專題4.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（舉一反三講義）

【全國(guó)通用】

題型歸納

【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】.................................................................3

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】............................................................4

【胭型3根據(jù)三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)】........................................................5

【題型4三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問題】............................................................5

【題型5三角函數(shù)的周期性問題】.....................................................................6

【題型6求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】..........................................................6

【題型7根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】...............................................................7

【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】.......................................................................7

【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】..........................................................8

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年新課標(biāo)I卷：第15題，5三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的

（1）能畫出三角函數(shù)的圖象

分重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，其中三角函數(shù)的周

（2）了解三角函數(shù)的周期性、

2023年天津卷：第6題，5分期性、對(duì)稱性、奇偶性與單調(diào)性之間

奇偶性、最大（小）值

2024年新課標(biāo)I卷：笫7題，5分的關(guān)系則是高考考察的重心.從近幾年

⑶借助圖象理解正弦函數(shù)、

2024年新課標(biāo)H卷：第9題，6分的高考情況來看，比較注重對(duì)三角函

余弦函數(shù)在［0,2捫上的性2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第13數(shù)的幾大性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系的考

題，5分查，試題多以選擇題、填空題的形式

質(zhì)及正切函數(shù)在（-三仁）

2025年全國(guó)一卷：第4題，5分呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)在解答題中考查，難

2025年全國(guó)二卷：第15題，13分度中等或偏下，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面

上的性質(zhì)

2025年北京卷：第8題，5分的訓(xùn)練.

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略

1.三角函數(shù)的定義域的求解思路

求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式（組）,解三角不等式（組）常借助三角函數(shù)的圖象.

2.求解三角函數(shù)的值域（最值）常見的幾種類型：

（1）形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為產(chǎn)Asin（Gx+8）+c的形式，再求值域（最值）；

（2）形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin.t=r,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）：

（3）形如y=asin.vcos.v+Z＞（sinricosx）+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinvicosx,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）.

知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、奇偶性的求解策略

1.三角函數(shù)周期的一般求法

(1)公式法;

(2)不能用公式求函數(shù)的周期時(shí)?，可考慮用圖象法或定義法求周期.

2.三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求解策略

(1)對(duì)于可化為/U)=4sin(3r+°)(或yU)=Acos(sx+*))形式的函數(shù)，如果求/(幻的對(duì)稱軸，只需令cox+(p=

5+H(〃￡Z)(或令公什夕二七t(欠金Z)),求x即口丁：如果求./(工)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令3+夕=府(Zr?Z)

(或令cox+(p=y+E(女￡Z)),求x即可.

k%

(2)對(duì)于可化為/(x)=4an((yx+3)形式的函數(shù)，如果求fix)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令cox+(p=伏￡Z)),

求I即可.

3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在尸Asin(3+3)中代入x=0,若產(chǎn)0

則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).

若產(chǎn)Asin(①x+o)為奇函數(shù)，則(p=E(kGZ)；若產(chǎn)Asin(cox+8)為偶函數(shù)，則。=，+E(&￡Z).

知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)的單調(diào)性問題的解題策略

1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法

求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成尸4sin(s+0形式，再求產(chǎn)4sin(5+o)的單調(diào)區(qū)間，只需

把西+W看作一個(gè)整體代入尸SilU的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把69化為正數(shù).

2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路

對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某?部分確定參數(shù)/的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間的子集,其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，

利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.

【方法技巧與總結(jié)】

1.對(duì)稱性與周期性

(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是!個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸

之間的距離是5個(gè)周期.

(2)王切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是1個(gè)周期.

2.與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論

⑴若)=4sin(wx+e)為偶函數(shù)，則3=4乃+女WZ)；若為奇函數(shù)，則尹=也(左WZ).

⑵若產(chǎn)Acos(sx+p)為偶函數(shù)，則夕二E(%￡Z)；若為奇函數(shù)，則？=〃兀+^(%￡Z).

⑶若y=4an（s+夕）為奇函數(shù)，則%E（A￡Z）.

舉一反三

【題型1三角函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用】

【例1】（2025?甘肅白銀?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/"（%）=siniT%+空+/—X的圖象大致為（）

【變式1-2】（2025?貴州黔東南?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（無）=箸+而、的大致圖象為（）

A.B.

【變式1-3]（2025?四川?一模）函數(shù)/"（%）=)

【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】

【例2】（2024.廣東湛江.二模）戌數(shù)/（%）=4$E（5%-5在[0局上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-2,2]B.[-2,4]C.[-2V3,4]D.[-2>/3,2]

【變式2-1]（24-25高一下?北京海淀?期中）函數(shù)y=tan（%+：）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{%卜€(wěn)R,%工手+/nr,k6z}B.卜無6R,xH：+/or,k€Z}

C.工手+2kn,k￡z}D.{小WR,xW；+與,kWZ}

【變式2-2]（2025?山西?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)/（x）=sin2x在區(qū)間陷用的最小值和最大值分別為771和M,則M-

771=（）

A.2B.3C.丑D.U

222

【變式2-3]（2025?河南?三模）函數(shù)/（幻=2$皿2%+8）（0<9<9的圖象關(guān)于直線》=總對(duì)稱，則f（x）在

上的最小值為（）

A.-2B.-V3C.-1D.-V2

【題型3根據(jù)三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)】

【例3】（2025?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=285卜％+9在區(qū)間［0,0上的值域?yàn)椋?2,網(wǎng)，則Q的

取值范圍為（）

A?瞪用B.塔芳］C.售券D.珞”］

【變式3-1］（24-25高三上山西期末）已知函數(shù)/"（刈=5皿（3%+勻3>0）在區(qū)間［0（）內(nèi)有最大值，但無

最小值，則3的取值范圍是（）

A-（消B.（消C.職］D.（羽

【變式3-2］（2024?河南鄭州?一模）已知函數(shù)/⑶=2sin（sr-33>0）在［。段上的值域?yàn)椋邸?,2］,則3的

取信范圍為（）

A-［?2］B.居c-［H］D.崗］

【變式3-3］（2025?上海閔行?二模）已知函數(shù)y=cosgx+f在區(qū)間［a,a+9］上既有最大值1又有最小值一1,

則關(guān)于實(shí)數(shù)Q的取值，以下不可能的是（）

A.2024B.2025C.2026D.2027

【題型4三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性問題】

【例4】（2025?河北保定?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=sin3（x+TT）為奇函數(shù)且3>0,則/*（n）=（）

A.0B.1C.-1D.±1

【變式4-1］（2025?全國(guó)一卷?高考真題）若點(diǎn)（a,0）（。>0）是函數(shù)y=2tan［一§的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，

則。的最小值為（）

A.□B.巳C.D.f

6323

【變式4-2］（2025.內(nèi)蒙古通遼?三模）己知函數(shù)/（%）=53［2。+卬）+,+1是偶函數(shù)，則㈤的最小值是

（）

A.三B.2C.-D.里

126312

【變式4-3］（2025?山東煙臺(tái)?三模）若函數(shù)/（幻=sin（3x+］（0<<2）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為0）,

則3的值為（）

235

A.-B.-C.1D.-

343

【題型5三角函數(shù)的周期性問題】

【例5】(2025?天津紅橋?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=sin(2x),x￡R的最小正周期是()

A.2nB.TTC.-D.-

24

【變式5-1](2025重慶?三模)已知函數(shù)/'(%)=sin(sr+33>0)在[0,2n)上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則f(%)的最

小正周期的最小值為()

A.gB.nC.yD.當(dāng)

【變式5-2](2025?寧夏內(nèi)蒙古?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/a)=cosG+》的最小正周期是()

A.-B.-C.11D.2TT

42

【變式5-3](2025.重慶?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/'(%)=3(2"+百(儂>0)的最小正周期為5則e=()

A.-B.3C.-D.3n

33

【題型6求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】

【例6】(2025?廣東深圳?二模)奇函數(shù)/"a)=2cos(2x+0)(Ov@V7r)的單調(diào)減區(qū)間可以是()

A-[-7^]B.[心，臼C.[0,引D.玲引

【變式6-1](2025?天津南開?二模)函數(shù)/(幻=加/(3+心(3>0,0<8<9的部分圖象如圖所示，則

A，［k71-患,kn+總,k6ZB.恢弘一工,2/cn+意,/cEZ

C.［/CTF—kiT+：,kGZD.^2/CTT—］，2/cir+3］,k￡Z

【變式6-2］（2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知。=嚶/=J-,c=sin券則a,b,c的大小關(guān)系為（）

lno.42gi.se24

A.a>b>cB.c>a>h

C.c>b>aD.a>c>b

【變式6-3]（2025?黑龍江吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知g為曲線y=cosx與y=sin（2x+w）（0<<p<TT）的一個(gè)交點(diǎn)

?5

的橫坐標(biāo)，則函數(shù)/（%）=sin（2%+w）的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為（）

A?卜黑B.將用C.卜/D.E*]

【題型7根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】

【例7】（2025?四川瀘州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（幻=5也（5：-9（幻>0）的圖象關(guān)于點(diǎn)得,0）對(duì)稱，且在（0,9

上為增函數(shù)，則3的值為（）

A.-B.1C.-D.2

22

【變式7-1]（2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/'（x）=sin（3%+3）（3>0,|如V》，f（一》=0,%=：為

f（x）圖象的對(duì)稱軸，且/'（%）在珞，當(dāng)上單調(diào)，則口的最大值為（）

1836

A.11B.9C.7D.5

【變式7-2]（2024?陜西銅川.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（%）=sinsr-V5cos3%（3>0）,設(shè)甲:函數(shù)f（%）在區(qū)間

（一,9上單調(diào)遞增，乙：口的取值范圍是（0,3,則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式7-3]（2025?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（x）=275cos（3X-?costox-2sin2wx+1圖象如圖所示，

【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】

[例8](2025?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)/'(%)=sincox+coscox((o>0),若f(x+n)=/(%)恒成立，且/'(")在

［o,口上存在零點(diǎn)，則3的最小值為（）

A.8B.6C.4D.3

【變式8-1］（2024.湖南.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=3（3%+?在（0*）上單調(diào)遞減且其最小正周期為死

則函數(shù)/（%）的一個(gè)零點(diǎn)為（）

A.-B.-C.-D.—

4828

【變式8-2］（2025?青海西寧?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)/?（%）=5而（3%-9（3>0）,若/'⑴在（0理上有且只有2

個(gè)零點(diǎn)，則3的取值范圍是（）

【變式8-3］（2025?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（幻=sin（3X+/）（3>0且@GR在（^,g）上單調(diào)，且/值）+

/得）=0,若/（%）在管m）上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則3的取值最準(zhǔn)確的范圍是（）

【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

［例9］（2025?天津?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=2sin（eox-§⑷>0）和,。（%）=3cos（2x+租）+1（|如<

的圖象的對(duì)稱軸完全相同，令h（x）=sin（3X-租），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.叢幻的一個(gè)周期為-2nB.似無）的圖象關(guān)于直線工=,對(duì)稱

C.九（乃+n）的一個(gè)零點(diǎn)為％：D.九（均在單調(diào)遞減

【變式9-1］（2025?天津北辰?三模）記max{a,b}為a,b中的較大值，則關(guān)于函數(shù)/（%）=max{sinx+

\/3cosx,sinx—VScosx}有如下四個(gè)命題：

①/（%）的最小正周期為2n；

②/（幻的圖象關(guān)于直線x=等對(duì)稱；

③“力的值域?yàn)椤?？］；

④/（外在區(qū)間弓,小上單調(diào)遞增.

其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式9-2］（24-25高一下?遼寧撫頤期中）已知函數(shù)f（x）=2sin（3x+Q）（3>0,0<@<以的最小正周期

為冗，且f（x）的圖象關(guān)于直線％=：對(duì)稱.

⑴求/'（%）的解析式；

⑵求/（%）的單調(diào)遞減區(qū)間；

⑶求/（%）在［-??］上的值域.

【變式9-3］（2024?廣東佛山?一模）記7為函數(shù)f（x）=sinQjx+°）的最小正周期，其中3>0,0V*V口,

且/（0）=印直線'=壹7為曲線y=f（%）的對(duì)稱軸.

⑴求@；

（2）若/（外在區(qū)間［n,2n］上的值域?yàn)椴?,?］,求/（幻的解析式.

:過關(guān)測(cè)試:

一、單選題

1.（2025.甘肅酒泉.模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=3tangV）的最小正周期是（）

A.2TTB.6TTC.4nD-i

2.（2025?河北?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=cosx+Ex的部分圖象大致為（）

3.（2025?山東青島?三模）已知函數(shù)/'（%）=sin（wt+f+b的圖象關(guān)于點(diǎn)2）中心對(duì)稱，M/（2ir）=（）

A.UB.1C.2D.3

4.（2025?湖南邵陽?三模）下列區(qū)間中，函數(shù)八%）=31211（-2%+9單調(diào)遞減的區(qū)間是（）

'?（-號(hào)）B.（-K）C.D.（0.TT）

5.（2025?海南?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/'（%）=COSQJX+w）（3>0,；<><岑），若/（%）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

且/X0）=-下面說法正確的是（）

JJ4

.n2n

A.o）=KB.0=一

C.f(%)在(0,n)上有2個(gè)零點(diǎn)D.Z(-l)=-1

6.(2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè))設(shè)3>0,已知函數(shù)f(x)=sin3sinx)在區(qū)間(0m)內(nèi)恰有2025個(gè)零點(diǎn)，則3=()

A.1010nB.1011KC.1012nD.1013n

7.（2025?湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（外=3cos（sr+以（/>0）的最小正周期為與，則/3在卜沅］

上的最大值為（）

A-B禺C,2D,3

8.（2025?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=sin（n-cos%）,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.f（x）是偶函數(shù)B./（%）的單調(diào)遞增區(qū)間為［2/nr—TT,2kE（kWZ）

C./（%）是周期為IT的周期函數(shù)D./（%）的圖象關(guān)于點(diǎn)（；,0）對(duì)稱

二、多選題

9.（2025?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)f（x）=cos（2x+e）（0V0<口）的圖象關(guān)于點(diǎn)（一：,0）中心對(duì)稱，

則（）

A./（為在區(qū)間（一，0）上單調(diào)遞增

B.外外在區(qū)間（一屋）上的最大值為1

C.直線無=m是曲線y=f(%)的對(duì)稱軸

D.當(dāng)％SO時(shí)，函數(shù)y=-：X+1的圖象恒在函數(shù)/(x)的圖象上方

10.(2025?四川巴中?二模)已知函數(shù)/(%)=cos(sr+9(e>0)在區(qū)間在區(qū)間［0,IT］上有且僅有3條對(duì)稱軸,

給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的是()

A.外幻在區(qū)間(0,n)上有且僅有2個(gè)不同的零點(diǎn)；

B./(幻的最小正周期可能是4；

C.3的取值范圍是冷分

D.八幻在區(qū)間(0*)上單調(diào)遞增

11.(2025?廣西南宇?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=sin2x|sin