

在Rt/kCD尸中，CD2+DF2=CF2,

：.x2+22=(16-x)2,

解得：無二冬

o

.?.DnrF-=—63.

8

【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的判定、勾股定理的運(yùn)用，掌握四條邊相等的四邊形是菱形、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?江蘇南京?九年級(jí)校聯(lián)考期末）數(shù)學(xué)課上老師讓學(xué)生們折矩形紙片.由于折痕所在的直線不同，

折出的圖形也不同，所以各個(gè)圖形中所隱含的“基本圖形”也不同.我們可以通過發(fā)現(xiàn)基本圖形，來研究這些

圖形中的幾何問題.

圖1圖2圖3

問題解決：

（1）如圖1，將矩形紙片488沿直線MN折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)D]的位置，連接

MC,AN,AC,線段4c交MN于點(diǎn)0,則：

①Z.CDM與aADiM的關(guān)系為一線段4C與線段MN的關(guān)系為二小強(qiáng)量得/MNC=50。，則4UN=_.

②小麗說：“圖1中的四邊形ANCM是菱形”，請(qǐng)你幫她證明.

拓展延伸：

（2）如圖2,矩形紙片\4BCD中，BC=2AB=6cm,BM=4cm,小明將矩形紙片F(xiàn)8CD沿直線4M折疊，

點(diǎn)8落在點(diǎn)員的位置，MB1交AD于點(diǎn)、N,請(qǐng)你直接寫出線段NO的長(zhǎng)：

綜合探究：

（3）如圖3,ABC。是一張矩形紙片，AD=1,AB=5,在矩形X1BC0的邊48上取一點(diǎn)M（不與4和B點(diǎn)重

合），在邊CO上取一點(diǎn)N（不與C和。點(diǎn)重合），將紙片沿MN折疊，使線段MB與線段DN交于點(diǎn)P,得到△MNP,

請(qǐng)你確定^MNP面積的取值范圍，

【答案】（1）①△CDMWA4D]M,線段AC與線段MN互相垂直平分，80。；②證明見解析?：（2）烏：（3）

8

0.5<S^MNP—L3

【分析】（I）利用翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；

（2）由矩形和折置的性質(zhì)證明/N=MN,設(shè)4N=MN=x,在RtZk/lN/中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解

即可；

（3）分別求出^MNP的面積的最大值與最小值即可解決問題.

【詳解】解：⑴①???矩形紙片A8CD沿直線MN折疊，使得點(diǎn)。與點(diǎn)4重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)5的位置，

AM=MC,ADX=CD,MDX=MD,

CDM三△ODiM(SSS),

???MN垂直平分線段力C,

???OA=OC,

?：ADWBC,

Z.AMO=乙CNO,

???Z.AOM=2CON,

??.△AMO=△CNO(AAS),

OM=ON,AM=CN,

線段AC與線段MN互相垂直平分，

???MA=MC,NA=NC,

AM=CM=CN=AN,

四邊形HNCM是菱形，

Z.ANM=乙MNC=50°,

:.Z.ANC=100°,

ADWBC,

:.Z.DAN=180°-100°=80°,

故答案為：線段/1C與線段MN互相垂直平分,80°；

②證明過程如下：

???矩形紙片48CD沿直線MN折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)4重合，點(diǎn)。落在點(diǎn)外的位置,

AAM=MC,ADX=CD,MDV=MD,

??.△CDM三△ADiM(SSS),

MN垂直平分線段4。，

:.OA=OC,

AD\\BC,

:.Z.AMO=乙CNO,

vZ.AOM="ON,

???△AMO^ACJVO(AAS),

:.OM=ON,AM=CN,

線段AC與線段MN互相垂直平分，

???AM=MC,NA=NC,

AM=CM=CN=AN,

???四邊形4NCM是菱形；

(2)?.?四邊形ABCD是矩形，

ADWBC,LB=90°,

由折符的性質(zhì)可得：LAMB=Z.AMN,乙B==90°,

vADWBC,

:.Z.AMB=NM/1N,

:.乙AMN=乙NAM,

:?AN=MN,

設(shè)4N=MN=x,

在RIAAN%中，vAB=ABX=3,NBX=4-x,AN=x,

x2=32+(4-x)2,

解得：*=9

o

...25

???AN=—,

8

,'.DN=AD-AN=6--=—,

88

故答案為：言；

8

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)8與點(diǎn)。重合時(shí)，△MNP的面積最大，MH工BN于H,則MH=4B=1,

C

圖3

由題意得：MP=MQ,

設(shè)MP=MQ=k,則AM=5-k,

由勾股定理得：(5-Z)2+I2=〃2,

解得：k=2.6,

由（1）知，NP=MP=2.6,MH=1,

-S6MNK=^NP-MH=1.3,

△MNP的最大值為1.3,

假設(shè)點(diǎn)N與。重合時(shí)，此時(shí)PN最小，為PN=1,

:.△MNP的面積的最小值為：xlx1=0.5,

???在邊CD上取一點(diǎn)N不與C和。點(diǎn)重合，

?0,0.5<S&MNPW1.3

故答案為:0.5<SLMNP<1.3.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判

定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定

與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?江蘇連云港?九年級(jí)統(tǒng)考期末）【問題背景】矩形紙片A8CD中，AB=6,8C=10：點(diǎn)P在48邊

上，點(diǎn)Q在BC邊上，將紙片沿PQ3斤疊，使頂點(diǎn)8落在點(diǎn)E處.

力（P）DAEDAD

圖1圖2圖3

【初步認(rèn)識(shí)】

（1）如圖1，折痕的端點(diǎn)P與點(diǎn)A重合.

①當(dāng)/CQE=50。時(shí)，^AQB=°；

②若點(diǎn)E恰好在線段Q。上，則BQ的長(zhǎng)為；

【深入思考】

（2）若點(diǎn)E恰好落在邊上.

①如圖2,過點(diǎn)E作EFII交PQ于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G,連接BF.請(qǐng)根據(jù)題意，補(bǔ)全圖2并證明四邊形P8FE

是菱形；

②在①的條件下，當(dāng)月E=3時(shí)，求PQ的長(zhǎng)：

【拓展提升】

（3）如圖3,若DQ工PQ,連接DE,若△DEQ是以O(shè)Q為腰的等腰三角形，求BQ的長(zhǎng).

【答案】(1)①N/1Q8=65。，②8Q=2；(2)①證明見解析，直畔；(3)BQ的長(zhǎng)為青或日

【分析】(1)①由折疊性質(zhì)和“(?￡+48(2￡'=180?？汕?1"力。8的度數(shù)：

②由折疊和勾股定理可求出DE=8,再利用Rt/kCDQ列也式子求出QE的長(zhǎng)，最后即可求出8Q的長(zhǎng);

(2)①先證四邊形PBFE是平行四邊形，再由折疊證PE=E/進(jìn)而證明四邊形PBFE是菱形；

②先求菱形的邊長(zhǎng)BQ的長(zhǎng)度，最后根據(jù)勾股定理求出PQ;

(3)分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)〃Q=EQ時(shí)，②當(dāng)〃H=〃Q時(shí).

【詳解】解：(1)①;(CQE+乙BQE=180°,Z.CQE=50°,

乙BQE=130°,

由折疊可得：/.AQB=/-AQE=^LBQE,

???Z.AQB=65°：

②由折疊可得：AB=AE,/-ABE=LAEQ=90°,BQ=QE,

vAB=6,BC=10,

AE=6,

,?,點(diǎn)E在QO上，

:.Z.AEQ=180°-乙AEQ=90°,

DE=y/AD2-AE2=8,

在RtACOQ中，(8+QE)2=62+(10-QE)2,

:.QE=2,

???BQ=2

故答案為：①，AQB=65°,②8Q=2.

(2)①證明：?：EF"AB,

:?乙BPF=4EFP,

由折疊可知，PB=PE,Z,BPF=Z-EPF,

:,乙EFP=乙EPF,

：,PE=EF,

:.PB=EF,

???四邊形P8FE是平行四邊形，

?:PE=EF,

???四邊形P8FE是菱形；

②由折疊可知戶8=P￡,

,:AB=6,AP=6-PE,

在APE中，PE2=(6-PF)2+32,

???PE=竺，

4

???菱形PBFE的邊長(zhǎng)為洋

4

由折疊可知，EQ=BQ,

*：AE=3,

：.BG=3,

在Rtz^EGQ中，BQ2=62+(BQ-3)2,

???BQ吟

在RtABPQ中，又勾股定理得PQ=嶺了+(MJ=竽,

(3)由折疊可知8Q=￡Q,設(shè)BQ=m,則EQ=7?i,CQ=10-m,

①當(dāng)DQ=EQ時(shí)，在RtZkCDQ中，624-(10-m)2=m2,

?

..n=—34,

②當(dāng)OE=OQ時(shí)，過點(diǎn)。作。尸±EQ交于尸，

BQC

???FQ='Q=綱，

由折疊可知4PQ8=cPQE,

■:DQ1PQ,

J.LPQB+Z.CQD=90°=乙PQE+乙FQD,

：.LCQD=乙FQD,

：.LCDQ=△”〃Q(AAS),

：.CQ=FQ,

-rrit

?\10—m=2

加=于20

???DBCQ20：

=—?5

綜上所述：8Q的長(zhǎng)為今或冬

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形與折疊的知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三

角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是讀懂題意，理清條件與圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，分類討論，數(shù)形結(jié)合

思想的運(yùn)用.

6.（2023春?江蘇泰州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)研究課上，老師帶領(lǐng)大家探究《折紙中的數(shù)學(xué)問題》時(shí)，出

示如圖①所示的長(zhǎng)方形紙條其中=BC=2,AB=CD=10.然后在紙條上任意畫一條線段MN,

將紙片沿MN折售，MB%DN交于點(diǎn)K,得到△MNK.如圖②所示:

圖②

DC

AB

備用圖①備用圖②

【基礎(chǔ)回顧】

（1）在圖②中，若41=52。，乙MKN=.。；（直接寫出答案）

【操作探究】

（2）改變折痕MN位置，△MNK始終是______三角形，請(qǐng)說明理由：

（3）愛動(dòng)腦筋的小明在研究^M/VK的面積時(shí)，發(fā)現(xiàn)KN邊上的高始終是個(gè)不變的值.根據(jù)這?發(fā)現(xiàn)，他很快研

究出△KMN的面積最小值為2,此時(shí)41的大小可以為:

【拓展延伸】

（4）小明繼續(xù)動(dòng)手操作進(jìn)行折紙，發(fā)現(xiàn)了面積存在最大值，請(qǐng)你求出這個(gè)最大值.

【答案】（1）76°；

⑵等腰，理由見解析：

（3）45°或135。；

（4）5.2.

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)求出4KMN的度數(shù)，再根據(jù)平角求出心力MK的度數(shù)，最后根據(jù)

平行線的性質(zhì)即可求解;

（2）利用翻折變換的性質(zhì)以及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出KM=KN；

（3）利用當(dāng)△KMN的面積最小值為2時(shí)，KN=BC=2,則可證明MK1DK,DK1NK,從而卻可求出N1；

（4）分情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)8與0重合，此時(shí)點(diǎn)K也與。重合；

情況二：將矩形紙片沿對(duì)角線4。對(duì)折，此時(shí)折痕即為4C兩種情況討論求解.

【詳解】（1）如圖1,

圖1

由折疊性質(zhì)可知，41=4NMK=52。,

：.LAMK=180°-Z1-Z.NMK=180°-52°-52°=76°,

???四邊形是長(zhǎng)方形，

：.DN\\AM,

?"MKN=Z.AMK=76°,

故答案為:76°；

(2)等腰，理由：

???四邊形48CD是矩形,

?XMIIDN,

:?乙KNM=Z1.

???將紙片沿MN折疊，

Azi=乙KMN,

工乙KNM=乙KMN,

???AKMN為等腰三角形；

(3)如圖2,當(dāng)△KMN的面積最小值為2時(shí)，KN=BC=2,

■:乙NMB=CKMN,Z.KMB=90%

Azi=Z.NMB=45°

同理：zl=AN1MB=135°

故答案為：45?；?35。；

(4)分兩種情況：情況一：如圖3,將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與0重合，此時(shí)點(diǎn)K也與D重合，設(shè)MK=MB=x,

則=10-x,

圖3

由勾股定理得22+(10-x)2=r2,

解得％=5.2.

:.MD=ND=5.2,

??SAMNK=S.MNO=Wx2x5.2=5.2.

情況二：如圖4,將矩形紙片沿對(duì)角線4c對(duì)折，此時(shí)折痕即為力C,設(shè)MK=AK=CK=x,則DK=10-x,

圖4

同理可得：MK=NK=5.2,

'：MD=2,

?,SAMNK=~x2x5.2=5.2.

綜上：aM/VK的面積最大值為5.2.

【點(diǎn)睛】此題考查了翻折變換（折叁問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是注意

分類思想的運(yùn)用.

7.（2023春?河南洛陽?九年級(jí)統(tǒng)考期末）小明嘗試著將矩形紙片（如圖I,AD>CD）沿過點(diǎn)A的直

線折疊，使得點(diǎn)8落在力。邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖2）；再沿過點(diǎn)。的直線折疊，使得點(diǎn)。落在/O邊

上的點(diǎn)N處，點(diǎn)E落在jE上的點(diǎn)M處,折痕為（如圖3）.若第二次折疊后，點(diǎn)用正好在tNCG的平分

線上，連接。M,且CD=1,則4）=

AD

B

圖1

【答案】Vz

【分析】由第一次折疊可知N84E=40/E=45°,連接DE,由第二次折疊可知乙OGE=40G4=90°,OE為

的平分線，由角平分線的性質(zhì)可得GE=CE,于是可通過HL證明Rt△DGE=Rt△OCE得到OG=CD=

1,再證得為等腰直角三角形，則4）=&Z）G.

【詳解】解：???四邊形力為矩形,

LA.=NB=90",

???將矩形紙片/IBC。沿過點(diǎn)人的直線折疊，使得點(diǎn)8落在/W邊上的點(diǎn)尸處,

：.LBAE=/-DAE=45°,

如圖，連接0E,

???沿過點(diǎn)。的直線折疊，使得點(diǎn)C落在40邊上的點(diǎn)N處，點(diǎn)E落在AE上的點(diǎn)M處，折痕為DG,

：.LDGE=Z.DGA=90°,

又?.?點(diǎn)M正好在4NDG的平分線上，

???DE為4CDG的平分線，

?：EGIDG,EC1CD,

:,.GE=CE,

在Rt△QGE和Rt△OCE中，

(GE=CE

IDE=DE'

?e?Rt△DGE=Rt△DCE,

，Z)G=CD=1,

*：Z.DAE=45",Z.DGA=90°,

???A4)G為等腰直角三角形，

：,AD=V2DG=企.

故答案為：V2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角

三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.(2023春?浙江杭州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖是一張矩形紙片點(diǎn)E在邊8C上，且滿足AB=2BE,

把A/IBE沿直線力￡折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)尸處，EF的延長(zhǎng)線與邊CO交于點(diǎn)G.若CG=0G,則第=.

AD

【答案

4

【分析】延長(zhǎng)EEAD,二線交于點(diǎn)，，結(jié)合CG=OG,證明ACGE三△DG〃，得到EG=G，即E，=2EG,

CE=DH,設(shè)需二匕BE=x,^\CE=kx,根據(jù)勾股定理，EH=4H建立等式計(jì)算即可.

BE

【詳解】如圖，延長(zhǎng)EF,AD,二線交于點(diǎn)從

???矩形紙A8C。，

=CD,AD=BC,UDC=2HDG=々ECG=90°,

ZHDG=乙ECG

*/DG=CG,

乙HGD=Z.EGC

/.ACGE三△DG，(ASA),

：.EG=GH,CE