專題8.7拋物線（舉一反三講義）

【全國通用】

題型歸納

【題型1拋物線的定義及其應用】......................................................................3

【題型2拋物線的標準方程1......................................................................................................................................................5

【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】................................................................7

【題型4拋物線的軌跡方程】...........................................................................8

【題型5拋物線上的點到定點的距離及最值】..........................................................10

【題型6拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】..............................................12

【題型7拋物線的焦半徑公式】........................................................................15

【題型8拋物線的幾何性質】..........................................................................17

【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】......................................................19

【題型10拋物線的實際應用】........................................................................22

1、拋物線

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考II卷：第10題，

5分

2023年全國乙卷（文數(shù)）：第拋物線的方程及其性質是圓錐曲線

13題，5分中的重要內容，拋物線及其性質是高考

（1）掌握拋物線的定義、幾何2023年北京卷：第6題，4分數(shù)學的熱點問題.從近幾年的高考情況

圖形、標準方程2024年新高考H卷：第10題，來看，主要考查拋物線的定義、標準方

⑵掌握拋物線的簡單幾何性6分程、幾何性質、面積問題等內容，在選

質（范圍、對稱性、頂點、離2024年北京卷：第11題，5分擇、填空、解答題都可能出現(xiàn)，解題思

心率）2025年全國一卷：第10題，6路和解題步驟相對固定，強調通性通法，

（3）了解拋物線的簡單應用分選擇、填空題中難度不大，解答題中難

2025年全國二卷：第6題，5度偏大，一般以第一小問考查拋物線的

分方程或軌跡問題，需要靈活求解.

2025年北京卷：第11題，5分

2025年天津卷：第9題，5分

知識梳理

知識點1拋物線的方程及其性質

1.拋物線的定義

（1）定義：平面內與一個定點尸和一條定直線/（/不經過點尸）的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點尸叫作拋

物線的焦點,直線/叫作拋物線的迤線.

（2）集合語言表示

設點M。,），）是拋物線上任意一點，點M到直線/的距離為d,則拋物線就是點的集合P=[M]\MF]=d}.

2.拋物線的標準方程與幾何性質

標準方程/=2px(/.?>0)尸二-2〃八0>0）f=2py(/?0)x2=-2p>'(p>0)

/I1111/>

圖形

口------r八

O1

丁—r/%

頂點(0,0)(0,0)

軸對稱軸產0對稱軸A=0

焦點尸（尸（S

F（冽--2)

準線個一_衛(wèi)Tp

2y=~iT

離心率e=1e=l

開口開口向右開口向左開口向上開口向下

焦半徑也叫=的十得|河川=一的+3|MF|=go+「|“「|=一刖十'

范圍x>0A<0y>0

3.拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異

拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質的差異：

①它們都是軸對稱圖形,但橢圓和雙曲線乂是中心對稱圖形；

②頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；

③焦點個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范闈是雙曲線的離心率范圍是e>l,拋物線的離心率是-1：

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.

知識點2拋物線標準方程的求解方法

1.拋物線標準方程的求解

待定系數(shù)法:求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置.、開口方向，在方程的

類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p,只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.

知識點3拋物線的焦半徑公式

1.焦半徑公式

設拋物線上一點P的坐標為(X。,為)，焦點為F.

⑴拋物線："=2px(〃>0),|四=xo+g=q+芻；

2

(2)拋物線：y=-2px(p>0)f|PF|=x0-y=-x0+y；

(3)拋物線：M=2Q,(p>0),|PF|=yo+y=+y;

(4)拋物線：M=-2〃y(p>0),|PF|=-y=~j.

注：在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標準方程的形式，不同的標準方程對應于不同的焦半徑公

式.

知識點4與拋物線有關的最值問題的解題策略

1.與拋物線有關的最值問題的兩個轉化策略

(1)轉化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”“三

角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.

(2)轉化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線

段最短”原理解決.

2.與拋物線有關的最值問題的求解策略

求解此類問題一般有以下兩種思路：

(1)幾何法:若題目中的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何

法.解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應曲線的定義求解.

(2)代數(shù)法:由條件建立目標函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值

的求法，利用函數(shù)的單調性等，亦可用均值不等式求解.

【方法技巧與總結】

1.通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.

)的距離1。/1=刈+芻，也稱為拋物線的焦半徑.

2.拋物線y2=2px(p>0)上一點P(Xo,y°)到焦點/

舉一反三

【題型1拋物線的定義及其應用】

【例1】(2025?重慶?三模)已知A為拋物線C/=2py(p>0)上一點，點八到。的焦點的距離為4,至心

軸的距離為2,則()

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義，即拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，先求出拋物線的準線方

程，冉結合點力到焦點和x軸的距離建立等式，進而求出p的值.

【答案】C

【解題思路】由拋物線定義及已知條件知△PMF為等邊三角形，進而可求|PF|.

【解答過程】由拋物線的定義知|PF|=|PM|,又|MF|=|PF],

所以△PMF為等邊三角形，乙FMN=3（T（N為準線與y軸的交點），

拋物線y=9的焦點準線l:y=-l,p=2,

故IMF|=―絲!一=——=2p=4,

sinzFM/Vsin30°r

【題型2拋物線的標準方程】

【例2】（25-26高二上?全國?單元測試）已知拋物線C關于），軸對稱，頂點在坐標原點，且焦點在直線x+2y-

6=0上，則拋物線。的標準方程為（）

A.y2=-12xB.x2=8y

C.x2=-12yD.x2=12y

【答案】D

【解題思路】求出直線與），軸的交點坐標，得拋物線的焦點，進而可得拋物線的標準方程.

【解答過程】直線％+2y-6=0與），軸的交點為（0,3）,

所以拋物線C的焦點為（0,3）,故占=3,解得p=6,

所以拋物線C的標準方程為/=12y.

故選：D.

【變式2-1]（24-25高二上?天津河西?期末）準線方程為y=4的拋物線的標準方程是（）

A.x2=8yB.x2--8yC.x2=16yD.x2=-16y

【答案】D

【解題思路】由準線方程求出拋物線的標準方程即可求解.

【解答過程】由題意可知拋物線開口向下，故設拋物線方程為-=—2py（p>0）.

因為拋物線的準線方程為y=4,所以5=4,即p=8,所以該拋物線的標準方程為"=-16y.

故選：D.

【變式2-2](2025?山西?二模)若點(2,2)在以原點為頂點x軸為對稱軸的拋物線。上，則C的方程為()

A.y2=2xB.y2=x+2C.x2=2yD.x2=y+2

【答案】A

【解題思路】由拋物線的標準方程，代入(2,2)可得結果.

【解答過程】由題意可知，拋物線C的方程為必=22￥,

將(2,2)代入外=2px,可得p=l,故拋物線C的方程為f二2工

故選:A.

【變式2-3](2024.寧夏石嘴山.三模)如圖，過拋物線y2=2p%(p>0)的焦點廠的直線咬拋物線于兩點4、

B,交其準線于C,4E與準線垂直且垂足為E,若|BC|=2|8川,|4臼=3,則此拋物線的方程為()

C.y2=yD.y2=3x

【答案】D

【解題思路】過點AB作準線的垂線，設出臼=a,得到|AC|=3+3a,結合拋物線的定義，求得a=l,再

由8D〃/G,列出方程求得p的值，即可求解.

【解答過程】如圖所示，分別過點B作準線的垂線，垂足為D,

設|B尸|=a,則|BC|=2|8尸|=2a,

由拋物線的定義得\BD\=\BF\=a,

在直角△BCD中，可得sin4BCD=器=：,所以zBCD=30°,

在直角△ACE中,因為|4E|=3,可得MC|=3+3a,

由|AC|=2|4E|,所以3+3a=6,解得a=l,

因為BC〃FG,所以人抖解得p=；,所以拋物線方程為y2=3工

故選：D.

【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】

【例3】（2025?北京朝陽?二模）若拋物線。:/=小、（加工0）的焦點坐標為（0,_1）,則拋物線C的準線方程

為（）

A.X=2B.x=1C.y=2D.y=1

【答案】D

【解題思路】由拋物線方程及焦點坐標直接求出準線方程.

【解答過程】因為拋物線C:/=m丫（小中0）的焦點坐標為

所以拋物線方程為"=-4y,

準線方程為y=1.

故選：D.

【變式3-1】（2025.安徽?模擬預測）拋物線y=：%2的焦點坐標是（）

O

A.（0,2）B.（0,-2）C.（-2,0）D.（2,0）

【答案】A

【解題思路】變形得M=8y即可判斷焦點坐標.

【解答過程】、一：爐，即之2=8、，岫？-4,則其焦點坐標為（0,2）.

O

故選：A.

【變式3-2]（2025?安徽?模擬預測）已知拋物線C:2/+my=0恰好經過圓M:（%-l）2+（y+2）2=1的圓

心，則C的準線方程為（）

A.x=-B.%=--C.y=-D.y=--

22z8J8

【答案】C

【解題思路】求出圓心坐標，將圓心坐標代入拋物線方程，將拋物線方程化為標準方程，即可得出拋物線。的

準線方程.

【解答過程】圓例的圓心為M（l,-2）,

將圓心M的坐標代入拋物線的方程得2xl2-2m=0,解得m=1,

故拋物線C的方程為2/+y=0,標準方程為％2=

則2P=：,所以，?=\故拋物線C的準線方程為y=；.

2288

故選：C.

【變式3-3]（2025?安徽合肥?三模）已知拋物線。:/=22、9>0）的焦點為凡第一象限的點

PGi，%）,Q（%2，y2）在拋物線上，且|PF|=IQF|+3,|PQ|=3VL若%1+外=6，則拋物線C的準線方程為

（）

A.y=—1B.y=-3C.y=—1D.y=-2

【答案】A

【解題思路】根據(jù)題意結合拋物線的定義可得力-%=3,再根據(jù)兩點間距離公式可得（刈-&）2=9,最后

代人方程作差可得p=3,即可得結果.

【解答過程】因為|P/|=IQ/I+3,則為+：=丫2+：+3,可得丫1一月=3,

又因為|PQ|=J（X]-孫）2+（']-yz）?=JO1-％2尸+9=3近,可得（與一外）2=9,

且上；1:'乃，兩式相減得/-X2=2Poi-丫2），即01+孫）01-％2）=2Poi-乃），

{X2=3乃

222

平方可得（與+X2）（X1-X2）=4P2（7]-y2）,

且必+%2=6,可得36x9=4p2x9,即p?=9

且p>0,即p=3,

所以所求準線方程為y=-*

故選：A.

【題型4拋物線的軌跡方程】

【例4】（2025?湖南衡陽?三模）已知點F（2,0）,動圓P過點F,且與％=-2相切，記動圓圓心P點的軌跡為曲

線「，則曲線「的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=12x

【答案】C

【解題思路】分析題意，利用拋物線的定義判斷曲線是拋物線，再求解軌跡方程即可.

【解答過程】由題意知，點P到點廣的距離和它到直線％=-2的距離相等，

所以點P的軌跡是以(2,0)為焦點的拋物線，所以「的方程為y2=8%,故C正確.

故選:C.

【變式4-1](2025?遼寧沈陽?一模)已知平面直角坐標系中不同的三點4(0,5),BQ,0)((0,y),圓心在)，軸

上的圓E經過A,B,。三點，設點M的坐標為(x,y),則M點的軌跡方程為()

A.x2=5y(yW0)B.y2=5x(x工0)

C.y2=-5x(x豐0)D.x2=-5y(yW0)

【答案】D

【解題思路】根據(jù)給定條件可.得再利用數(shù)量積的坐標表示求出方程.

【解答過程】由圓心在y軸上的圓E經過點71(0,5),鞏%,0),C(0,y),得線段4?為圓E的直徑，

而點S在義軸上，則月BJL8C,又荏=(即-5),潟=(乙一切，

于是A8?而=/+5y=0,而8,C不重合，即yH0,

所以M點的軌跡方程為/=一5y(y00).

故選：D.

【變式4-2】(2025?河北邯鄲?模擬預測)在平面內，到定點(2,0)的距離比到定直線x=-l的距離大1的動點

M的軌跡方程是.

【答案】y2=8x

【解題思路】先根據(jù)己知條件將動點M到定點與定直線的距離關系進行轉化，再依據(jù)拋物線定義確定其軌跡

方程.

【解答過程】由已知可得動點M滿足到定點(2,0)的距離等于到定直線％=-2的距離，

由拋物線定義知動點M的軌跡方程為焦點在x軸上的拋物線，且焦點為(2,0),則：=2,p=4.因此軌跡方程

為：y2=8x.

故答案為：y?=8x.

【變式4-3】(2024.寧夏石嘴山.模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，己知點P為動點，以線段MP為

直徑的圓與y軸相切.動點尸的軌跡r的方程為.

【答案】y2=4x

【解題思路】設P(x,y),求得以線段MP為直徑的圓的圓心和半徑，由直線和圓相切的條件可得所求軌跡方

程.

【解答過程】設P（x,y）,可得以線段MP為直徑的圓的圓心為（言,5，

半徑為,=M+?2-

由以線段MP為直徑的圓與y軸相切，

可得防卜商F整理得y2=4x.

故答案為：y2=4x.

【題型5拋物線上的點到定點的距離及最值】

【例5】（2025?全國?模擬預測）已知A是拋物線C：必二以上的點，N（4,0）,則|HN|的最小值為（）

A.2B.2V2C.4D.273

【答案】D

【解題思路】由拋物線的方程，利用二次函數(shù)的性質求最值

【解答過程】設A（9,t），

MI.4/VI=-4）2+t2=A-"+16=-2?+12N28,

當且僅當亡=±2&時，等號成立.

故選：D.

【變式5-1]（24-25高二下?河南洛陽?階段練習）設。為坐標原點，F(xiàn)為拋物線Gy?=8%的焦點，點力在拋

物線C上若尸|=5,則|0*=（）

A.6V6B.9C.3D.V33

【答案】D

【解題思路】設4（%，%），先由拋物線定義和伊尸|=5解出/，得到4點坐標，再由兩點間距離公式求出|。川

即可.

【解答過程】因為拋物線C：y2=8x,所以焦點尸（2,0）,準線方程為％=-2.

設?q40），因為|45|=5,所以由拋物線定義可知見+2=5,解得h=3，

因為點4在拋物線C上，所以必=8*0=8x3=24,所以4（3,±2n），

所以|0*=J熠+%=79+24=V33.

故選：D.

【變式5-2]（2025?甘肅甘南?模擬預測）已知直線2:%=-5,點P（3,0）,點4（4,1）,動點Q到點P的距離比到

直線2的距離小2,則|Q川+|QP|的最小值為（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】C

【解題思路】利用定義法可求拋物線方程，也可以利用幾何關系代入坐標公式求出拋物線方程，再利用拋物

線的幾何性質轉化線段可求和的最小值.

【解答過程】方法一：設Q(%,y).???點P(3,0),直線，=

動點Q到點P的距離比到直線/的距離小2,

???d(x-3)2+(y-0)2+2=1%-(-5)|,化簡得y2=12X,

即點Q的軌跡是以P(3,0)為焦點，以直線x=-3為準線的拋物線.

方法二：設Q?y).???點P(3,0),直線，=

動點Q到點P的距離比到直線I的距離小2,

???動點Q到點P的距離等于到直線x=-3的距離，

???點Q的軌跡是以P(3,0)為焦點，以直線工=-3為準線的拋物線，

即拋物線方程為y2=12%.

如圖，過點Q作準線的垂線，垂足為8,由拋物線的定義，得|Q戶|二|Q8|,

則|Q川+\QP\=\QA\+\QB\,當4,Q,8三點共線時，

\QA\+|QP|取得最小值,最小值為=4+3=7.

故選：C.

【變式5-3](24-25高三上?安徽?階段練習)已知拋物線/=22"。＞0),點/1(4,4)在拋物線上，點8(0,3),

若P點是拋物線上的動點，則|P8|的最小值為()

A.8B.2V2C.9D.3

【答案】B

【解題思路】把點力(4,4)代入拋物線中求出p=2,再設尸(々J。)利用兩點間距離計算根據(jù)二次函數(shù)求最值即

可.

【解答過程】因為點4(4,4)在拋物線上，所以42=2p?4,解得p=2,

所以拋物線方程為/=4y,設P(%,y。)，

22

則|P8|2=X1+(y0-3)=詔+總一6y0+9=羽-2y0+9=(y0-l)+8>8,

所以|PB|的最小值為2注.

故選：B.

【題型6拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】

【例6】(2025?海南僚州?模擬預測；已知4(1,)B(0,4),P為拋物線y=產一2%+2上一動點，則|PA|+|P8|

的最小值為()

A.-B.—C.-D.5

444

【答案】C

【解題思路】根據(jù)圖象的平移和拋物線的幾何性質，得到曲線I)?=丫-1的焦點坐標為4(1,手,準線方

程為l：y=i過點P作PN1Z,根據(jù)拋物線的定義，得到|PA|=|PN|,結合|P川+|P5|=|PN|+|P8|,即

可求解.

【解答過程】由拋物線y=——2x+2=Q—l)2+l,HP(x-l)2=y-l,

又由拋物線/=y表示開口向上，且焦點為(0,：),準線方程為y=—%

將拋物線/二y向右平移1個單位，再向上平移I個單位，即可得到(x—l)2=y—1,

所以拋物線Q-=y-1的焦點坐標為4(1,手，準線方程為=京

因為點P是拋物線(％-I)?=y-1上任意點，則點P到焦點F的距離等于點P到I的距離，

如圖所示，過點P作PN_U,可得|P川=|PN|,

所以|PA|+|PB|=|PN|+|PB|N4-；=F，當且僅當P,8,N三點共線時，等號成立，

44

所以|PA|+|P8|的最小值為今

4

故選：C.

【變式6-1］（2025?貴州貴陽?模擬預測）已知拋物線C:y2=4%的焦點為RM為C上的動點，N為直線

百了+3=0上的動點，設點M到y(tǒng)軸的距離為d,則|MN|+d的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解題思路】由拋物線的定義可知點到焦點的距離等于到準線的距離，進行轉化，當M,N,尸三點共線時，可

求得最小值.

因為拋物線C:y2=4%.?.F（l,0）,過/點作FA垂直直線/于點A，過M作準線的垂線交準線于點H,如圖所

示，則=d=\MH\-1,

則|MN|+d=\MN\+\MH\-1=|MN|+\FM\-1>|FR|-1=-1=1,

當點N與點F1重合，點M為線段尸0與拋物線的交點時，等號成立.

故選：A.

【變式6-2】（2025?遼寧葫蘆島?一模）已知點P是拋物線產二船上的一個動點，則點P到點（0,2）的距離與點

P到該拋物線準線的距離之和的最小值為（）

A.2V2B.3C.V5D.-

2

【答案】C

【解題思路】利用拋物線定義將點P到準線的距離轉化到與焦點的距離，再根據(jù)三點不共線時兩邊之和大于

第三邊且三點共線時能取得最值，即得結果.

【解答過程】依題意，拋物線必=4%中，F(xiàn)(1,O),點P到準線的距離|PQ|=|PF|,

故點P到點(0,2)的距離|PA|與P到該拋物線準線的距離之和為：

\PA\+\PQ\=\PA\+\PF\>\AF\=Vl2+22=炳,

當且僅當A,尸尸三點共線時等號成立.

所以|P4|+|PQ|的最小值為遍.

故選:C.

【變式6-3](2025?江西萍鄉(xiāng)?一模)設拋物線C:%2=i6y的焦點為R斜率不為0的直線/過點4(3,4),過戶

作[的垂線，垂足為P,。是C上的一個動點，則|FQ|+|PQ|的最小值為()

A?TB.6C.-D.7

【答案】C

【解題思路】分析點P的軌跡，作出圖形，結合拋物線定義可得.

【解答過程】F(0,4),因為FPJL/,垂足為P,

所以點P的軌跡是以以為直徑的圓(不包括RA兩點)，

半徑丁=?凡4|=去圓心為5?,4),又因為Q在拋場線Cx2=16y±,

其在線為直線y=-4,過點Q作上線的垂線，垂足為R,

WFQ\+\PQ\=\QR\+\PQ\>\PR\,

當從P,Q,R四點共錢且P在8點下方時取等號，

(|F(?|+|PQ|)mln=\BR\-r=8-1=^.

故選：C.

【題型7拋物線的焦半徑公式】

【例7】（2025?廣東佛山?三模）已知拋物線「：y2=2px（p>0）上的點4的橫坐標為4,拋物線「的焦點為F.若

\AF\=5,則p的值為（）

A.18B.9C.4D.2

【答案】D

【解題思路】由拋物線的焦半徑公式，可直接得到答案.

【解答過程】由拋物線定義得當+々=4尸=5,

又辦=4,解得p=2.

故選：D.

【變式7-1]（2025?北京海淀?一模）已知拋物線C:/=2PMp>0）的焦點為F,點M（|,先）在C上，|MF|=2,

則仇1=（）

A.1B.V2

C.V3D.2

【答案】C

【解題思路】根據(jù)拋物線焦半徑公式列出方程，求出〃的值，可得出方程，點在曲線上，代入可得解.

【解答過程】由拋物線定義知：|MF|=|+：=2,解出口=1,故拋物線C:y2=2x,

又點M6,yo）在C上，則C:y（）2=2x：=3,|yol=V3,

故選:C.

【變式7-2]（2025?安徽蚌埠?三模）設拋物線=2px（p>0）的焦點為F,過C上一點A作其準線的垂

線，設垂足為B,若85乙8/1尸=：,|力尸|=10,Mp=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解題思路】根據(jù)拋物線的定義得|4F|==10,由余弦定理可得出川=4而，則|AF|=&+：=1。，

在Rt^BEF中，由勾股定理即可求解.

【解答過程】由題意可知：拋物線C的焦點F&0）,準線為x=R\AF\=\AB\=10,

因為COS/8AF=￡

所以由余弦定理得2|/P|2-2\AF\2COS^.BAF=200x（1-1）=80=\BF\2,

即|BF|=4V5；

2

由［4/|=x.+§=10,所以必=10-3yl=2pxA=20p-p；

設E為準線與%軸的交點,\EF\=p,

則但產產+療=p2+20P-p2=\BF\2=80,則p=4.

【變式7-3］（2025?四川成都?模擬預測）已知拋物線C:y=4M的焦點為凡P是拋物線c上的一點，。為坐標

原點，若［PO|=1,則（）

A.p=2B.\PF\=2

C.準線為y=-;D.\PF\=總

【答案】D

【解題思路】由已知根據(jù)拋物線方程即可判斷A,C：設尸（皿幾），由|PO|=日得"=1,根據(jù)拋物線的定義即

可求解.

【解答過程】拋物線C:y=4/,即標二知，所以p=J,故A錯誤；

48

因為焦點為（0,總，準線為y=—。故C錯誤;

設P(m,n),則九=4加2,

由題意5/田2+濃=匹,且九之。，故M+N-'nO,

244

解得九=一9(舍)或九二1,

4

故|PF|=n+^=*故D正確.

1616

故選：D.

【題型8拋物線的幾何性質】

【例8】(2025?安徽?模擬預測)已知點P在拋物線必=4%上，則點P到點(4,0)的距離的最小值為()

A.2B.2V2C.2百D.4

【答案】C

【解題思路】記點M(4,0),PQo，%)，則羽=4x0,RXQ>0,利用二次函數(shù)的基本性質可求出|MP|的最小

值.

【解答過程】記點M(4,0),PG。,%),則羽=4%,

2_2

所以|MP『=(x0-4)+yo=Xg8&+16+4x0=(x0-2)+12,

由%NO,所以|MP|22以n|MP|N2V3,當且僅當%。=2時,|MP|取最小值2百.

即點P到點(4,0)的距離的最小值為26.

故選：C.

【變式8-1](24-25高二下?重慶?階段練習)已知力軸上一定點4(a,0)(。>0),和拋物線y2=2px(p>0)±

的一動點M,若|4M|Na恒成立，則實數(shù)Q的取值范圍為()

A.(0用B.(0,p]C.(0,引D.(0,2p]

【答案】B

【解題思路】設MO。,%)(?>0)，表示出|力M|,依題意可得詔-(2a-2p)x0>0恒成立，分%=0和%°>0

兩種情況討論，當近>0時％22。一2P恒成立，即可得到2a—2pW0,從而求出Q的取值范圍.

z

【解答過程】設M(%o，yo)(%oN0)，貝如役=2px(),所以=/(x0-a)+

2

=《Go—a)2+2px()=Jx^-(2a-2p)x0+a

=Jd_(。一力]%o+a2,

2

因為|AM|>a恒成立,所以以-(2a-2p)x0+a>a?恒成立,

所以就一(2a-2p)x0>。恒成立：

當出=0時顯然恒成立，當項)>0時近>2a—2P恒成立，

所以2Q-2pW0,則Q4P，又Q>0,所以OVQWp,即實數(shù)Q的取值范圍為（O,p].

故選：B.

【變式8-2]（24-25高三卜??河南開封?階段練習）在平面直角坐標系%0y中，拋物線C:f=8x,P為"軸正半

軸上一點，線段0P的垂直平分線I交。于4B兩點，若NO/P=120。，則四邊形（MP8的周長為（）

A.64V3B.64C.8073D.80

【答案】A

【解題思路】線段OP的垂直平分線!交。于48兩點,結合拋物線的對稱性可得力B與。尸互相平分，則四邊形

。力P8為菱形，可設P點坐標，通過幾何關系求出4點坐標，在代入拋物線方程即可求解.

【解答過程】因為線段0P的垂直平分線/交。于48兩點，

所以結合拋物線的對稱性可得AB與。P互相平分，則四邊形0AP8為菱形.

設點P（2t,0）且t>0則線段OP的垂直平分線/方程為％=t,

令，與;v軸交于點〃，又aOAP=120\

則在直角三角形。力〃中乙。4〃=^OAP=60°

繼而可得歷刈=察=當，

V33

所以4點坐標為卜號），

代入拋物線C:y2=8%,可得二=83解得￡=24,

直角三角形。4"中|。川=2\AH\=2XyX24=16A/3,

月『以四邊形的周長為41cMi=64Vl

故選:A.

【變式8-3]（24-25高二下?云南?期中）已知拋物線C：V=8,其中4C,8。是過拋物線焦點戶的兩條互相

垂直的弦，直線AC的傾斜角為。，當a=45。時，如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”的面積為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】D

【解題思路】依題寫出直線4c的方程并與拋物線方程聯(lián)立，求得4c的橫坐標，利用弦長公式結合拋物線時

稱性求出相關線段長，即可求得答案.

【解答過程】由題意知F(2,0),直線何的傾斜角a=45。，則直線力。的方程為y=x-2,

聯(lián)立y2=8x,消去y可得：x2-12x+4=0,解得％=6土4/，

xA=6+4A/2,xc=6—4A/2,

由拋物線的定義可得|力用=/+2=8+4\/2,\CF\=xc+2=8-472,

根據(jù)拋物線的對稱性結合是過拋物線焦點尸的兩條互相垂直的弦，

可知|。臼=\AF\=8+4企，\BF\=\CF\=8-4或，

故SMFB/MFIx|BF|=：(8+472)(8-4^2)=16,

故“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”的面積為2x16=32.

故選:D.

【題型9拋物線中的三角形(四邊形)面積問題】

【例9】(2025?甘肅白銀?模擬預測)已知圓E：(%-2)2+V=5與拋物線C：y?=2p%(p>0)交于A,B

兩點,且直線AB過C的焦點F,點K與點尸關于原點對稱,M為C上一點，當AMFK為等腰三角形時，AM尸K

面枳的最大值為()

A.1B.2C.y/5D.2百

【答案】B

【解題思路】先根據(jù)條件求出拋物線的方程，再分情況討論，求出三角形的面積.

【解答過程】由題得圓心E(2,0),所以圓E關于x軸對稱，因為拋物線C關于x軸對稱，且直線A3過拋物

線C的焦點F?,0),

所以直線48垂直于x軸，不妨設點A在第一象限，貝lL4《,p),

2

所以G-2)+p2=5,即5P2-8P-4=0,解得p=2或p=-：(舍)，

所以拋物線C：y2=4x,F(l,0),

因為點K與點尸關于原點對稱，所以K(—l,0),所以在△MFK中，|/K|=2,

當|FK|=\FM\=2時，F(xiàn)K1FM,S^MFK=^x2x2=2；

當|FK|=|MK|=2時,00<Z-MFK<90°,此時

S^MFK=31?1-\MK\sin^MFK<^\FK\-\MK\=2；

當=時，不存在.

綜上，AMFK面積的最大值為2.

故選:B.

【變式9-1](2025?浙江嘉興?三模)已知拋物線C:y2=4x,其準線為，，焦點為尸，過M(3,0)的直線PQ與/和

C從左到右依次相交于4P,Q三點，且FQ|=10,則△凡4P和△B4Q的面積之比為()

A-B.：C.1D,1

【答案】B

【解題思路】根據(jù)題意求出Q(9,6),得出直線尸Q:y=x—3,與拋物線聯(lián)立得出P(l,—2),然后

求出兩個三角形的底邊，即可得出答案.

【解答過程】不妨設點Q在第一象限，如圖所示，

/

由題可知，hx=-l,F(l,0),

所以FQI=%Q+1=10=>XQ=9,所以(為y=36,

又:XQ>0,所以yQ=6,故Q(9,6),

此時kpQ=kMQ==1,所以直線PQ:y=x-3,

與拋物線聯(lián)立得y2-4y-12=0,所以yp=-2,代入拋物線方程得4=4孫=孫=1,

所以P(l,-2),易得4(-1,一4),

所以MQI=所00+100=10幾\AP\=V2T2=2V2,

SAFAP_14Pl_J

SQFAQMQl5'

故選：B.

【變式9-2］（2U25?福建廈門?一模）過拋物線C:y2=4%的焦點”的直線/交C于A,H兩點,交直線％=-1

于點P，若瓦？=荏，貝IJ△。力尸與A08尸的面積之比為（）

A.-B.-C.-D.I

424

【答案】B

【解題思路】求出拋物線的準線，過點48作出準線的垂線段，利用拋物線定義，結合幾何圖形求解.

【解答過程】拋物線C必=4%的焦點產（1,0）,準線方程為％=-1,

過A,8分別作直線％=-1的垂線，垂足分別為M,N,\AM\=\AF\,\BN\=\BF\,

由西=而，得21AMi=|8N|,即2|AF|=|BF|,

所以△。力尸與408尸的面積之比為條

【變式9-3］（2025?湖北武漢?一模）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為凡過“作直線交拋物線（7于48

兩點，過48分別作準線，的垂線，垂足分別為M,N,若△/尸M和ZkB用V的面積分別為8和4,則△M/N的

面積為（）

A.32B.16C.8V2D.8

【答案】C

【解題思路】設直線48：X=m丫+步弋入拋物線方程，利用韋達定理，計算S-FM.SMFN，相乘化簡可得加2+

2

詈，由三角形面積公式可得FN=pV^TT=8V2.

【解答過程】設直線AB:x=77iy+5

代人拋物線方程，消元可得y2-2p7ny-p2=0,

設，（景（景力），則y，2=-p2,yi+%=2pm,

ShAFM=；|4M|,==：借+；）.Ml=8，

S^BFN=J|BN|?|九1=：魯+々）,仇1=4，

S“FM?S^BFN=W+寧+a（yg+y/）?ly［為I

=；［$+/：（4p2，m2+2p2）.p2

=T（m2+l）,

于是SMFM-S^BFN=y（m2+1）=8x4=32,即m?+1=詈,

???SAMFN=^lyi-y2l=］J（yi+力）2—4yly2=p2Vm2+1=P2J^r=8四.

故選：C.

【題型10拋物線的實際應用】

【例10】（2025?海南海口?一模）世界上第一個太陽灶設計者是法國的穆肖，1860年他奉拿破侖三世之命，

研究用拋物面鏡反射太陽能集中到懸掛的鍋上，供駐在非洲的法軍使用.目前世界上太陽灶的利用相當廣

泛，技術也比較成熟，它不僅可以節(jié)約煤炭、電力、天然氣，而且十分干凈，毫無污染，是一個可望得到

大力推廣的太陽能利用裝置..如圖是某學校數(shù)學小組制作了一個太陽灶模型，其口徑為1m,高為（）.25m的

拋物面，則其軸截面所在拋物線的頂點到焦點的距離為（）

D.2

【答案】A

【解題思路】建立平面直角坐標系，設出拋物線標準方程，根據(jù)圖形可得拋物線上一點坐標，代入可得p,

然后可得.

【解答過程】如圖，建立平面直角坐標系，

設拋物線的方程為X2=2py（p>0）,

由圖可得點（0.5,0.25）在拋物線上，即

0.52=2px0.25,解得p=0.5,

故軸截面所在拋物線的頂點到焦點的距離為0.25.

故選:A.

【變式10-1】（2025?全國?模擬預測）某社會實踐小組在調研時發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線

拱形部分的橋面跨度為21.6m,拱頂距水面10.9m,路面厚度約1m.若小組計劃用繩子從橋面石欄放下攝

像機取景，使其落在拋物線的焦點處，則繩子最合適的長度是（）

A.3mB.4mC.5mD.6in

【答案】B

【解題思路】建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，設出拋物線方程，將點的坐標代入拋物線方程可■求得參數(shù)p,進

一步即可得解.

【解答過程】以拱形部分的頂點為坐標原點，水平線為工軸，垂直于無軸，且方向向上，建立平面直角坐標

設拋物線的方程為/=-2py(p>0).

易知拋物線過點(10.8,—10.9),則10.82=2i.8p,得p=察,

21.8

所以”黑=2