必刷大題14空間向量與立體幾何

1.如圖，四棱錐尸一ABC。的底面為正方形，以，平面4BCQ,M是PC的中點(diǎn)，PA=AB.

(1)求證：AM_L平面P8。：

(2)設(shè)直線AM與平面交于點(diǎn)0,求證：A0=20M.

證明(1)由題意知，AB,AD,4P兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4尸所在直線分別

為x軸、了軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)%=A8=2,則尸(0,0,2),5(2,0,0),￡>(020),MQ,1.1),麗=(2,0,-2),麗=(0,2,一

2),贏=(1,1,1),

設(shè)平面P8O的法向量為〃=(x,y,z),

\nPB=2x—2z=0,

則J_取x=l,得〃=(1,1,1),

n-PI)=2y-2z=0,

V/U/=w,???4何_L平面P3D

(2)如圖，連接4c交于點(diǎn)E,

則E是AC的中點(diǎn)，連接PE,

平面PBD=O,

???0W4M且。￡平面PBD,

??'AMU平面PAC.

平面MC,

又平面P8DH平面PAC=PEt

：?OGPE、

：-AM.PE的交點(diǎn)就是。，連接EM,

???M是尸C的中點(diǎn)，

:?PA〃EM,PA=2EMt

；?△力Os△EMO,

._AO_2

?屈=麗=7

：,AO=2OM.

2.（2023?長(zhǎng)沙模擬）斜三棱柱48C—48G的各棱長(zhǎng)都為2,點(diǎn)4在下底面ABC上的投影為

A3的中點(diǎn)0.

（1）在棱3辦（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)。，使AO_LAG?若存在，求出8。的長(zhǎng)；若不存在，

請(qǐng)說明理由；

⑵求點(diǎn)4到平面BCCiB,的距離.

解（1）連接0C,

因?yàn)锳C=8C,。為AB的中點(diǎn)，

所以0C_LA8,

由題意知4。_1_平面ABC,

又A4]=2,OA=^AB=1,

所以40=小，/4AO=60。，

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，OA,0C,。人所在直線分別為x軸、），軸、z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

之

y

則4（0,0?41,0,0）,8（—1,0,0）,C（0,小，0）,

由贏二而1得用（一2,0,鄧）,

同理得G（—1,小，小），

設(shè)麗=1函，/￡[0,1],

得。（一1一1,0,病,

又不；=（一2,5,瓜

A\D=（-1—/,0,小/一小），

由然?布=0,

得一2（-1一1）+/（小/一小）=0,

得t=y

又BBi=2,

2

所以存在點(diǎn)D且8。=彳滿足條件.

（2）設(shè)平面8CGS的法向量為〃=（x,y,z）,

BC=（1,小，0）,CTi=（-1,0,5），

〃BC=x+小y=0,

則有4

n-CCi=-x+小z=0,

可取〃=（小，-1,1）,

又麗=（1,0,?。?，

所以點(diǎn)4到平面BCC內(nèi)的距離為空回=*=2野，

1〃1。

所以所求距離為平.

3.（2024?丹東模擬）如圖，平行六面體A8CQ—AI8IGU的所有棱長(zhǎng)都相等，平面CQaG_L

平面A8CD,ADA.DC,二面角。|一4。一。的大小為12。。，￡為楂G/）的中點(diǎn).

（1）證明：CD-LAEi

（2）點(diǎn)/在棱CG上，AE〃平面8。/，求直線4E與。尸夾角的余弦值.

（1）證明囚為平面CQdCiJ_平面ABCD,且平面CQQiGC平面ABCD=DC,AO_LQC,AD

連接AG交8。于點(diǎn)/,連接”/,

設(shè)A8=2,貝|」OE=

所以CE=AE=yJAD?+DE?=幣.

因?yàn)锳E〃平面AD凡4EU平面4GE,平面4GEH平面8。尸=〃7,

所以AE〃〃/.

HI與?！钡膴A角等于直線AE與。尸的夾角.

在正方形4BCO中，G/=%G,。/=抽=手,

所以G”=；EG,故川=%E=當(dāng).

在△O〃G中，GH=；EG]GD=1,ZEGD=60°t

由余弦定理得

3

在△〃中，cosNDHI=

077

3

因此直線AE與。F夾角的余弦值為反

方法三連接OE,由（1）知。E_L平面46c。，以。為坐冰原點(diǎn)，DA,DC,力*為x軸、），軸、

z軸正方向，|后|為2個(gè)單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由(1)知?！?小，得42,0,0),8(220),C(0,2,0),￡(0,0,小)，G(0,l,小).

則語=(0,-1,小)，5b=(020),

AE=(-2,0,/)，痂=(2,2,0).

設(shè)萬'=黃=(0,-Z,小。(04W1),

則而=次?+亦=(0,2-八小/).

因?yàn)锳E〃平面BDF,所以存在唯一的人4WR,

使得近=2加+45>=1(2,2,0)+"(0,2—八皿)=(22,24+2"一m,小曲二(一2,0,小),

故27=—2,24+2"一小=0,小，

解得/=,,從而而=(o,1,邛目.

所以直線AE與。尸夾角的余弦值為|cos(AE,DF}

4.(2023?成都模擬)如圖所示，直角梯形/WOE和三角形人BC所在平面互相垂直，DB1AB,

ED//AB,AB=2DE=2BD=2,AC=BC,異面直線DE與AC夾角為45。，點(diǎn)凡G分別為

CE,6c的中點(diǎn)，點(diǎn)”是線段EGk靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn).

(1)求證：A,B,F,”四點(diǎn)共面；

(2)求二面角B-C。一，的平面角的正弦值.

(1)證明如圖，取A6的中點(diǎn)O,連接OC,OE,

因?yàn)锳C=8C,故N84C為銳角，

又ED//AB,

故NBAC即為異面直線OE與AC的夾角，則N8AC=45。，

則/ACB=90。，即AC_LCB,

因?yàn)橹苯翘菪蜛BOE和三角形ABC所在平面互相垂直，O3J_A8,

平面A3OEC平面43C=A8,Q3U平面A3QE,

故平面ABC,

又DE=OB,DE//OB,

即四邊形03。石為平行四邊形，

故EO//DB,所以EOJ_平面人BC,

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，de,OB,麗的方向?yàn)閤,)，，Z軸E方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

不，

則40,-1,0),5(0,1.0),C(1A0),0(0,1,1),E(0。/),

由于晶=(壺='一/]),

可

誦而4—

-

則o

-

=

V

3

，2,0),

.

共面

四點(diǎn)

”

,F,

A,B

，故

+拗

=汕

則京

C,

面AB

<=平

,AC

ABC

平面

為。8

因

⑵解

8C,

C_L

,且A

LAC

。8_

所以

。，

面8C

C<=口

B,B

B,D

BC=

DBC

向量,

一個(gè)法

D的

面BC

為平

)可作

1,1,0

啟=(

所以

CD,

面B

L平

故AU

z),

,y,

?=(x

量為w

法向

。的

面"C

設(shè)平

=0,

y—z

2x—

=0,

HCm

即

?

0.

2z=

2y+

.-x+

,

m=O

.HD

1,1),

(0,—

則m=

=l,

令z

為仇

面角

〃的平

O一

8—C

面角

設(shè)二

=

=

?

fS^

"rz

A。

加1=

C,

s(.A

由|co

2

42

42X

lM|

14a

,

。=卓

得

sin

.

值為坐

的正弦

平面角

一〃的

-C。

面角8

故二

i_L平

AB5A

i,平面

lBB

,AC

B1BC

中,A

BiG

—Ai

ABC

棱臺(tái)

,在三

如圖

模擬)

?長(zhǎng)沙

2023

5.(

%.

BCG

平面

F〃

,且O

2EB

AE=

D,

于點(diǎn)

相交

4c

G與

2,4

B&=

=4,

,8c

8=6

C,A

面A8

為積;

C^的

A^B^

錐C-

三棱

(1)求

￡

+夕=

證：。