第14章勾股定理（考點專練）

考點一勾股定理的證明方法（共4題）

1.（23-24八年級上-江蘇蘇州?階段練習(xí)）勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明

是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（）

2.（23-24八年級下-遼寧葫蘆島?期中）勾股定理是平面幾何中一個極為重要的定理，世界上各個文明

古國都對勾股定理的發(fā)現(xiàn)和研究信出過貢獻.特別是定理的證明，據(jù)說方法有400余種.其中我國漢代的趙

爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出了證明.請你用下面弦圖（山四個全等的直角三角形圍成的）證明勾股定理:

如果直角三角形48c的兩條直角之長分別為。力，斜邊長為c,那么/+/=02.

EN

3.（23-24八年級上?上海?單元測試）如圖，RtAJ5C=RtACZ）￡,NB=ND=90。,且4、C、。三點

在同一條直線上，試利用這個圖形證明勾股定理公式.

4.（24-25八年級上?河南鄭州-階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組參照教材上的材料進行勾股定理的項目式探究,

并制表如下：

利用剪拼法證明勾股定理

背

意大利著名畫家達?芬奇證明勾股定理的剪拼法.

景

①在紙片上繪制兩個邊長分別為a、②將左右兩部③將右側(cè)部分翻折，④左右兩部分拼接

。的正方形分剪開并平移在一起

步

驟90

說明：①中大小正方形公共頂點的鄰邊分別在一條直線上；步驟①中多邊形的面積為S，步驟④中多

邊形的面積為52.111

問題解決

（1）請用含a,b,。的代數(shù)式分別表示,52；

任

務(wù)

（2）請利用等積法證明勾股定理.

考點二以弦圖為背景的計算題（共4題）

1.（24-25八年級上?吉林白城?階段練習(xí)）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個

全等的直角三角形圍成，在中，已知直角邊8C=5,AC=7,貝lJCD=.

2.（24-25八年級上?陜西西安?開學(xué)考試）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理.如圖所示

的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的?個大正方形.設(shè)直角三角形的兩條直

角邊長分別為勿，〃（〃?>〃）.若小正方形面積為5,（〃?+〃）？=21,則大正方形面積為_______.

3.（24-25八年級上-四川成都?階段練習(xí)）青朱出入圖（圖1）是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補術(shù)”

運用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理引入的圖形，該圖中的兩個青入的三角形分別與兩個青出的三角形全等，朱入

與朱出的三角形全等，朱方與青方是兩個正方形.為便于敘述，將其繪成圖2,若記朱方對應(yīng)正方形

的邊長為a,肯方對應(yīng)正方形月68的邊長為人已知匕-。=3,a2+b2=29?則圖2中的陰影部分面積為

4.（22-23八年級下-山東濰坊?期中）閱讀材料，解決問題:

三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明.實際上，該“弦圖”

與完全平方公式有著密切的關(guān)系.如圖2,這是由8個全等的直角邊長分別為*斜邊長為。的三角形

拼成的“弦圖”.

圖1圖2

（1）在圖2中，正方形力BC。的面積可表示為______,正方形尸。歷義的面積可表示為_______（用含〃，力的

式子表示）；

⑵請結(jié)合圖2用面積法說明S+（山,（a-。）?三者之間的等量關(guān)系;

（3）已知〃+力=7,ah=5,求正方形的面積.

考點三勾股數(shù)問題（共4題）

1.（24-25八年級上?安徽宿州?階段練習(xí)）下面三組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是（）

A.3、-4、5B.1.5、2、2.5C.8J5J7D.5X13

2.（22-23八年級上?江蘇連云港-期中）有一個邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右

肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了

如國，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2022次后形成的圖形中所有

的正方形的面積和是（）

A.2023B.2022C.2021D.1

3.（23-24八年級下?廣西桂林?期末）如圖，正方形力8。。的邊長為其面積標記為E，以CO為斜邊

作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為名，…，按此規(guī)

律，則邑024的值為_.（結(jié)果用含。的式子表示）

4.（23-24八年級上?山東濟南?階段練習(xí)）據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年度高對周公說,

將一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五.后人

概括為“勾三、股四、弦五”.

（1）觀察：3,4,5；5,12,13：7,24,25；…，小明發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間

斷過，當勾=3時，股4=g（9一1）,弦5=（（9+1）：當勾=5時，股12=（（25-1）,弦13=（（25+1）：

2222

請根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出7,24,25股和弦的算式.

（2）請你根據(jù)（I）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用〃（〃為奇數(shù)且〃23）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股

、弦，猜想他們之間的相等關(guān)系，并對你的猜想加以證明；

（3）繼續(xù)觀察4,3,5；6,8,10：8,15,17；可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間

斷過.請你直接用力（加為偶數(shù)且〃?24）的代數(shù)式來表示他們的股和弦.

考點四以直角三角形三邊為邊長的圖形面積（共4題）

1.（24-25八年級上?江西景德鎮(zhèn)?階段練習(xí)）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角

三角形，其中最大的正方形的邊長為6cm,則正方形力、B、C、〃、E、〃的面積之和為cm2.

2.（23-24八年級上?江蘇徐州?階段練習(xí)）如圖，五個正方形放在直線"N上，正方形力、a的面積

依次為3、5、4,則正方形反〃的面積之和為_________.

3.（24-25八年級上-陜西西安-開學(xué)考試）如圖，陰影部分表示以Rt△力應(yīng)、的各邊為直徑的三個半圓所

組成的兩個新月形，面積分別記作E和S?.若SfAB=6,則.ABC的周長為.

AB

4.（24-25八年級上?陜西西安?階段練習(xí)）現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長

分別是a、b、。用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長分別為a和〃的正方形）；用另

外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長為，的正方形）

（1）觀察：從整體看，整個圖形的面積等于各部分面積的和所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為

,記為結(jié)論①：圖2中的大正方形的面積又可以用含字母&、。的代數(shù)式表示為：

記為結(jié)論②：圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數(shù)式表示為：記為結(jié)論

③：

⑵思考：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個等式到一個等式,結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論

③，可以得到一個等式；

⑶應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4）三個半圓的面積分別記作S，S”S3,

且$+$2+用=20,求S2的值.

考點五用勾股定理解三角形（共4題）

1.（23-24八年級下-全國-單元測試）直角三角形中，兩條直角邊的邊長分別為6和8,貝！斜邊上的高

長是（）

A.4.8B.5C.10D.24

2.（22-23九年級上-四川成都?階段練習(xí)）如圖，在中，AB=AC=6,〃為4。上一點，連接

BD,^.BD=BC=4,則QC為________.

3.（24-25八年級上?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖：Rta/18。斜邊4C的中垂線交邊于點￡若

AC=3,8c=5,求月E的長.

C

4.（24-25九年級上?遼寧鐵嶺?階段練習(xí)）已知是的三邊長，a〈c,滿足

<72+Z>2-1067-8/）+41=0?求c1的，直.

考點六用勾股定理求線段的平方和差（共4題）

1.（20-21八年級上?甘肅蘭州?期中）在RtZ\/8C中，斜邊8。=1,貝IJ/出2+/。2+4。2=.

2.（23-24八年級下?河南鄭州?期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的''垂

美”四邊形48C。，對角線4C,B。交于點O,若力。=3,BC=8,則4爐+。。2=____.

3.（21-22八年級?江蘇?假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB=AC,力。工8。于點〃，NCBE=45°,BE

分別交AC,AD于點、E、F,連接C/<

⑴判斷ABCF的形狀，并說明理由;

（2）若力/=8。，求證：BF'EF'AE，

4.(23-24九年級上?全國?開學(xué)考試)如圖，NMON=30,直線/與NMON的兩邊分別交于A,B

兩點，作等邊三角形ABC,使點C在4MoN內(nèi)部，在“0B外部.

(1)求/CAM+ZCBN的度數(shù).

(2)用等式表示線段OA,OB,0C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

考點七勾股定理與折疊問題（共4題）

1.（24-25八年級上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，將長方形力8c。沿對角線/C翻折，點??落在點尸處,

FC交/D于點E,若44=4,8c=8,則的面積為_______.

2.（23-24八年級下?全國?單元測試）如圖，折疊直角梯形紙片的上底力。，點〃落在底邊8C上點尸處,

已知力。=10cm,CQ=8cm,則EC長為cm.

3.（2024八年級上?全國?專題練習(xí)）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊分別為：JC=6cm,

8c=8cm,現(xiàn)將直角邊力。沿直線力。折疊，使它落在斜邊力8上，且與力后重合，求CQ的長.

4.（24-25八年級上?廣東深圳?階段練習(xí)）長方形力8c。中，AB=5,BC=4,將長方形折疊，使得點

6落在線段CO上，求線段8E的長.

考點八勾股定理與網(wǎng)格問題（共4題）

1.（23-24八年級下?吉林白城?階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，P為CD上任意一點,

（P8+4）（P3—4）的值為（）

A.6B.8C.10D.12

2.（23-24八年級下?廣西梧州?期中）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長都是1,則〃功+8。2+4;2

的值是（）

A.4B.8C.10I).12

3.（22-23八年級上?內(nèi)蒙古包頭-期末）如圖，小方格都是邊長為2的正方形，則△ABC中8c邊上的高

是（)

A.2.4B.2.6C.2.8D.3

4.（23-24八年級下?安徽六安?階段練習(xí)）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△

ABC的頂點都在小正方形網(wǎng)格線的交點上.求△ABC的周長及46邊上的窗.

考點九勾股定理的逆定理（共4題）

1.（24-25八年級上?貴州畢節(jié)?階段練習(xí)）AABC的三條邊分別為b、c,下列條件不能判斷aABC是

直角三角形的是（）

A.b2=a2-c2B./A=NB+NC

C.ZJ:ZZ?:ZC=3:4:5D.a=6,b=S,c=\0

2.（2023八年級上?甘肅白銀?學(xué)業(yè)考試）已知〃，b,c是AABC的三邊長，且滿足關(guān)系

\/a'—b2—c2+|Z>-c|=0,則△ABC的形狀是.

3.（24-25八年級上?遼寧沈陽?單元測試）如圖，在四邊形力8c。中，AB=AD=2,BC=3,CD=i,

N/=90。，求/力。。的度數(shù).

4.（24-25八年級上?甘肅張掖?階段練習(xí)）如圖，已知正方形網(wǎng)格中的△ABC,若每個小方格的邊長為1,

請你根據(jù)所學(xué)的知識解答下列問題.

（1）求△ABC的面積;

⑵判斷AABC是什么形狀？并說明理由.

考點十勾股定理的應(yīng)用（共4題）

1.（24-25八年級上?河南鄭州?階段練習(xí)）如圖，已知樓梯長5m,高3m,現(xiàn)計劃在樓梯的表面鋪地毯,

則地毯的長度至少需要（）

A.10mB.9mC.8mI).7m

2.（24-25九年級上?黑龍江綏化?開學(xué)考試）如圖，現(xiàn)有一長方體的實心木塊，有一螞蟻從力處出發(fā)沿

長方體表面爬行到C處，若長方體的長48=4cm,寬8c=3cm,高8*=2cm,則螞蟻爬行的最短路徑是

cm.

3.（24-25八年級上-山西太原?階段練習(xí)）如圖1,一架云梯斜靠在一面豎直的墻上，云梯48的長為25

米，云梯頂端離地面15米.

⑴這架云梯的底端離墻面有多遠?

（2）如圖2,如果梯子的頂端下滑了8米，那么梯子的底端向右滑動了多少米？

4.（24-25九年級上?廣西南寧?開學(xué)考試）“兒童散學(xué)歸來早，忙趁東風(fēng)放紙鶯”.又到了放風(fēng)箏的最

佳時節(jié).某校八年級（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度CE,他們

進行了如下操作：①測得水平距離8。的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線8C的長為25

米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米.

⑴求風(fēng)箏的垂直高度CE；

（2）如果小明想風(fēng)箏沿。力方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？

考點十一勾股定理的逆定理的應(yīng)用（共4題）

1.（24-25八年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，某小區(qū)的兩個噴泉48位于小路/C的同側(cè)，兩個噴

泉之間的距離AB的長為250m.現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)供水管道AM,BM,供水點V在小路JC±,供水點〃到

AB的距離MN的長為120m,BM的長為150m.

⑴求供水點"到噴泉A需要鋪設(shè)的管道長;

（2）試說明乙"http://=90。.

2.（24-25八年級上?山東荷澤?階段練習(xí)）如圖所示的，小明制作一個模具，AD=4cm,CD=3cm,

乙4DC=90。，44=13cm,8c=12cm,求這個模具的面積.

A

3.(2024八年級上?浙江?專題練習(xí))臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)

形成極端氣候，有極強的破壞力，如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向由點力向點8移動，己知點。為一海

港，且點C與直線上兩點力、.夕的距離分別為300km和400km,又48=500km,以臺風(fēng)中心為圓心周圍

250km以內(nèi)為受影響區(qū)域.

(1)海港。會受臺風(fēng)影響嗎？為什么？

⑵若臺風(fēng)的速度為20km/h,臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？

4.(24-25八年級上?河南鄭州-階段練習(xí))近年來，河南嵩縣通過人居環(huán)境的不斷提質(zhì)發(fā)展，城鄉(xiāng)綠化

覆蓋率達到60%以上，助力城鄉(xiāng)人居環(huán)境提質(zhì)“美顏”.如圖，現(xiàn)有一塊四邊形空地力8。。，計劃在空地

上種植草皮，經(jīng)測量，Z/1DC=90°,J5=13m,BC=\2m,CD=3m,/R0之間的距離是5m.

(1)求/。的長度.

⑵若種植草皮需要100元/m"則給這塊四邊形空地種植草皮需要多少元?

考點十二反證法（共4題）

1.（23-24八年級下-江蘇泰州-階段練習(xí)）我們可以用反證法來證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)

角小于或等于60。”.下面寫出了證明該問題過程中的四個步驟：①這與“三角形的內(nèi)角和等于180?！边@個

定理矛盾.②所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60。.③假設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等

于60。，即三個內(nèi)角都大于60。.④則三角形的三個內(nèi)角的和大于18（）。.這四個步驟正確的順序是.

2.（23-24九年級下?湖南長沙-期中）在一次游戲活動中，鈍老師將三個顏色不同的小球分發(fā)給小雅、

小培和小粹三個同學(xué)，其中有一個小球顏色是紅色.

小雅說：“紅色球在我手上”：

小培說：“紅色球不在我手上”；

小粹說：“紅色球肯定不在小雅手上”.

三個同學(xué)只有一個說對了，則紅色球在的手上.

3.（22-23八年級下?河南平頂山?期中）用反證法證明命題：“已知”8C,485C,求證：

N3<90。.”第一步應(yīng)先假設(shè).

4.（23-24八年級下?全國?課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，AC>AB,力。是△ABC的中線，力入叱于

點￡用反證法證明：點〃與點￡不重合.

第14章勾股定理（考點專練）

考點一勾股定理的證明方法（共4題）

1.（23-24八年級上-江蘇蘇州?階段練習(xí)）勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明

是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（)

A.

【答案】A

【分析】本題主要考查勾股定理的證明過程，關(guān)鍵是要牢記勾股定理的概念，在直角三角形中，兩條直角

邊的平方和等于斜邊的平方.分別利用每個圖形面積的兩種不同的計算方法，再建立等式，再整理即可判

斷.

【詳解】解：A、大正方形的面積等于兩個小正方形的面積與兩個長方形的面積和,

(?7+b)1=42+2ab+b1,

以上公式為完全平方公式，故A選項不能說明勾股定理,

B、由圖可知三個三角形的面積的和等于梯形的面積,

-ab+—ab+—c'=—(a+b)(a+b),

2222

整理可得/+/=。2,故B選項可以證明勾股定理,

C、大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積,

^X—a/>+c2=(a+b)2,

整理得/+/=,2,故C選項可以證明勾股定理,

【）、整個圖形的面積等于兩個三角形的面積加大正方形的面積，也等于兩個小正方形的面積加二兩個直角三

角形的面枳,

：.c2+2x—ab=a2+b2+2x—ab,

22

整理得,故D選項可以證明勾股定理,

故選：A.

2.（23-24八年級下-遼寧葫蘆島-期中）勾股定理是平面幾何中一個極為重要的定理，世界上各個文明

古國都對勾股定理的發(fā)現(xiàn)和研究作出過貢獻.特別是定理的證明，據(jù)說方法有400余種.其中我國漢代的趙

爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出了證明.請你用下面弦圖（由四個全等的直角三角形圍成的）證明勾股定理:

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為凡人，斜邊長為J那么/十方2=02.

【答案】見解析

【分析】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)，完全平方公式等知識.熟練掌握勾股定理的證

明，完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

由弦圖可知，RSAGB迫R3BDM@RSMEN^R^NFA,則四邊形力和四邊形。EFG是正方形，由

222

S正方形OEFG=Sgjxsw.v+4s“GH?可得（。+，）2=c"+4x5,整理得a+b=c>

【詳解】證明：由弦圖可知，Rl"GB@RSBDM@RSMENQRIANFA,

???四邊形ABMN和四邊形DEFG是正方形,

*,$正方形OMG=$JE1W.V+4SadGS?

(a+b)~=c~+4x—cib,

2

a'+lab+b2=c2+lab>

3.（23-24八年級上?上海?單元測試）如圖，RS,4BC三RtMDE,NB=ND=90。,且3、C、。三點

在同一條直線上，試利用這個圖形證明勾股定理公式.

【答案】見詳解

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理證明.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活

運用.

由圖知，梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和，用字母表示出來，化簡后，即證明勾股定理.

【詳解】證明：?:RFB8RsCDE/B=ND=9M,

ZACB=NCED,NBAC=Z.ECD,

ZBAC+ZACB=90°,

.'.ZJC￡=90°,

三個直角三角形其面積分別為!4b，!他和!’2.

222

直角梯形的面積為gs+6）g+6）.

由圖形可知：1（。+5）（。+3=］而+］必+102,

2222

整理得（。+b）2=2ab+c2,a2+b2+lab=lab+c2,

a?+b?=c-

4.（24-25八年級上?河南鄭州?階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組參照教材上的材料進行勾股定理的項目式探究,

并制表如下：

利用剪拼法證明勾股定理

背

意大利著名畫家達?芬奇證明勾股定理的剪拼法.

景

①在紙片上繪制兩個邊長分別為以②將左右兩部③將右側(cè)部分翻折，④左右兩部分拼接

人的正方形分剪開并平移在一起

0

步

驟

說明：①中大小止方形公共頂點的鄰邊分別在一條直線上；步驟①中多邊形的面積為步驟④中多

邊形的面積為111

問題解決

（1）請用含a,b,C的代數(shù)式分別表示B，S2；

任

務(wù)

（2）請利用等積法證明勾股定理.

【答案】（1），;（2）證明見解析.

【分析】本題考杳勾股定理的證明，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖形信息.

（1）根據(jù)直角三角形以及正方形的面積公式計算即可解決問題：

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及邑可證明勾股定理.

【詳解】解：（1）S=/+//+2xg"=/+，/+R）,

2

S2=c+2x；=c，+ab；

（2）由E=s?得，

a1+b2+ab=c:+ab,

所以/+〃=°2.

考點二以弦圖為背景的計算題（共4題）

1.（24-25八年級上?吉林白城?階段練習(xí)）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個

全等的直角三角形圍成，在RlZX/IBC中，已知直角邊8c=5,AC=7,則CQ=.

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)“趙爽弦圖”的示意圖是由四個全等的直角三角形圍成，得

ll]BD=AC=7,則CQ=4Q-代入數(shù)值計算，即可作答.

【詳解】解：???“趙爽弦圖”的示意圖是由四個全等的直角三角形圍成,

BD=AC=7,

：.CD=BD-BC=l-5=2,

故答案為:2.

2.（24-25八年級上?陜西西安?開學(xué)考試）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理.如圖所示

的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形.設(shè)直角三角形的兩條直

角邊長分別為勿，〃（〃?>〃）.若小正方形面積為5,（〃?+〃『=21,則大正方形面積為.

【答案】13

【分析】根據(jù)題意，得是大正方形大的面積，小正方形的面積為一〃『二5,結(jié)合公式

/〃+〃)-=21,計算m2+/J即可.

本題考查了弦圖中公式變形計算，熟練掌握公式變形，弦圖的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，得（〃?-冷2=5,（〃?+〃）2=21,

nr-2mn+n2=5?m+2mn+n2=21

2221+5

nr+n-=F=13.

故答案為：13.

3.（24-25八年級上-四川成都?階段練習(xí)）青朱出入圖（圖1）是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補術(shù)”

運用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理引入的圖形，該圖中的兩個青入的三角形分別與兩個青出的三角形全等，朱入

與朱出的三角形全等，朱方與青方是兩個正方形.為便于敘述，將其繪成圖2,若記朱方對應(yīng)正方形GD/”

的邊長為a,青方對應(yīng)正方形力4C。的邊長為從已知方-。=3,a2+b2=29,則圖2中的陰影部分面積為

【答案】10

【分析】本題考查數(shù)學(xué)文化與幾何概型，涉及到全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式變形求值.根

據(jù)題意可得可以求出5〃“=，心”，即可得到圖2中的陰影部分面積為Sew+邑股“，用&b

表示后計算即可.

【詳解】如圖,

???朱力對應(yīng)正力形的邊長為a,育力對應(yīng)正力形48C。的邊長為b,

GD=GH=ci,CD=BC=b,

???朱入與朱出的三角形全等，

???AFNKHGHI,

:,FN=GH=a,

???兩個青入的三角形分別與兩個青出的三角形全等,

???JJCaKAM，AGFN&CMB，

:，S"JC=,BM=FN=a,

???陽影部分面枳為S四邊形3〃+SgM+sbBCM

=5四邊形G/M++S^BCM

—<J.

一?dGDCv

=-GDCD+-BMBC

22

=—ab+-ah=ah,

22

b-a=3,a2+b?=29>

.“6=(/+止(j)J"=]0,即陰影部分的面積為10,故答案為：10.

22

4.(22-23八年級下-山東濰坊-期中)閱讀材料，解決問題：

三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明.實際上，該“弦圖”

與完全平方公式有著密切的關(guān)系.如圖2,這是由8個全等的直角邊長分別為。，6,斜邊長為。的三角形

拼成的“弦圖”.

AB

圖1圖2

(1)在圖2中，正方形力8c。的面積可表示為,正方形尸。歷N的面積可表示為(用含。，b的

式子表示)；

⑵請結(jié)合圖2用面積法說明(a+b『，ab,三者之間的等量關(guān)系；

⑶已知”+b=7,ab=5,求正方形勿G”的面積.

222

【答案】(1)(67+/7)；(a-b)\(2)(a+b)=(a-b)+4abi⑶正方形EFG”的面積為39

【分析】本題考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面積，關(guān)鍵是應(yīng)用正方形的面積公式進行計算.

(1)由正方形面積公式即可得到答案；

(2)由正方形力8co的面積=正方形MNP。的面積+直角三角形的面積x8,即可得到答案；

(3)由正方形E尸G〃的面積=正方形44。。的面積-直角三角形的面積x4,得到正方形EFG〃的面

=(a+b)2-2ab,代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可計算.

【詳解】(1)解：正方形48co的面積可表示為(〃+/)『，正方形尸QMN的面積可表示為(〃-

故答案為：("+b)~；(a—b)2；

(2)解：???正方形力8C。的面積=正方形MNP。的面積+直角三角形的面積x8,

/.(a+b)2=(a-b)2+gabx8,

：.(a+b)'=(a-b\+4ab；

(3)解：?.?正方形E尸GH的面積=正方形力8C。的面積-直角三角形的面積x4,

/.正方形EFGH的面積=(a+"x4=5+〃)2-2"=7?-2x5=39.

考點三勾股數(shù)問題(共4題)

1.(24-25八年級上-安徽宿州-階段練習(xí))卜面三組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是()

A.3、-4、5B.1.5、2、2.5C.8J5J7D.5X13

【答案】C

【分析】本題考杳勾股數(shù)，勾股數(shù)的定義：滿足/+/=°2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：A,-4不是正數(shù)，因此3、-4、5不是勾股數(shù)，不合題意;

B,L5,2.5不是整數(shù)，因此1.5、2、2.5不是勾股數(shù)，不合題意;

C,82+152=17\因此8J5J7是勾股數(shù),符合題意;

D,52+82*132,因此5、8、13不是勾股數(shù),不合題意；

故選C.

2.（22-23八年級上?江蘇連云港-期中）有一個邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右

肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了

如圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2022次后形成的圖形中所有

的正方形的面積和是（）

【答案】A

【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是bt斜邊長為c,那么

.根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律,

根據(jù)規(guī)律解答即可.

由題意得，正方形A的面積為】，

由勾股定理得，正方形4的面積+正方形C的面積=1,

“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

???“生長”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2023,

故選：A

3.（23-24八年級下?廣西桂林?期末）如圖，正方形力8c。的邊長為其面積標記為E，以CO為斜邊

作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的?條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為星，…，按此規(guī)

律，則邑024的值為,（結(jié)果用含。的式子表示）

【答案】//

【分析】本題主要考查了勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理與正方形面積的關(guān)鍵找出規(guī)律.

根據(jù)勾股定理可得由+C=必，從而得到S2=gS1,依次類推，即可得到S3=4S2=!4,找出規(guī)律,

224

進而得到S2024的值.

【詳解】解：如圖所示，為等腰直角三角形，

貝ijCE=DE,DE2+CE2=DC2.

2DE1=CD2,

即$2小=家，

同理可得:S3=：S]=*/㈤=g$3=(S]=^S].

故答案為：~^2023a-

4.(23-24八年級上-山東濟南-階段練習(xí))據(jù)我國占代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對周公說,

將一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五.后人

概括為“勾三、股叫、弦五”.

⑴觀察：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…，小明發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有問

斷過，當勾=3時，股4=g(9—1),弦5=:(9+1)；當勾=5時，股12=1(25—1),弦13=入25+1)；

2222

請根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出7,24,25股和弦的算式.

(2)請你根據(jù)(I)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用〃(〃為奇數(shù)且〃之3)的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾_____、股

、弦，猜想他們之間的相等關(guān)系，并對你的猜想加以證明；

⑶繼續(xù)觀察4,3,5；6,8,10；8,15,17；可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間

斷過.請你直接用"(加為偶數(shù)且〃，之4)的代數(shù)式來表示他們的股和弦.

【答案】⑴股的算式為：24=||49-1)；弦的算式為：25=1(49+1)；⑵〃，；(/+1)；證

明見解析；⑶股表示為：ej-1;弦為：圖;

【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用及新定義的計算方法與規(guī)律，理解題意，通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題

關(guān)鍵.

(1)先計算，然后根據(jù)計算找出相應(yīng)規(guī)律求解即可；

(2)依據(jù)(1)中的計算結(jié)果得由勾股弦的代數(shù)式，然后猜想關(guān)系證明即可；

(3)根據(jù)(1)(2)中的方法先計算股、弦，然后找出規(guī)律得出表達式即可.

【詳解】(1)；(9—1)=4,；(9+1)=5；1(25-1)=12,1(25+1)=13；

：.7,24,25的股的算式為：24=1(49-1)；

弦的算式為：25=1(49+1)；

(2)當〃為奇數(shù)且〃23時，勾、股、弦的代數(shù)式分別為：〃，1(n2+l),

猜想他們之間的關(guān)系為：①弦一股=1；②勾2+股2=弦2；

證明：①弦一股=；(r+1)—-1)=g[(〃2+1)—(〃2—1)]=1；

②勾2+股2=弦2/+山〃2-1行=%+1+：=匕(/+I)]2；

24242

故答案為：〃，/(/—I)，；0/+1)；

(3)4,3,5的股、弦表示為：仁[-1=3,8+1=5；

6?8,10的股、弦表示為：(專)-1=8,(?)+1=10：

???，〃為勾，股表示為：(三)-1:弦為：(￡)+1.

考點四以直角三角形三邊為邊長的圖形面積(共4題)

1.(24-25八年級上?江西景德鎮(zhèn)?階段練習(xí))如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角

三角形，其中最大的正方形的邊長為6cm,則正方形力、B、C、D、E、〃的面積之和為cm2.

【答案】72

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用：根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，得到四個小正方

形的面積之和等于最大正方形的面積，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)可知,

S正方形E+S正方形「=5大正方形=6~=36(cm

SJE方影c+S正方形〃=S|E方即￡,

S|E方形》+S正方形&=S正方膨產(chǎn),

S大正方形=$正方形d+S正方形s+S正方形c+S正方形。=36（cm2）

???正方形爾B、aD、E、尸的面積之36+36=72（cm）；

故答案為：72.

2.（23-24八年級上?江蘇徐州-階段練習(xí)）如圖，五個正方形放在直線“N上，正方形月、a片的面積

依次為3、5、4,則正方形反〃的面積之和為

N

【答案】17

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理的幾何意義可得：S正方形4+S正方形c=S正方形8，

S|E方形C+S/E方形￡?=S正方形。,得出S正方形o+S|E方形s=S正方形￡+S正方癡+2s正方形c，代入計算即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義可得：S正方形x+S止方形c=S正方形8,S正方形c+S正方形E=S正方形。，

S正方形D+S正方形8=S正方形（.+S正方形￡+S正方形d+S正方形（?=S正方形￡+S正方形h+2s正方形。，

???正方形月、C、￡的面積依次為3、5、4,

???正方形公〃的面積之和為3+4+2x5=17,

故答案為：17.

3.（24-25八年級上-陜西西安-開學(xué)考試）如圖，陰影部分表示以Rt△力6。的各邊為直徑的三個半圓所

組成的兩個新月形，面積分別記作E和耳.若$+邑=7,45=6,貝IJAABC的周長為_______.

【答案】14

【分析】本題考查的是勾股定理，熟練掌握與勾股定理有關(guān)圖形面積計算是解題關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理得到力。2+g2=4]=36,根據(jù)半圓面積公式、完全平方公式由￡+$=7可得力C?BC=14,

222

由..（AC+BC）=AC+BC+2ACBC=64f即可求解.

【詳解】解：由勾股定理得，AC2+BC2=AB?，

,/S+S2=7,

:.^(AC2+BC2-+BC=7,

：.ACBC=14,

,48=6,

???AC2+BC2=AB2=36,

:.(AC+BC)2=AC2+BC2+2ACBC=36+2x\4=64,

：.AC+BC=S（負值舍去），

.?.“BC的周長=4B+/C+BC=6+8=14,

故答案為：14.

4.（24-25八年級上?陜西西安?階段練習(xí)）現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長

分別是a、b、。用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長分別為a和6的正方形）；用另

外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長為c的正方形）

（1）觀察：從整體看，整個圖形的面積等于各部分面積的和所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為

e+，記為結(jié)論①：圖2中的大正方形的面積又可以用含字母&、力的代數(shù)式表示為：

記為結(jié)論②；圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數(shù)式表示為：記為結(jié)論

（2）思考：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個等式到一個等式,結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論

③，可以得到一個等式;

⑶應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4）三個半圓的面積分別記作S，52,邑

且，+S2+W=20,求S2的值.

2222

【答案】（1）/+2"+/,2ab+c;（2）+=a+2ab+b-a~+b~=e:（3）S2=1（）

【分析】本題考查完全平方.公式的幾何表示形式，勾股定理幾何意義，圓面積公式，解題的關(guān)鍵在于利用

數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

（1）根據(jù)圖形分別表示出圖2中的大正方形的面積和圖3中的大正方形的面積即可；

（2）根據(jù)結(jié)論進行等量代換，即可解題；

（3）根據(jù)圖形和圓的面積公式分別表示出S，凡，s3,再根據(jù)E+§2+53=20建立等式，結(jié)合/+//=。2

求解，即可解題.

【詳解】（1）解：由圖知，圖2中的大正方形的面積又可以用含字母a、。的代數(shù)式表示為：

a2++ah+b~=a2+2ab+b2,

圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數(shù)式表示為：

4x—ab+c2=2ab+c2,

2

故答案為：a2+2ab+b2,2ab+c2.

（2）解：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個等式到一個等式：（。+8）2=/+2"+〃；

a'4-2ab+b2=lab4-c2?H|Ja2+b2=c2

所以結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個等式：a2+b2=c2x

2222

故答案為:（a+bf=a+2ab+bta+h=c\

（3）解：由圖知，

?.?5)4-S2+53=20,

22

：.-b+S,+-a=20t

8-8

,?*a2+b2=C,2，

+b~^+S2=—c~+S2=2s2=20,

8'8

解得$2=10.

考點五用勾股定理解三角形（共4題）

1.（23-24八年級下?全國?單元測試）直角三角形中，兩條直角邊的邊長分別為6和8,見斜邊上的高

長是（）

A.4.8B.5C.10D.24

【答案】A

【分析】本題主要考查勾股定理及直角三角形的面積，利用勾股定理求出斜邊是解題的關(guān)鍵.

首先根據(jù)勾股定理求出斜邊，然后利用三角形的面積求高即可.

【詳解】解：???直角三角形的兩條直角邊的長分別為6和8,

二斜邊為=

設(shè)斜邊上的高為〃，

v-x6x8=—x10/z,

22

h=4.8,

故選：A.

2.（22-23九年級上?四川成都?階段練習(xí)）如圖，在△//（：'中，AB=AC=6,〃為4c上一點，連接

BD,且BD=BC=4,則QC為________.

A

A

BC

【答案】

【分析】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，

屬于中考?？碱}型.作于.設(shè),則有:,曰此構(gòu)建方程

求出即可解決問題.

【詳解】解：如圖,作8￡_L力C于E.

BD=BC,BELCD,

:.EC=DE,設(shè)EC=DE=x,

則有：BE2=AB--AE2=BC2-EC2,

/.62-（6-x）2=42-x2,

4

解得：x=-,

J

Q

:.CD=2EC=