20252026學(xué)年上海市市南中學(xué)高二上學(xué)期10月月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.當(dāng)我們停放自行車時，只要將自行車旁的撐腳放下，自行車就穩(wěn)了，這用到了（）

A.三點確定一平面B.不共線三點確定一平面

C.兩條相交直線確定一平面D,兩條平行直線確定一平面

2.'設(shè)M=\正四棱切,N=｛長方體\,P=\直四棱出,Q=｛萬方的，則這些集合的關(guān)系是（）

A.PuNuMuQB.QuMuNuP

C.PuMuNuQD.QuNuMuP

3.給出下列四個命題：

①垂直于同?平面的兩條直線相互平行；

②垂直于同一平面的兩個平面相互平行；

③若一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；

④若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任一直線，那么這條直線垂直于這個平面.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.已知正方體ABCD-A/GD],點P在直線力為上，Q為線段BD的中點，則下列說法不正確的是（）

A.存在點P,使得PQLAG；B.存在點P,使得PQ〃4B；

C.直線PQ始終與直線CG異面；D.直線戶Q始終與直線異面.

二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。

5.空間內(nèi)，兩異面直線所成角的取值范圍是.（用區(qū)間表示）

6.若45,85,且46a,86%貝Wa（填“€”、"W”、"u”、“n”）.

7.設(shè)N力和NB的兩邊分別平行，若4力=45。，則ZJ?的大小為.

8.分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是.

9.有下列四個說法：①過三點確定一個平面；②四邊形是平面圖形，③三條直線兩兩相交則確定一個平

面，④兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域.其中錯誤說法的序號是.

10.在空間四邊形的各邊48、BC、CD、ZM上依次取E、F、G、〃四個中點，當(dāng)對角線力C=80時，

四邊形EFG〃是____形.

11.將邊長分別為lsn和2cm的矩形，繞邊長為2cm的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一圓柱，則該圓柱的側(cè)

面積為cm2.

12.如圖,團。’48’是水平放置的m048的斜二測直觀圖，若O'A=3,OB'=4,則回。力8的面積

13.在棱長為2的正方體48C。-4當(dāng)?shù)牧又校本€BiG到平面4。道的距離為.

14.如圖，線段4B,B。在平面。內(nèi)，^ABD=120°,CAla,^.AB=1,BD=2,AC=3,則CD二

15.如圖，已知24J■平面ABC,ACA.BC,AB=2,8C=PB=國則二面角P—8c—4的大小

為_____

16.如圖，在三棱錐4一"。中，4cl■80,點E在棱48上，點F在棱C。上，且霧=凍，設(shè)a表示￡戶與AC

所成的角，￡表示EF與8。所成的角，則a+￡的值為.

三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題14分）

已知A、B、C、/）是空間四個點，且直線48與CD是兩條異面直線.用反證法證明：宜.線4c與8D也是異面直

線.

18.（本小題14分）

如圖，正四棱柱48。9一418傳1。1的底面邊長4?=2,若85與底面48CD所成的角的正切值為

（1）求正四棱柱ABC。的體積；

（2）求異面直線4通與所成的角的大小.

19.（本小題14分）

如圖，/1BCD是邊長為1的正方形，PO_L平面/1BC0,PD=1,

⑴證明：平面P48L平面P4D；

（2）求二面角4-PB-C的大小.

20.（本小題14分）

如圖，在四棱錐P-A8CZ）中，底面力BCD為平行四邊形，。是AC與8。的交點，Z.ADC=45°,AD=AC=

2,PO_L平面ABC0,PO=2,M是P。的中點.

A

（1）證明：PB〃平面4CM；

（2）求宜.線力M與平面；48CD所成角的正切值.

21.（本小題14分）

如圖（圖中單位：cm）是一種機器零件，零件下部是實心的直六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)面是全等的矩形

）,上部是實心的圓柱.求此零件的體積與表面積.（結(jié)果分別精確到（Men?與o.icm2）

參考答案

\.B

2.B

3.B

4.6

5.（嗎］

6.c

7.45°或135。##135?；?5°

8.平行或異面

9.①②③

10.菱

11An

12.12

13.72.

14.4

15.45°%

代

17.【詳解】假設(shè)直線AC、80是共面直線；

則4B,C,。四點共面，

所以力B、CD共面，這與48、CD是異面直線矛盾;

所以假設(shè)錯誤，即直線AC、8D也是異面直線.

18.【詳解】（1）如圖，連接BO

???正四棱柱/BCD-A]8]GDi的底面邊長48=2

BD=2/2

???DDi1面ABC。

二是BD1與底面4BC。所成的角

在出。中，tan乙D]BD=%=昭=VI

oDZVL

：?0]。=4

?*,匕sc。-A,8coi=Sh=4x2x2=16

???止四棱柱48C。-的體積為：16.

(2)???正四棱柱48co-4B1G5

:.AiA/JBiB

???/B&C是異面直線4A與81c所成的角

:.在Rt0B/C中，=彘=[=]

???異面直線4通與當(dāng)。所成的角為：arctan

19.【詳解】(1)因為PD1平面力BCD,ABu平面ABCD,

所以PD1AB,

又因為PDC\AD=D,PD,AD

所以48_L平面PAD,又因為ABu平面048,

所以平面P4B1平面PAD;

(2)由條件可知，PA=PC,AB=BC,鳧PB=PB,

所以團4PH=^CPB,

過點A作AH_LP8,連結(jié)CH,則C”1PB,且4H=HC

所以乙/1”C為二面角A-PB-C的平面角，

由(1)知，AB尸/u平面/MO,所以71BJ.P71,

由?=則P8=C，所以，=則力〃=￥，

團力HC中，AH=HC=華,AC=y[2,

所以cos乙4”(?=!痹些=J所以乙4HC=?,

￡Ari'nL/J

所以二面角A-PB-C的大小為系

20.【詳解】(1)連接OM,

在平行四邊形A8CD中，

???0為AC與BD的交點，；.0為BD的中點,

又M為尸。的中點，???P8〃M。，

又PBC平面4CM,M。u平面P8〃平面力CM；

(2)取D。的中點N,連接MN,4N,

vM為PO的中點，:.MN//PO,且MN==1,

由廣。1平面4BCD,得MN1平面48CD,

/M4N是直線4M與平面ABCD所成的角，

v^ADC=45°,AD=AC=2,.-.Z.ACD=乙ADC=45°,.^CAD=90°,

在RtZDA。中，AD=2,AO=\AC=1,

???DO=A/_5,從而AN=之DO=乎，

LL

在Rt國力NM中，tan4M4N=黑=+=竽，

T

直線AM與平面ABCD所成角的正切值為皚.

?J

21.【詳解】圓柱部分體積為匕=7rx32x25=2257r,

直六棱柱部分體積為匕=6X^X122X5=