目錄jibenggainianhehuanludinglv基本概念和換路定律Yijiedianludezhantaifenxi一階電路的暫態(tài)分析Yijiedianludejieyuexiangying一階電路的階躍響應Erjiedianludelingshuruxiangying二階電路的零輸入響應第8章

電路的暫態(tài)分析12/3/2025本章導論生活中，我們常會遇到這樣的電路現(xiàn)象：打開日光燈開關，燈管不是瞬間亮起，而是要經(jīng)歷“預熱-起跳”的短暫過程；給手機充電時，充電器內(nèi)的電容電壓不會立刻達到額定值，而是逐漸上升。這些“非瞬間穩(wěn)定”的過程，就是電路的暫態(tài)過程。顯著變化，為工程應用提供基礎。在電力系統(tǒng)和電子設備中，暫態(tài)過程至關重要：比如電網(wǎng)突然合閘時的沖擊電流可能損壞變壓器，電子電路中暫態(tài)電壓的突變可能干擾信號傳輸。本章將聚焦電路暫態(tài)分析，揭示換路后電壓、電流的變化規(guī)律，掌握一階電路的核心分析方法，并了解二階電路的振蕩特性，為解決實際電路的穩(wěn)定與保護問題奠定基礎。12/3/2025學習要點理解和明確：理解暫態(tài)與穩(wěn)態(tài)的區(qū)別，明確“換路”的含義，掌握零輸入響應、零狀態(tài)響應、全響應的概念。掌握換路定律：iL(0+)=iL(0-)，uC(0+)=uC(0-)，掌握電路響應初始值的求解步驟。掌握一階電路：RC、RL一階電路的零輸入、零狀態(tài)、全響應規(guī)律，運用三要素法計算任意一階電路響應。理解單位階躍函數(shù)：的定義與應用，掌握一階電路階躍響應的求解方法。了解：二階RLC電路零輸入響應的四種狀態(tài)：過阻尼、欠阻尼、臨界阻尼、等幅振蕩及判定條件。8.1

基本概念和換路定律8.1.1基本概念1.狀態(tài)變量：代表物體所處狀態(tài)的可變化量稱為狀態(tài)變量。如通過電感元件的電流iL及電容元件的極間電壓uC。2.換路：由于電路的接通、斷開或電路的結構及參數(shù)發(fā)生變化等，引起電路工作狀態(tài)的變化，統(tǒng)稱為換路。3.暫態(tài)：換路時，必定引起電感、電容元件的能量WL和WC發(fā)生變化，但這種變化持續(xù)的時間非常短暫，因此稱為

“暫態(tài)”。4.穩(wěn)態(tài)：換路后，動態(tài)元件中的儲能不再發(fā)生變化，稱為穩(wěn)態(tài)。5.過渡過程：動態(tài)元件的能量發(fā)生變化、即從一種穩(wěn)定狀態(tài)過渡到另一穩(wěn)定狀態(tài)時需要時間，期間經(jīng)歷的物理過程稱為過渡過程。6.過渡過程響應：過渡過程響應分有零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應，求各種響應就是求過渡過程中各電壓、電流的變化規(guī)律。12/3/20258.1.2換路定律換路定律由于能量不能發(fā)生躍變，與能量有關的狀態(tài)變量iL和uC，在電路發(fā)生換路后的一瞬間，其數(shù)值必定等于換路前一瞬間的原有值不變。即：換路發(fā)生在t=0時刻，(0-)為換路前一瞬間，該時刻電路還未換路；(0+)為換路后一瞬間，此時刻電路已經(jīng)換路。(0-)時刻、(0+)時刻和0時刻的時間間隔趨近零但不等于零。12/3/2025儲能元件的能量發(fā)生變化時，必然在電路中引起過渡過程過渡過程產(chǎn)生的原因電阻元件的電壓、電流任一瞬間均遵循歐姆定律。因此，單一電阻元件的電路不存在過渡過程。t0iL(t=0)US_＋SLiLR電感電路電感元件是儲能元件，它儲存的磁能：能量不能發(fā)生躍變！t0uC電容電路電容元件是儲能元件，它儲存的電能：能量不能發(fā)生躍變！(t=0)US_＋SCucR_＋iC12/3/2025過渡過程響應的初始值過渡過程如果發(fā)生在t=0時刻，響應對應于t=0+時刻的數(shù)值稱為響應的初始值，用f(0+)表示。由換路定律得iL(0+)或uC(0+)，畫出t=0+時刻的等效電路，應用電路基本定律確定其它待求量的初始值。根據(jù)換路前一瞬間t=0-電路，應用所學電路基本定律確定狀態(tài)變量iL(0-)或uC(0-)。初始值求解要點注意t=0+時刻等效電路中狀態(tài)變量初始值的處理方法12/3/2025初求解1.已知iL(0

)=0，uC(0

)=0，試求S

閉合瞬間，電路中所標示的各電壓、電流的初始值。(t=0)_＋S0.1Hu2u120Ω10Ω1μF20ViC_＋_＋iiLuL_＋uC_＋根據(jù)換路定律可得：畫出t=0+時等效電路iL(0+)=iL(0–)=0uC(0+)=uC(0–)=0解_＋S0.1Hu2(0+)u1(0+)20Ω10Ω1μF20ViC(0+)_＋_＋iuL(0+)_＋求得：L相當于開路C相當于短路12/3/2025初求解解2.換路前電路已達穩(wěn)態(tài)，t=0時開關S打開，求iC(0+)。根據(jù)換路前電路求uC(0+）R1＋40k10kSiCuC－i＋－10VR2畫出t=0+等效電路圖如下：根據(jù)t=0+等效電路求得iC(0+）：R140k10kSic(0+）＋－10VR2＋－8V12/3/2025初求解解3.換路前電路已達穩(wěn)態(tài)，t=0時S閉合，求uL(0+)。R1＋1ΩSiLuL－＋－10VR24Ω根據(jù)換路前電路求iL(0+）畫出t=0+等效電路圖如下：由t=0+等效電路求uL(0+)：uL(0+)為負值，說明其真實方向與圖上標示的參考方向相反，即與iL(0+)非關聯(lián)，實際向外供出能量。R1＋1ΩSuL－＋－10VR24ΩiL(0+）＋－則：12/3/2025初求解1.由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0-)和iL(0-)；2.由換路定律得uC(0+)和iL(0+)；3.畫出t=0+的等效電路圖，在等效電路圖中：iL(0+)=0時開路；iL(0+)≠0時用恒流源代替；恒流源數(shù)值等于iL(0+)，方向與原電路假定的電感電流的參考方向保持一致。4.由t=0+的等效電路圖求出其它響應的初始值。uC(0+)=0時用短接線代替；uC(0+)≠0時用恒壓源代替，恒壓源數(shù)值等于uC(0+)、方向與原電路假定的電容電壓參考方向保持一致；12/3/2025習題練1.電路如圖示，t=0時S閉合。求開關S閉合后電容端電壓及各支路電流的初始值。設換路前電路已達穩(wěn)態(tài)。R1＋5kΩSi2uC－＋－10VR21kΩ0.1μFiC(t=0)i12.電路如圖示，設換路前電路已達穩(wěn)態(tài)，t=0時開關S閉合。求開關閉合后各電壓及各支路電流的初始值。＋2ΩSiLuL－＋－10Vik(t=0)i13Ω0.1H＋uR1－＋uR2－12/3/20258.2

一階電路的暫態(tài)分析8.2.1一階電路的零輸入響應1.RC電路的零輸入響應僅含一個動態(tài)元件C或L的電路稱為一階電路，其暫態(tài)響應均按指數(shù)規(guī)律變化，核心參數(shù)是時間常數(shù)τ。零輸入響應指換路前動態(tài)元件有儲能，換路后無外激勵，響應由儲能釋放產(chǎn)生。R＋1SiC(0+)uC(0+）－t=0＋－USC2圖示電路在開關動作之前，電容儲有能量且達穩(wěn)態(tài)。t=0時開關由位置1迅速投向位置2，使電路換路。換路后，由電容元件的原始能量uC(0+)引起的過渡過程響應有uC(t)、

uR(t)和iC(t)，即該電路的零輸入響應。求解響應的過程，實際上就是尋求一階電路響應的規(guī)律12/3/2025根據(jù)RC零輸入響應電路，根據(jù)KVL列寫電路方程：此方程是一階常系數(shù)線性齊次微分方程，對其求解可得：式中τ=RC稱為一階電路的時間常數(shù)。令電路中的US不變，取幾組不同數(shù)值的R和C，可發(fā)現(xiàn)：RC值越小，過渡過程進行得越快；RC值越大，過渡過程進行得越慢。R＋1SiC(0+)uC(0+）－t=0＋－USC2即：一階電路過渡過程進行的快慢程度取決于時間常數(shù)τRC電路的零輸入響應工程實際一般認為：經(jīng)歷了3~5τ的時間過渡過程基本結束12/3/2025上式中，R單位[Ω]，C單位[F]，時間常數(shù)τ的單位是秒[s]。如果上式中的時間t分別取1τ、2τ直至5τ，可得如下表所示的響應uc(t)在各個時刻的數(shù)值：1τ

2τ3τ4τ5τe-10.368USe-20.135USe-30.050USe-40.018USe-50.007US由表可知，經(jīng)歷一個τ的時間，uC衰減到初始值的36.8%；經(jīng)歷兩個τ的時間，uC衰減到初始值的13.5%；經(jīng)歷3~5τ時間后，uC的數(shù)值已經(jīng)微不足道。對時間常數(shù)τ的討論12/3/20251.時間常數(shù)τ是用來表征一階電路過渡過程進行的快慢程度的物理量。2.時間常數(shù)τ僅由電路參數(shù)決定，RC一階電路中，τ＝RC；RL一階電路中，τ＝L/R。τ的大小反映了電路的特性，與換路情況和外加電壓無關。3.時間常數(shù)τ是已經(jīng)完成了過渡過程63.2%所經(jīng)過的時間。在工程計算中，一般認為經(jīng)歷了3～5τ時間，過渡過程基本結束。4.時間常數(shù)τ中電阻的求解：從動態(tài)元件兩端看進去：換路后無源二端網(wǎng)絡（若含有獨立源時，所有的獨立源置零：恒壓源短路處理，恒流源開路處理）的等效電阻。讀閱解12/3/2025uCiC零輸入響應電路實際上是RC放電電路，因此電容上的電壓和電流方向非關聯(lián)。電阻端電壓與電流成正比，三者都是按指數(shù)規(guī)律衰減。RC一階電路零輸入響應規(guī)律tiCuCUSiC(0+)0τ0.368USuC(0+)uR12/3/2025圖示電路在換路前已達穩(wěn)態(tài)。t=0時開關閉合。R＋SISuL－t=0＋－uRLiL

對電路列KVL方程：

以iL為待求響應，可得上式的解：RL一階電路的零輸入響應開關閉合將電流源短路，暫態(tài)過程在R和L構成的回路中進行?？梢姡琑L一階電路的時間常數(shù)τ=L/R。uRiLtiLuLuL(0+)0τ0.368f(0+)f(0+)uL12/3/2025響應1.一階電路的零輸入響應都是隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減到零的，這實際上反映了在沒有外激勵(電源)的作用下，儲能元件的原始能量逐漸被電阻消耗掉的物理過程。2.零輸入響應取決于電路的原始能量和電路的特性，對于一階電路來說，電路的特性是通過時間常數(shù)τ來體現(xiàn)的。3.原始能量增大A倍，則零輸入響應將相應增大A倍，這種原始能量與零輸入響應的線性關系稱為零輸入線性，是線性電路激勵與響應線性關系的必然反映。12/3/2025響應1.圖示電路中，開關S在t=0由位置1迅速打向位置2，求t≥0時

的各支路電流。設換路前電路已達穩(wěn)態(tài)。解根據(jù)t=0－電路可得畫出t=0＋時等效電路：1210Ω10Ω20Ω1H10VS10Ω10Ω20Ω求時間常數(shù)τ：代入響應求得結果：12/3/2025響應解根據(jù)換路前的電路求電流響應的初始值2.圖示電路中，開關S在t=0斷開，求t≥0時流過1Ω電阻的電流。

設換路前電路已達穩(wěn)態(tài)。畫出t=0＋時等效電路：t＝0＋等效電路1Ω2V時間常數(shù)：求得待求響應：4Ω1Ω1F10VS12/3/2025參考答案：1.圖示電路中，開關S在t=0閉合，求t≥0時的電流i(t)。設

換路前電路已達穩(wěn)態(tài)。10VS6Ω2Ω2F2Ω習題練12/3/2025習題練2.圖示電路中，開關S在t=0由位置1打向位置2，求t≥0時的

電流iL(t)和uL(t)。設換路前電路已達穩(wěn)態(tài)。參考答案：10VS1Ω4Ω211H4Ω12/3/2025換路時，動態(tài)元件的初始能量為零，僅在外輸入激勵作用下引起的電路響應，稱為零狀態(tài)響應。R＋SiCuC－t=0＋－USC圖示電路換路前uC=0且達穩(wěn)態(tài)。t=0時開關S閉合。由圖可看出，RC一階零狀態(tài)電路實際上是電容C的充電電路。求解RC電路的零狀態(tài)響應，就是尋求電容充電電路中各電壓、電流的變化規(guī)律。8.2.2

一階電路的零狀態(tài)響應RC電路的零狀態(tài)響應無論一階電路形式如何，RC電路的時間常數(shù)τ=RC12/3/2025狀態(tài)變量uC不能躍變，只能從0逐漸但過渡到穩(wěn)態(tài)值，其穩(wěn)態(tài)值uCiCiC(0+)tiCuCUS00.632USτRC零狀態(tài)電路中，電容元件的極間電壓與電流方向關聯(lián)，電容元件吸取電能建立電場。RC零狀態(tài)電路的充電電流iC在換路開始時達到最大值，之后按指數(shù)規(guī)律衰減，即：8.2.2

一階電路的零狀態(tài)響應R＋SiCuC－t=0＋－USC顯然，RC零狀態(tài)電路中各響應也均按指數(shù)規(guī)律變化12/3/2025當RC零狀態(tài)電路的過渡過程結束時，電容的極間電壓重新達到穩(wěn)態(tài)值，即：電容極間電壓的零狀態(tài)響應公式：電容電流的零狀態(tài)響應：RC零狀態(tài)電路中的計算公式R＋SiCuC－t=0＋－USC電阻電壓的零狀態(tài)響應：12/3/2025RL零狀態(tài)電路換路前電感元件的原始能量為零且達穩(wěn)態(tài)，t=0時開關S閉合。R＋SiLuL－t=0＋－USL＋uR－RL電路的零狀態(tài)響應中狀態(tài)變量iL不能躍變，只能按指數(shù)規(guī)律逐漸上升為穩(wěn)態(tài)值；L的感應電壓uL換路始最大，過渡過程中按指數(shù)規(guī)律衰減；電阻電壓uR=iR按指數(shù)規(guī)律增長，響應曲線：顯然，在RL零狀態(tài)響應電路中，電感元件是建立磁場的過程，因此其電壓、電流方向關聯(lián)。RL一階電路的零狀態(tài)響應12/3/2025RL零狀態(tài)響應電路過渡過程結束時電感電流達到穩(wěn)態(tài)值：

因此電感電流的零狀態(tài)響應為：電感元件自感電壓的零狀態(tài)響應：RL零狀態(tài)電路中的計算公式R＋SiLuL－t=0＋－USL＋uR－為什么電容電流和電感電壓在過渡過程中只有瞬態(tài)？12/3/20251.圖示電路中，開關S在t＝0時閉合，求t≥0時電感L兩端

的電壓響應及通過L的電流響應。解求零狀態(tài)響應電路的iL(∞)畫出求時間常數(shù)的等效電路

6Ω＋SiLuL－（t=0）＋－9V2H

3Ω

6Ω2H

3Ω可得iL(t)求uL(t)響應12/3/2025解求電容電壓穩(wěn)態(tài)值畫出求時間常數(shù)的等效電路2.圖示電路中，開關S在t＝0時閉合，求t≥0時電容C兩端

的電壓響應。設換路前C的原始能量為零。

6kΩ＋SuC－（t=0）＋－9V50μF

3kΩ則容電壓：響應12/3/20251.一階電路的零狀態(tài)響應也是隨時間按指數(shù)規(guī)律變化。其中電容電流和電感電壓均隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，因為它們只存在于過渡過程中；而電容電壓和電感電流則按指數(shù)規(guī)律增長，這實質上反映了動態(tài)元件吸收電能建立磁場或電場的物理過程；3.零狀態(tài)響應取決于電路的獨立源和電路本身特性，也是通過時間常數(shù)τ來體現(xiàn)其特性的。2.在零狀態(tài)響應公式中的(∞)符號，代表換路后新的穩(wěn)態(tài)值，根據(jù)電路的不同情況一般穩(wěn)態(tài)值也各不相同。響應12/3/2025參考答案：1.圖示電路中，開關S在t＝0時閉合，求t≥0時電容C兩端的電壓響應。設換路前C的原始能量為零。

10Ω＋uC－＋－12V10μF

5Ω

10ΩS（t=0）2.圖示電路中，開關S在t＝0時閉合，求t≥0時電感L中的電流響應。

3kΩSiL（t=0）＋－36V12mH

6kΩ10kΩ習題練12/3/2025電路中既有外輸入激勵，動態(tài)元件上又存在原始能量，當電路發(fā)生換路時，在外激勵和原始能量的共同作用下所引起的電路響應稱為全響應。典型RC一階全響應電路R2＋SiLuL－(t=0)＋－USLR1根據(jù)線性電路的疊加性可知，電路中動態(tài)元件有原始能量可引起零輸入響應；電路中的獨立源可引起零狀態(tài)響應，因此：全響應=零輸入響應＋零狀態(tài)響應＋—US2＋—US1R1(t=0)R2SC＋—UC8.2.3一階電路的全響應典型RL一階全響應電路12/3/2025例解圖示電路在換路前已達穩(wěn)態(tài)，且UC(0-)=12V，試求t≥0時的uC(t)和iC(t)。根據(jù)換路定律：電路的時間常數(shù)τ零輸入響應uC(t)'：以電容電壓為例，令其零輸入響應為uC(t)′；零狀態(tài)響應為uC(t)″，則全響應：8.2.3一階電路的全響應＋iCuC－＋－（t=0）2kΩ1mF1kΩ9VS12/3/2025其中，f(∞)為響應的穩(wěn)態(tài)值。根據(jù)線性電路的疊加性：電容電流的全響應iC(t)：零狀態(tài)響應uC(t)"：式中常數(shù)6為穩(wěn)態(tài)分量，6后面按指數(shù)規(guī)律變化的是暫態(tài)分量，因此：全響應=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量＋iCuC－＋－（t=0）2kΩ1mF1kΩ9VS12/3/2025全響應uC(t)：電容電流的全響應iC(t)：電容電壓的穩(wěn)態(tài)值：零狀態(tài)響應uC(t)"：＋iCuC－＋－（t=0）2kΩ1mF1kΩ9VS非狀態(tài)變量響應的求解一般應根據(jù)動態(tài)關系進行12/3/2025對形式千差萬別，需求響應各不相同的一階電路來講，僅以uc(t)

和iL(t)為主要分析對象求解電路響應的方法適用面太窄，尋求一種更加簡便地、能直接計算一階電路任意響應的方法十分必要。一階電路響應的初始值f(0+)、響應的穩(wěn)態(tài)值f(∞)和時間常數(shù)τ是一階電路響應的三要素。只要求出一階電路的三要素，直接代入響應的求解公式中進行求解的方法，稱為一階電路暫態(tài)分析的三要素法。表達式：★8.2.4一階電路暫態(tài)分析的三要素法三要素公式適用于恒定激勵下一階電路任意響應的求解必要性12/3/20251.已知U1=3V，U2=6V，R1=1k

，R2=2k

，C=3F

，t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時的uC(t)，并畫出響應的規(guī)律曲線。R1＋SiCuC－（t=0）＋－U1CR2＋－U2先確定初始值uC(0+)：再確定穩(wěn)態(tài)值uC(

)：確定時間常數(shù)τ：法舉解三12/3/2025將求得的三要素代入公式可得：電容電壓的變化曲線為：uC/V00.632uC(t)τ2V4V2τ3τ4τ5τ法舉uC(t)畫響應變化曲線的關鍵是確定響應的初始值和穩(wěn)態(tài)值三12/3/20251.確定初始值f(0+)應用三要素法求解一階電路響應的具體步驟初始值f(0+)是指任一響應在換路后瞬間t=0+時的數(shù)值。先作t=0-電路。確定換路前電路的狀態(tài)變量uC(0-)或iL(0-),它們均為t＜0階段的穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)下電容C視為開路，電感L用短接線代替。再作t=0+等效電路。利用此電路可確定非狀態(tài)變量的初始值。在t=0+等效電路中：若uC(0+)=U0，用電壓源U0代替；iL(0+)=I0，用電流源I0代替；若uC(0+)=0用短路線代替，

iL(0+)=0，則開路處理。

作出t=0+等效電路后，即可按一般電阻性電路求解非狀態(tài)變量響應的初始值。12/3/2025

作t=∞的等效電路，暫態(tài)過程結束后，電路進入新的穩(wěn)態(tài)，用此時的電路確定響應的穩(wěn)態(tài)值f(∞)。在此電路中，電容C視為開路，電感L視為短路，可按一般電阻性電路來求各響應的穩(wěn)態(tài)值。3.確定時間常數(shù)τ

RC電路中，τ=RC；RL電路中，τ=L/R；其中R的正確求解是關鍵：將電路中所有獨立源置零，從C或L兩端看進去的無源二端網(wǎng)絡的等效電阻即為R(相當于戴維南等效電路的R0)。2.確定穩(wěn)態(tài)值f(∞)應用三要素法求解一階電路響應的具體步驟12/3/2025參考答案1.圖示電路中，開關S在t＝0時由位置1打向位置2，求t≥0時的i和iL。設換路前電路已達穩(wěn)態(tài)。2.圖示電路中，開關S在t＝0時閉合，求t≥0時電容C兩端電壓響應。

6Ω＋－9V2S（t=0）2.5H＋－9V

3Ω1

3ΩiLi＋uC－10A

4Ω10V

＋－2μF

6ΩS（t=0）

4Ω習題練實驗：一階電路響應測試實驗電路：方波信號源頻率f=1kHz，峰峰值Upp=5V→RC串聯(lián)參數(shù)：R=1kΩ，C=0.1μF、0.47μF、1μF→示波器測電容電壓uC。數(shù)據(jù)記錄：對比實測τ（從波形讀t=0.632Upp時刻）與理論值相比對。實驗步驟：1.分別接入不同C，計算時間常數(shù)τ=RC。如C=0.1μF時τ=0.1ms，方波周期T=1ms。2.觀察τ<<T/2（快速充電放電，波形接近方波）、τ≈T/2（緩慢充放電，波形為三角波）、τ>>T/2（充放電不充分，波形平緩）三種情況，記uC波形。實驗：一階電路三種響應測試實驗電路：10V直流電源→RC串聯(lián)：R=10kΩ，C=1μF→單刀雙擲開關→示波器。分析：驗證三種響應的疊加關系，計算τ并與理論值相比對。實驗步驟：1.零輸入響應：先將開關接電源（C充電至10V），再切換至空端（C放電），觀察uC衰減波形。2.零狀態(tài)響應：開關接空端（C放電至0），再切換至電源（C充電），觀察uC上升波形。3.全響應：開關接電源（C充電至5V），再切換至10V電源，觀察uC從5V上升至10V的波形。12/3/2025ε(t)的波形如右圖示，它在(0-，0+)時域內(nèi)發(fā)生了單位階躍。單位階躍函數(shù)用ε(t)表示，其定義如下：

階躍函數(shù)可簡化“開關動作”的描述，階躍響應是零狀態(tài)響應的特殊形式。ε(t)=0t≤0-1t≥0+

ε(t)

01t8.3

一階電路的階躍響應8.3.1單位階躍響應注意：ε(t)在t=0處不連續(xù)，函數(shù)值由0躍變到1。12/3/2025單位階躍函數(shù)可用來表示1V的電壓源或者是1A的電流源，在t＝0時與一個零狀態(tài)電路接通的開關動作。如圖所示：＋－1VS（t=0）零狀態(tài)電路＋－ε(t)零狀態(tài)電路1AS（t=0）零狀態(tài)電路ε(t)零狀態(tài)電路ε(t)=0t≤0-1t≥0+8.3.1單位階躍函數(shù)12/3/2025ε(t-t0)的波形如右圖示：如果階躍發(fā)生在t=t0時刻，則可認為是ε(t)在時間上延遲了t0后得到的結果，此時的階躍稱為延時單位階躍，記作：ε(t-t0)=0t≤t01t≥t0

ε(t-t0)

01tt0延遲單位階躍函數(shù)注意：ε(t-t0)在t0處不連續(xù)，函數(shù)值由0躍變到1。12/3/2025f(t)'

01tt1t2

ε(t)

01t－ε(t-t0)

0－1tt0即：f(t)=ε(t)-ε(t-t0)

ε(t-t1)

01tt1

－ε(t-t2)

0－1tt2即：f(t)'=ε(t-t1)－ε(t-t2)f(t)

01tt0根據(jù)疊加定理，分解階躍函數(shù)即：任意一個階躍函數(shù)均可由不同的單位階躍疊加而成12/3/2025已知u=5·1(t-2)V，uC(0+)=10V，求電路的階躍響應i。當激勵為單位階躍函數(shù)ε(t)時，電路的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，一般用S(t)表示。解例＋－uR=2Ω1FuC(0+)_＋i零狀態(tài)響應分兩部分，先求uC(0+)單獨作用下的初始值：再求u單獨作用下的初始值：時間常數(shù)τ：應用疊加定理求得響應：8.3.2單位階躍響應12/3/20251.你能正確區(qū)分單位階躍函數(shù)1(t－t0)、1(t＋t0)、1(t0-t)、-1(t-t0)、-1（t0-t)的波形并畫出它們嗎？解t應舉諸如此類的單位階躍或階躍函數(shù)應在理解的基礎上掌握12/3/20251.單位階躍函數(shù)是如何定義的？其實質是什么？它在電路分析中有什么作用？2.說說1(-t)、1(t+2)和1(t-2)各對應時間軸上的哪一點？3.試用階躍函數(shù)分別表示下圖所示的電流和電壓。i/A

02t/s23114u/V

02t/s23114應練12/3/20251.畫出單位階躍函數(shù)1(t＋t0)和1(t0-t)的波形。1(t0-t)是否等于－1(t－t0)？3.左圖示延時脈沖作用于右圖示電路，已知iL(0+)=0，求電路響應i(t)。2.試用階躍函數(shù)表示圖示波形。f(t)

02t/s23114

－23－15u(t)

0t2311習題練12/3/2025前面討論的一階電路中只含一個動態(tài)元件，而含有兩個儲能元件的電路，往往需用二階線性常微分方程來描述，因此稱為二階電路。R＋SuC－（t=0）＋－uRC＋i0uL－LU0圖示RLC串聯(lián)的零輸入響應電路中已知uC(0+)=uC(0-)=U0，電流i(0+)=i(0-)=I0，電路在t=0時開關閉合，其過渡過程可描述為：因為此式是一個以uC為變量的二階線性齊次微分方程式，其特征方程為：

LCS2+RCS+1=08.4

二階電路的零輸入響應1