第4講：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(重點題型方法與技巧)目錄類型一：一元二次不等式（不含參）的求解類型二：一元二次不等式（含參）的求解角度1：兩根大小不確定，從兩根相等開始討論角度2：最高項系數(shù)含參從0開始討論角度3：不可因式分解型，從開始討論類型三：一元二次不等式與對應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系類型四：二次不等式恒成立問題類型五：一元二次函數(shù)求最值（含參數(shù)）類型六：：根據(jù)不等式的解求參數(shù)1、四個二次的關(guān)系1.1一元二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的零點．1.2次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.判別式二次函數(shù)(的圖象一元二次方程()的根有兩個不相等的實數(shù)根，()有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根()的解集()的解集2、一元二次不等式的解法1：先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)；2：寫出相應(yīng)的方程，計算判別式：①時，求出兩根，且（注意靈活運用十字相乘法）；②時，求根；③時，方程無解3：根據(jù)不等式，寫出解集.類型一：一元二次不等式（不含參）的求解典型例題例題1．不等式的解集為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【詳解】法一：原不等式即為，即，解得，故原不等式的解集為．法二：當(dāng)時，不等式不成立，排除A，C；當(dāng)時，不等式不成立，排除D．故選：B．例題2．不等式的解集是________．【答案】【詳解】解：因為，即，解得，所以原不等式的解集為；故答案為：同類題型演練1．不等式的解集是（

）A． B． C． D．，或【答案】C【詳解】解：由，解得，即不等式的解集為；故選：C2．不等式的解集為___________.【答案】【詳解】不等式可化為，解得：.所以原不等式的解集為.故答案為：類型二：一元二次不等式（含參）的求解角度1：兩根大小不確定，從兩根相等開始討論典型例題例題1．解不等式.解：不等式化為，即當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為例題2．求不等式（）的解集．【答案】當(dāng)a>0時，不等式的解集為當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}；當(dāng)a<0時，不等式的解集為【詳解】試題分析：解含參數(shù)的二次不等式，通常要比較其對應(yīng)方程的兩根大小才能寫出不等式的解集．本題對應(yīng)方程兩根為，比較這兩個根的大小，只需討論與零的大小關(guān)系就可以了．試題解析：原不等式可化為（3x－a）（4x＋a）>0．當(dāng)a>0時，不等式的解集為當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}；當(dāng)a<0時，不等式的解集為例題3．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集．【答案】(1)當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為.，即，當(dāng)時，原不等式可化為，其解得情況應(yīng)由與的大小關(guān)系確定，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得.綜上所述：當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為.同類題型演練1．當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集．【答案】，因為，所以不等式可化為當(dāng)時，即，原不等式的解集當(dāng)時，即，原不等式的解集為當(dāng)時即原不等式的解集.綜上所述，當(dāng)時，原不等式的解；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集.2．設(shè)函數(shù)，.(1)解關(guān)于x的不等式；【答案】(1)答案見解析.當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為.3．解關(guān)于x的不等式：.【答案】答案見解析【詳解】解：即，則對應(yīng)方程的根為，①當(dāng)或時，原不等式的解集為，②當(dāng)或時，原不等式的解集為，③當(dāng)時，原不等式的解集為.角度2：最高項系數(shù)含參從0開始討論典型例題例題1．解關(guān)于的不等式.【答案】由題意可得，當(dāng)時，不等式可化為，所以不等式的解集為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，①當(dāng)，解集，②當(dāng)，解集為或，③當(dāng)，解集為或.綜上所述，當(dāng)，不等式的解集為或，當(dāng)，不等式的解集為，當(dāng)，不等式的解集為或，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為.例題2．已知函數(shù).若，解關(guān)于的不等式.【答案】時，解集為；時，解集為；時，解集為或不等式，可化為：.當(dāng)時，原不等式即為，．當(dāng)時，原不等式化為，或.當(dāng)時，原不等式為，可化為因，．綜上，時，原不等式的解集為；時，原不等式的解集為；時，原不等式的解集為或同類題型演練1．若，解關(guān)于的不等式．【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，若，則，若，則或，若，則或，所以當(dāng)時，原不等式的解集是；當(dāng)時，原不等式的解集是；當(dāng)時，原不等式的解集是或；當(dāng)時，原不等式的解集是或．2．已知函數(shù).若，解關(guān)于的不等式.【答案】依題意，因，則，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，，解得或，所以，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為或；當(dāng)時，原不等式的解集為或.角度3：不可因式分解型，從開始討論典型例題例題1．解關(guān)于的不等式：．【詳解】關(guān)于的不等式：中，，當(dāng)或時，，對應(yīng)的一元二次方程有兩個實數(shù)根和，且，故不等式的解集為或；當(dāng)時，，對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，不等式的解集為；當(dāng)時，，不等式的解集為；綜上，或時，不等式的解集為或；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為．同類題型演練1．已知一元二次函數(shù)，滿足．(1)求的解析式；(2)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)(2)解集見解析(1)解：函數(shù)，由，得因為，所以解得；所以.(2)關(guān)于x的不等式可化為因為所以當(dāng)即時，原不等式對應(yīng)的方程無實數(shù)根，又二次函數(shù)的圖像開口向上，所以原不等式的解集為；當(dāng)，即時，原不等式對應(yīng)的方程有兩個相等的實數(shù)根，時，原不等式的解集為；時，原不等式的解集為；當(dāng)即或時，原不等式對應(yīng)的有兩個相等的實數(shù)根，分別為且所以原不等式解集為.綜上所知，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)或時，原不等式解集為.類型三：一元二次不等式與對應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系典型例題例題1．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【詳解】由二次函數(shù)圖象知：有.故選：A例題2．已知的解集為（），則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】解：因為的解集為（），所以為的根，所以.故選：B例題3．若不等式的解集是，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】不等式的解集是則根據(jù)對應(yīng)方程的韋達定理得到：，解得，則的解集為故選：A同類題型演練1．已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B． C．D．【答案】A【詳解】結(jié)合圖像易知，不等式的解集，故選：A.2．若方程有唯一的實數(shù)根3，則不等式的解集為______．【答案】【詳解】由已知得拋物線的開口向下，與x軸交于點，故不等式的解集為．故答案為：3．若關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)m的值為______.【答案】3【詳解】由題可知，－7和－1是二次方程的兩個根，故.經(jīng)檢驗滿足題意故答案為：3.類型四：二次不等式恒成立問題典型例題例題1．若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．D．【答案】B【詳解】當(dāng)時，不等式成立；當(dāng)時，不等式恒成立，等價于．綜上，實數(shù)的取值范圍為．故選：B．例題2．已知命題“，”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【詳解】由題意得，“，”是真命題，則對恒成立，在區(qū)間上，的最小值為，所以，即a的取值范圍是.故答案為：例題3．已知關(guān)于的不等式．(1)若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對于，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)（1）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，即恒成立則關(guān)于的方程的判別式，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．（2）不等式，可看成關(guān)于的一次不等式，又，所以，解得且，所以實數(shù)的取值范圍是．同類題型演練1．（多選）不等式對任意的R恒成立，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】可整理為，則，故A正確．當(dāng)，時，滿足，即原不等式成立．B錯誤；由，得，所以．C正確；．D正確．故選：ACD．2．，則的取值范圍為__________．【答案】【詳解】由題設(shè)，可得.故答案為：3．已知不等式的解集是．(1)求常數(shù)a的值；(2)若關(guān)于x的不等式的解集為R，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(1)因為不等式的解集是．所以－1和3是方程的解，把代入方程解得．經(jīng)驗證滿足題意(2)若關(guān)于x的不等式的解集為R，即的解集為R，所以，解得，所以m的取值范圍是．4．已知函數(shù)．(1)若關(guān)于的不等式的的解集是，求，的值；(2)設(shè)關(guān)于不等式的在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)(1)根據(jù)二次不等式的解集與系數(shù)的關(guān)系可得和是方程的兩根，故，解得，由韋達定理有，解得.故，(2)在上恒成立，即恒成立.當(dāng)時滿足題意，當(dāng)時，恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故，即的取值范圍為.5．已知函數(shù)，若的解集為.(1)求，的值；(2)當(dāng)為何值時，的解集為？【答案】(1)，(2)(1)解：由題意可知，的解集為，所以與為方程的兩根，，；(2)解：的解集為，①當(dāng)時，的解集為，，；②當(dāng)時，，，，綜上所述，的取值范圍為.類型五：一元二次函數(shù)求最值（含參數(shù)）典型例題例題1．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(3)求在上的最大值與最小值．【答案】(1)(2)(3)答案見解析（1）當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在區(qū)間上的值域是；（2）當(dāng)時，，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值；，函數(shù)在區(qū)間上的最大值；函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）函數(shù)的對稱軸為，①當(dāng)，即時，函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)y取得最小值為；當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為．②當(dāng)，即時，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為；當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為．③當(dāng)，即時，a時，函數(shù)取得最小值為；當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為．④當(dāng)，即時，函數(shù)在上是減函數(shù)，故當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為．綜上，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，最小值為，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，最小值為，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，最小值為，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，最小值為例題2．已知二次函數(shù)，且滿足，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)（）時，求函數(shù)的最小值（用表示）．【答案】(1)(2)（1）因為二次函數(shù)，且滿足，，所以，且，由，得，所以，得，所以.（2）因為是圖象的對稱軸為直線，且開口向上的二次函數(shù)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)，即時，，綜上同類題型演練1．已知函數(shù)的圖象過點，且滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的最小值；【答案】(1)(2)(1)解：因為函數(shù)的圖象過點，所以又，所以，解得，所以；(2)，，當(dāng)時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．綜上：2．已知二次函數(shù)，且，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)，，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)；(2).(1)由，則，又，解得，∴函數(shù)的解析式為.(2)由(1)知，，其對稱軸，而，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，∴.類型六：：根據(jù)不等式的解求參數(shù)典型例題例題1．已知函數(shù)，若不等式的解集是(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為20，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)－9或5(1)是對應(yīng)方程ax2＋2x＋c＝0的兩根.由韋達定理得，；(2)，對稱軸為，當(dāng)，即時，，由已知得：，解得：m＝3或－9，又，，當(dāng)時，，由已知得：，解得：m＝5或－7，又，，當(dāng)時，，（舍去），綜上所述，m＝－9或5.例題2．已知函數(shù)，，.(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若最小值為，求的值.【答案】(1)；(2).(1)因為開口向上，由時，恒成立，可得，所以，即，解得：，所以的取值范圍為.(2)對稱軸為，開口向上，當(dāng)時，，解得：（舍）；當(dāng)時，，（舍）；當(dāng)時，，；所以的值為.同類題型演練1．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實數(shù)a和t的值．【答案】(1)(2)或(1)當(dāng)時，不等式，即為，即，所以，所以或，所以原不等式的解集為．(2)，由題意或，這時解得，