2025-2026學年上海市松江區(qū)九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（每題4分，滿分24分）1．（4分）延長線段至點，使得，那么的值為A． B． C． D．22．（4分）如果把一個△的三邊都擴大2倍，那么銳角的正切值A．擴大2倍 B．保持不變 C．縮小到原來的 D．以上都有可能3．（4分）已知、為非零向量，下列說法中，不正確的是A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．4．（4分）已知△中，、分別是邊、反向延長線上的點，下列各式中，能判斷出的是A． B． C． D．5．（4分）已知線段，，，求作線段，使，下列作法中正確的是A． B． C． D．6．（4分）以下是利用出入相補原理解決比例線段問題的一個例子：如圖，設是矩形對角線上任意一點，過點分別作一組鄰邊的平行線、直線分別與邊、交于點、，直線分別與邊、交于點、，那么由矩形與矩形的面積相等可以得到：，這個結論通常表示為．部分同學進一步研究了這個圖形，提出以下兩個命題：命題甲：矩形與矩形相似．命題乙：如果將矩形、矩形、矩形的面積依次記為、、，那么是和的比例中項．關于這兩個命題，下列判斷正確的是A．命題甲是真命題，命題乙是假命題 B．命題甲是假命題，命題乙是真命題 C．命題甲、命題乙都是真命題 D．命題甲、命題乙都是假命題二、填空題（每題4分，滿分48分））7．（4分）如果，且，那么．8．（4分）在比例尺為的地圖上，測得甲、乙兩地的距離約為8厘米，那么甲、乙兩地的實際距離約為千米．9．（4分）已知點是線段的黃金分割點，且，，那么．（結果保留根號）10．（4分）已知△和△相似，，，那么△的最大內角的度數為．11．（4分）兩個相似三角形中，我們把聯(lián)結兩條對應邊中點的中位線稱為這兩個相似三角形的對應中位線．如果兩個相似三角形的面積之比為，那么這兩個三角形的對應中位線之比為．12．（4分）已知向量的長度為3，與單位向量方向相反，那么向量可用向量表示為．13．（4分）如圖，已知，，，那么．14．（4分）已知△中，，，，那么的長為．15．（4分）如圖，已知△中，，，，，那么的長為．16．（4分）如圖，是△邊上一點，點、分別是△和△的重心，如果，，用、的線性組合表示，那么．17．（4分）如圖，點、、均在的正方形網格的格點上，那么的正弦值為．18．（4分）已知矩形中，，是邊上一點，，將△沿著所在的直線翻折，點的對應點為點，聯(lián)結并延長交邊于點，聯(lián)結，如果△與△相似，那么邊的長為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．20．（10分）如圖，已知向量、．（1）化簡：；（2）作出化簡后的向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫出表示結論的向量）21．（10分）如圖，已知△中，是邊上的中線，點、分別在邊、上，且，與相交于點．（1）求證：；（2）聯(lián)結、，若，，，求的長．22．（10分）如圖，已知△中，是的角平分線，，．（1）求的長；（2）求的值．23．（12分）如圖，已知梯形中，，對角線、交于點，，點在線段的延長線上，聯(lián)結．（1）求證：；（2）若，求證：．24．（12分）為探究“光的直線傳播和反射定律”，小麗和小杰利用一個上底面和下底面都是平面鏡的盒子進行實驗．如圖所示，盒子的直截面是邊長為的正方形，實驗過程中，光線只在該截面內傳播．盒子左邊距離點的點處．盒子右邊距離點的點處各有一個小孔（孔的大小忽略不計），盒子的底部距離點的點處有一個可調整高度的擋板．（1）如圖1，小麗控制激光筆發(fā)出光線從點處射入，從點處射出，小杰調整擋板的高度遮擋光線，當恰好擋住光線時，求擋板的高度；（2）如圖2，小麗調整光線入射角度，使光線入射到面的點處，經反射后從點處射出，求此時的正切值；（3）小杰取出擋板，小麗繼續(xù)調整入射角度，使光線分別經過面和面的兩次反射后，從點處射出，請直接寫出光線在面上的入射點到點的距離．25．（14分）如圖，已知△中，是邊的中點，是邊上一點，，，聯(lián)結、交于點．（1）求的值；（2）如圖2，若，，求的長；（3）若，且△是等腰三角形，求的長．

參考答案一．選擇題（共6小題）題號123456答案CBDADC一、選擇題（每題4分，滿分24分）1．（4分）延長線段至點，使得，那么的值為A． B． C． D．2解：如圖，設，則，，，故選：．2．（4分）如果把一個△的三邊都擴大2倍，那么銳角的正切值A．擴大2倍 B．保持不變 C．縮小到原來的 D．以上都有可能解：銳角的正切值是直角三角形中，銳角的對邊與鄰邊的比，與邊的長短沒有關系，因此把一個△的三邊都擴大2倍，那么銳角的正切值保持不變，故選：．3．（4分）已知、為非零向量，下列說法中，不正確的是A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．解：、如果，那么，說法正確；、如果，那么，說法正確；、如果，那么，說法正確；、，原說法不正確；故選：．4．（4分）已知△中，、分別是邊、反向延長線上的點，下列各式中，能判斷出的是A． B． C． D．解：、時，，故本選項符合題意；、時，不能判斷出，故本選項不符合題意；、時，不能判斷出，故本選項不符合題意；、時，不能判斷出，故本選項不符合題意；故選：．5．（4分）已知線段，，，求作線段，使，下列作法中正確的是A． B． C． D．解：由題意，，，故選：．6．（4分）以下是利用出入相補原理解決比例線段問題的一個例子：如圖，設是矩形對角線上任意一點，過點分別作一組鄰邊的平行線、直線分別與邊、交于點、，直線分別與邊、交于點、，那么由矩形與矩形的面積相等可以得到：，這個結論通常表示為．部分同學進一步研究了這個圖形，提出以下兩個命題：命題甲：矩形與矩形相似．命題乙：如果將矩形、矩形、矩形的面積依次記為、、，那么是和的比例中項．關于這兩個命題，下列判斷正確的是A．命題甲是真命題，命題乙是假命題 B．命題甲是假命題，命題乙是真命題 C．命題甲、命題乙都是真命題 D．命題甲、命題乙都是假命題解：，，，四邊形，為矩形，，，矩形矩形，命題甲為真命題；設，，，，，，，，，，，是和的比例中項，命題乙也是真命題．故選：．二、填空題（每題4分，滿分48分））7．（4分）如果，且，那么8．解：，，，，8．故答案為：8．8．（4分）在比例尺為的地圖上，測得甲、乙兩地的距離約為8厘米，那么甲、乙兩地的實際距離約為160千米．解：，千米．故答案為：160．9．（4分）已知點是線段的黃金分割點，且，，那么．（結果保留根號）解：點是線段的黃金分割點，且，，，故答案為：．10．（4分）已知△和△相似，，，那么△的最大內角的度數為．解：△和△相似，，，，，，，，△的最大內角的度數是．故答案為：．11．（4分）兩個相似三角形中，我們把聯(lián)結兩條對應邊中點的中位線稱為這兩個相似三角形的對應中位線．如果兩個相似三角形的面積之比為，那么這兩個三角形的對應中位線之比為．解：如圖，△△，、分別是這兩個三角形的對應中位線，且，、分別是△和△的中位線，，，，，，，，，△△，，，，，或（不符合題意，舍去），△△，，，這兩個三角形的對應中位線之比為，故答案為：．12．（4分）已知向量的長度為3，與單位向量方向相反，那么向量可用向量表示為．解：向量的長度為3，與單位向量方向相反，．故答案為：．13．（4分）如圖，已知，，，那么8．解：，，即，解得：，故答案為：8．14．（4分）已知△中，，，，那么的長為6．解：在△中，，則，解得．故答案為：6．15．（4分）如圖，已知△中，，，，，那么的長為．解：在△中，，所以，解得．在△中，，則．因為，所以，解得．故答案為：．16．（4分）如圖，是△邊上一點，點、分別是△和△的重心，如果，，用、的線性組合表示，那么．解：，是△和△的重心，，，．故答案為：．17．（4分）如圖，點、、均在的正方形網格的格點上，那么的正弦值為．解：過點作，垂足為．點、、均在的正方形網格的格點上，，，．，，即．．在△中，．故答案為：．18．（4分）已知矩形中，，是邊上一點，，將△沿著所在的直線翻折，點的對應點為點，聯(lián)結并延長交邊于點，聯(lián)結，如果△與△相似，那么邊的長為9或．解：設，，，當△△時，，，將△沿著所在的直線翻折得到△，，，，在矩形中，，，，，，，在△中根據勾股定理得，解得，，，即，當△△時，，，，，，，，，在△中根據勾股定理得，解得（舍去），，故答案為：9或三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．解：原式．20．（10分）如圖，已知向量、．（1）化簡：；（2）作出化簡后的向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫出表示結論的向量）解：（1）．（2）如圖，即為所求．21．（10分）如圖，已知△中，是邊上的中線，點、分別在邊、上，且，與相交于點．（1）求證：；（2）聯(lián)結、，若，，，求的長．【解答】（1）證明：△中，是邊上的中線，，，與相交于點，，，△△，△△，，，，，．（2）解：，，是的中點，，，，，，，，解得，，的長為．22．（10分）如圖，已知△中，是的角平分線，，．（1）求的長；（2）求的值．解：（1）平分，，，，，，△△，，，解得（負根已經舍去），；（2）過點作于點．△△，，，，，，，．23．（12分）如圖，已知梯形中，，對角線、交于點，，點在線段的延長線上，聯(lián)結．（1）求證：；（2）若，求證：．【解答】證明：（1），，，，△△，，，，．（2）△△，，，，，△△，，，．24．（12分）為探究“光的直線傳播和反射定律”，小麗和小杰利用一個上底面和下底面都是平面鏡的盒子進行實驗．如圖所示，盒子的直截面是邊長為的正方形，實驗過程中，光線只在該截面內傳播．盒子左邊距離點的點處．盒子右邊距離點的點處各有一個小孔（孔的大小忽略不計），盒子的底部距離點的點處有一個可調整高度的擋板．（1）如圖1，小麗控制激光筆發(fā)出光線從點處射入，從點處射出，小杰調整擋板的高度遮擋光線，當恰好擋住光線時，求擋板的高度；（2）如圖2，小麗調整光線入射角度，使光線入射到面的點處，經反射后從點處射出，求此時的正切值；（3）小杰取出擋板，小麗繼續(xù)調整入射角度，使光線分別經過面和面的兩次反射后，從點處射出，請直接寫出光線在面上的入射點到點的距離．解：（1）過作交于點，交于點，，，，，，解得，；答：擋板的高度為；（2），，△△，，即，解得，；（3）①光線先到，再到，然后從點射出，如圖，延長交延長線于點，過作于點，，，設，則，，，由入射角等于反射角可知，，，，即，解得，；②光線先到，再到，然后從點射出，如圖，延長交延長線于點，過作于點，，，設，則，，，，，，，即，解得，；綜上，光線在面上的入射點到點的距離為或