中考撤號(hào)

矩形存在性問題鞏固練習(xí)

1.如圖，拋物線j，=-9+軸1與y軸交于點(diǎn)兒對(duì)稱軸交X軸于點(diǎn)8,連月8,點(diǎn)尸在y和上，點(diǎn)。在

拋物線上，是否存在點(diǎn)尸和。.使四邊形力80。為矩形？若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】先令x=0,求出y的值得到的長度，根據(jù)對(duì)?稱他解析式求出08的長度，根據(jù)矩形的四個(gè)

角都是直角可得N/8Q=9（）°,然后求出NB4O=NQ8O,從而得到△力（加和△8OP相似，利用相似三

角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出OP的長度，再根據(jù)矩形的對(duì)稱性求出矩形的中心C的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)。的坐

標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入勉物線解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【解答】解：存在點(diǎn)尸和點(diǎn)。使四邊形48P。為矩形，

理由如下：令工=0,則y=l,

：,AO=\.

???拋物線對(duì)稱軸為直線》=-七17=2，

2x（一彳）

：.OB=2,

???四邊形/WP。為矩形，

；?NABO+NPBO=N/8P=90°,

VZBAO+^ABO=90°,

：?4BAO=/PBO,

又,：4AOB=/BOP=90°,

???△AOBS/\BOP,

9AO_OB

1-OP*

中考撤號(hào)

解得0P=4,

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0，-4）,

???力尸的中點(diǎn)，即矩形的中心C的坐標(biāo)是（0,-1.5）,

設(shè)點(diǎn)0（x,y）,則^^=0,巧^二一1.5,

解得x=-2,y=-3,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,-3）,

當(dāng)x=-2時(shí),y=-1x（-2）24-7x（?2）+1=+1=-4+1=-3,

*5JJ

?,?點(diǎn)。在拋物線），=$2+*4上，

故存在點(diǎn)0（-2,-3）,使四邊形/出P。為矩形，

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,-3）.

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，中心對(duì)稱的點(diǎn)

的坐標(biāo)求出以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用中心對(duì)稱求出點(diǎn)。的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，ZACO=90°.把/O繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得08,連接力8,作軸于

D,點(diǎn)彳的坐標(biāo)為（?3,1）.

（1）求直線的解析式；

（2）若中點(diǎn)為連接CM,點(diǎn)。是射線CW上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)產(chǎn)

的橫坐標(biāo)為f,△PQO的面積為S（SW0）,求S與/的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量/的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在P點(diǎn)，使以P、0、B、N（N為平面上一點(diǎn)）

為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）先證明△力。得出/C=OO=1,OC=3O=3,B（1,3）,設(shè)直線的解析式

為：y=h+爪把點(diǎn)力（-3,1）,B（I,3）代入得出方程組，解方程組求出晨b,即可得出直線48的

中考核等

解析式：

(2)先求出M的坐標(biāo)，再求出直線CM的解析式，得出產(chǎn)的坐標(biāo)，即可得出S與/的函數(shù)關(guān)系式以及/

妁取值范圍；

(3)分兩種情況①點(diǎn)P為直線。/與CM的交點(diǎn)時(shí)，由直線。力和CM的解析式組成方程組，解方程

組即可求出P的坐標(biāo)；

②作8P_LO8交CM十產(chǎn)，求出直線8P的解析式，再求出直線8P與CM的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得：OA=OB,ZAOB=90°,0c=3,AC=\,C(-3,0),

AZAOC+ZBOD=90°,

??,BO_LE軸于Q,

AZBDO=90°,

；?NOBD+/BOD=90°,

???4A0C=/B0D,

(NACO=ZBDO=90°

在△4OC和△08。中，\/.AOC=^BOD,

[OA=OB

:.△AOgAOBD(/IAS),

：,AC=OD=\,OC=BD=3,

：.B(I,3),

設(shè)直線48的解析式為：y=kx+b,

把點(diǎn)力(-3,1),B(1,3)代入得：L

解得：k=$Z>=|,

；?直線AB的解析式為：y=務(wù)+,；

(2)???歷是/出的中點(diǎn)，J(-3,1),B(1,3),

：,M(-1,2),

設(shè)直線CM的解析式為：y=ox+c,

把點(diǎn)C(-3,()),M(-1,2)代入得：｛二:(2cH印

解得：a=l,c=3,

???直線CM的解析式為：尸產(chǎn)3,

設(shè)尸的坐標(biāo)為"什3),

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則△尸QO的面積S=：x/X（什3）=3+|f，

???點(diǎn)P是射線CM上的動(dòng)點(diǎn)，

-3,

1?

:.S=,2+,-3）；

q3113

（3）存在，點(diǎn)尸坐標(biāo)為＜-47?：4），或（41—4）;

理由如下：分兩種情況討論：

①點(diǎn)P為直線OA與CM的交點(diǎn)時(shí)：

V/1（-3,1）,

?\直線0A的解析式為：v=-X,

解方程組[v=-g；得：f

（y=%+3[y=-

②作BPLOB交CM于P,如藥所示:

則NOBP=90°，

???408=90°,

:?BP〃OA,

設(shè)直線4P的解析式為：y=-3+b,

把點(diǎn)6(1,3)代入得：b=y,

???直線4P的解析式為：1十+學(xué)，

y=x+3(X=-

{y~~3x+T(y=T

③當(dāng)NO尸8=90°時(shí)，易知尸（-1,2）或（0,3）,都符合題意；

綜上所述：存在尸點(diǎn)，使以尸、0、B、N（N為平面上一點(diǎn)）為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)尸坐標(biāo)為P（-

QR11?

工+，I4）,或（4了，4-）或（-1,2）或（0,3）.

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【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合顆目，考杳了全等三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析

式、二元一次方程組的解法等知識(shí)，本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要通過分類討論，求

出兩條直線的交點(diǎn)才能得出結(jié)果.

3.已知在平面直角坐標(biāo)系中，△H8C的頂點(diǎn)4、B、C的坐標(biāo)分別為（-1,0）（3,0）（0,V3）,將直線力C

受原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°成為直線/.

（1）求直線/的解析式；

（2）設(shè)直線/交y軸于點(diǎn)Z）,動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)以每秒1個(gè)單位速度沿直線/向斜上方運(yùn)動(dòng).點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為/秒，連接尸。、PB,設(shè)△PO4的面枳為S,求S與/的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量，的取值范

N：

（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)5作EB交直線！于點(diǎn)E,在點(diǎn)尸出發(fā)時(shí)，點(diǎn)。也從點(diǎn)E同時(shí)出

發(fā)，沿直線/向斜下方勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度大于點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度，則在直線/上是否存在這樣P、

。兩點(diǎn)，使尸、0兩點(diǎn)與4、B、C三點(diǎn)中的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形（非正方形）？若存在，請(qǐng)求出

【分析】（1）求得力和C關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解：

（2）分P在線段。尸上和在。尸的延長線上兩種情況進(jìn)行討金，求得產(chǎn)的縱坐標(biāo)，利用三角形的面積公

式求解；

（3）首先證明△48c是直角三角形，則力。_L8。，過/作4V_LQ/于點(diǎn)MBC與D尸相交于點(diǎn)則

P.。只能是?；騇或N中的點(diǎn)，然后進(jìn)行討論即可.

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【解答】解：（1）/和。關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)分別是（1,0）和（0，-V3）,

設(shè)直線/的解析式是丁=履+力，

則直線/的解析式是：y=\,3x-x,13:

（2）。的坐標(biāo)是（0,設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)是足則尸的坐標(biāo)是（1,0）,

則//=4（“3）2+12=2,S\n/ODF=\,則N。。產(chǎn)=30°,

當(dāng)P在線段上時(shí)，即0W/V2時(shí)，DG=DP*cosZODF=^-t,M（9G=\'3-^,

則S=gomOG=gx3X（木-斗）=-挈/+挈；

當(dāng)尸在。尸的延長線上時(shí)，即，>2時(shí)，PF=t-2,

則下到x軸的距離是:尸尸sin60°=￥（f-2）,

則S=；X3X￥（「2）=苧-哈

（3）在中，令x=3，則歹=3的一餡=2心，則E的坐標(biāo)是（3,2陋）.

??"、B、C的坐標(biāo)分別為（-1,0）（3,0）（0,?。?

??AC=<12+（\'3）2=2,BC=\/（\5）2+3?=2小,4B=4,

。是直角三角形，ZACB=9（）°,ZACO=30<,,NC4O=60。，

又?.?。廠與力。關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

:?NADB=90°,/。力。=60°,ZADO=30°,

①。在。點(diǎn)，尸在。關(guān)于尸對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，力。8。時(shí)矩形，則P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是4秒，0運(yùn)動(dòng)的距離是。e=

J32+（2\與+\8）2=6,則Q運(yùn)動(dòng)的速度是:單位長度/秒；

②過A作ANLD卜'于點(diǎn)N,BC與D卜相交于點(diǎn)M.

???/與4c關(guān)于O對(duì)稱，

:?BC】DF,

在直角△BA/F中,BF=2,則MF=2Xsin300=1,

在直角中，AF=2,^F=JF-sin300=1,

則當(dāng)P到N時(shí)，。到必時(shí)，四邊形4P0C是矩形，則QN=2-1=1,則，=1,0運(yùn)動(dòng)的距離是ME=2有

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xcos30°=2A/3X^=3,則。運(yùn)動(dòng)的速度是3單位長度/秒；

當(dāng)尸到。到N時(shí)，四邊形4QNC是矩形，DP=DM=3,則r=3,Q運(yùn)動(dòng)的距離是EN=EF+NF=

^+(^73)2+1=5,則速度是9單位長度/秒.

總之，Q的速度是萬單位長度/秒或3單位長度/秒或§單位長度/秒.

【點(diǎn)評(píng)】本題是待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中心對(duì)稱的性質(zhì)以及三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確確定P、Q

能取得的點(diǎn)的位置是關(guān)鍵.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)力(6,0),B(0,8)點(diǎn)。的坐標(biāo)為

(0,巾),過點(diǎn)C作"〃x軸，交48于點(diǎn)E,點(diǎn)。為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CO,DE,以CD,DE為

邊作口CQEK點(diǎn)。在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若存在唯?的位置，使得口CQb為矩形，請(qǐng)求出所有滿足條件

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【分析】使得口為矩形，則NCQE=90°,故以C￡為直徑作圓，與x軸相切即可.

【解答】解：設(shè)直線44的解析式為產(chǎn)=米+4

???直線48與入?軸、y軸分別交于點(diǎn)力（6,0）,B（0,8）,

■■&=°，解得

???直線力8的解析式為y=-%+8,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,〃?），過點(diǎn)C作CE〃x軸，

3

（（?〃，〃：），

:,E7480

使得口CQKF為矩形，則以為直徑作圓，與x軸相切.

取CE的中點(diǎn)P,過戶作PG_Lx軸于點(diǎn)G.

1O

則（）

PG=3ZCE=Wo8-w,

.*.|j（8-/H）\=m

解得fn=詈或m=

JLJLO

???所有滿足條件的小的值為得或Y.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，得

出尸點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,A的坐標(biāo)分別是（-5,0）,（0,5）,動(dòng)點(diǎn)〃從點(diǎn)。出發(fā)，沿x軸

正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)8出發(fā)，沿射線80方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)

動(dòng)，以CP,CO為鄰邊構(gòu)造平行四邊形尸COQ.在線段。尸延長線上一動(dòng)點(diǎn)E,且滿足PE=/O.

（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段04上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：四邊形/1OEC為平行四邊形：

（2）點(diǎn)?在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，（秒），使得四邊形力。&7是矩形？若存在，求f的值；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

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【分析】（1）連接CQ交4E于凡根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到C〃=OP,OF=PF,根據(jù)題意得到力/=

EF,又CF=DP,根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；

（2）當(dāng)四邊形力。EC是矩形時(shí)，/ACE=90：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接CO交4E于E

???四邊形PCOD是平行四邊形，

:?CF=DF,OF=PF,

?：PE=AO,

:?AF=EF,又CF=DF,

???四邊形4QEC為平行四邊形；

(2)存在，

理由：當(dāng)四邊形//Of。是矩形時(shí)，ZJC￡=90°,

VOCUE,

△ACOsMEO,

,AO__OC_

，，OC~'OE，

??,點(diǎn)/,8的坐標(biāo)分別是(-5,0),(0,5),

：.OA=OB=5,OC=5-t,OE=5+/,

.5_5-t

**5^7-5+t*

解得：/=()或/=15,

???當(dāng)/=()或f=15時(shí)，四邊形NOEC是矩形.

中考撤號(hào)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是坐標(biāo)和圖形、平行四邊形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的求法、銳角三角函數(shù)

知識(shí)的綜合運(yùn)用，正確運(yùn)用分情況討論思想和數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

6.已知二次函數(shù)J，=or2?26-3。(。為常數(shù)，。＞0)的圖象與x軸交于4、B兩點(diǎn)(點(diǎn)/在點(diǎn)8的左

側(cè)).與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)G,使四邊形8CG/為矩形？若存

在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】設(shè)對(duì)稱軸交x軸于。，過G點(diǎn)作G〃_L對(duì)稱軸于〃，易證得易證得XFHG必

COB,根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得出G的縱坐標(biāo)為根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出G(-2,5a),解[-

3a=5”，求得。的值，從而求得G的坐標(biāo)為(-2,|).

【解答】解：存在點(diǎn)G,使四邊形8CG/為矩形，

設(shè)對(duì)稱軸交x軸于。，過G點(diǎn)作6〃，對(duì)稱軸于H,

由二次函數(shù)y=aN-2ax-3a(a為常數(shù)，。＞0)可知C(0,-34)，

???OC=3a,

令y=0,貝I」-2ax-3a=0,解得X[=3,x2=~1＞

：.A(-1,0),B(3,0),

：.O吐3,對(duì)稱軸為直線x==》=1,

中考撤號(hào)

：.OD=\,

:?BD=2,

???四邊形BCGF為矩形,

:?NCBF=90°,

?/4FBD+/CBO=NOCB+NCBO=90°,

:./FDB=/OCB,

'：4FDB=/BOC=900,

:.△BDFsACOB,

?.?四邊形ACG廣為矩形，

:.BC=FG,/GFB=/FBC=9Q0,

ZFGH+ZGFH=NGFH+NBFD=NBFD+NFBD=ZFBD+ZCBO=NCBO+NOCB=900,

4FGH=NCBO,/GFH=NOCB,

在△H/G和△CO4中

ZFGH=ZCBO

FG=BC

乙GFII=乙OCB

???△/77G絲△COB（ASA）,

???G〃=O8=3,FH=OC=3a,

2

:.DH=7a,G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2,

把x=-2代入y=a--2at-3a（4為常數(shù)，a>0）得，y=5〃，

/.5a=-a-3a,

解得4=/或4=（舍去），

中考撤號(hào)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，三角形相似、三角形全等的性質(zhì)，數(shù)

形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，已知拋物線G：歹=-/+4,將拋物線C1沿X軸翻折，得到拋物線C2

（1）求出拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式；

（2）現(xiàn)將拋物線G向左平移冽個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到

右依次為4B；將拋物線C2向右也平移機(jī)個(gè)單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點(diǎn)為M與x軸交

點(diǎn)從左到右依次為。，E.在平移過程中，是否存在以點(diǎn)兒ME,"為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？

【分析】（1）拋物線翻折前后頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，?；橄喾磾?shù)；

（2）連接4V,NE,EM,MA,M,N關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱OM=OM］，￡關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱。力=?！?判

新四邊形4NEM為平行四邊形；若力"+〃￡2=4￡2,解得〃?=3,即可求解；

【解答】解：（1）???拋物線Ci的頂點(diǎn)為（0,4）,

???沿x軸翻折后頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.-4）,

???拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式為》=9-小

（2）存在

連接AN,NE,EM,MA,

依題意可得："（-m,4）,N（〃?，-4）,

中考撤號(hào)

???"，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

：.()M=ON,

原G、C2拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別(-2,0),(2,0),

：.A(-2-m,0),E(2+w,0),

?",石關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

：.OA=OE

???四邊形ANEM為平行四邊形，

???4/=22+42=20,

歷0=(2+/〃+/〃)2+42=4〃/+即?+20,

AE2=(2+m+2+m)2=4Z?2+16/H+16?

若AW+MSAE?,

則20+4W2+8W+20=4m2+16w+16>

解得〃?=3,

此時(shí)△4WE是直角三角形，且N4WE=90°,

???當(dāng)加=3時(shí)，以點(diǎn)4N,E,M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱，平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì).找準(zhǔn)二次函數(shù)圖象變化后

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是解決翻折后函數(shù)圖象的關(guān)鍵；能夠在平面直角坐標(biāo)系中，通過坐標(biāo)點(diǎn)的特點(diǎn)判定平行四邊形,

利用勾股定理判定矩形是解決本題的關(guān)鍵.

8.如圖(a),在中，NC=90°,AC=2,BC=1,現(xiàn)以/出所在直線為對(duì)稱軸，ZVIAC經(jīng)軸對(duì)稱

變換后的圖形為aoEr.

(1)求四邊形NC3尸的面積;

中考撤號(hào)

（2）如圖（％）,若△44。和△。燈從初始位置（如圖（〃）所示）在射線48上沿48方向同時(shí)開始平

移，△/4C的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位，△Ob的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

①當(dāng)0V/V苴時(shí)，求線段的長度（用含/的代數(shù)式表示）：

②當(dāng)△/￡1尸是等腰三角形時(shí)，求才的值；

（3）在第（2）題的圖形運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在一點(diǎn)4、C、B、產(chǎn)組成的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直

接寫出此時(shí)f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）由題意可知：尸是由翻折所得，所以四邊形"的面積就是兩個(gè)△/!&?的面

積；

（2）①根據(jù)4E=DE+/'D-A'4代入可得結(jié)果；

②當(dāng)0</〈此時(shí)，分三種情況：任意兩邊相等時(shí)，找一等量關(guān)系列方程可得，的值，當(dāng)/>、寫時(shí)，如圖

（d）,因?yàn)?是鈍角，所以獷是等腰三角形時(shí)只存在一種情況：根據(jù)所=4?列方程可得結(jié)論;

（3）當(dāng)四邊形4。尸是矩形時(shí)，4F=BC=EF=1,由（2）得：此時(shí)/=半.

【解答】解：（1）如圖（。），由題意得：S四邊形心尸=2SAC=2X%CX4C=2X1=2；

（2）①由勾股定理得：==5

設(shè)點(diǎn)力的起點(diǎn)為，，則/E=QE+4'D-A'A=V'5+t-2t=

②當(dāng)0V/〈A/5時(shí)，分三種情況：

;）4E=E0時(shí),即心-f=l,

I=、后-1；

ii）AE=AF^ft

:.NAFE=NAEF,

???ZADF=NAFD,

：.AD=AF,

中考撤號(hào)

1=享

ui）力尸=E產(chǎn)時(shí)，如圖(c),過/作于G,貝lJ/G=EG,

設(shè)尸G=2x,EG=x,

由勾股定理得：（2%）2+/=]2,

x=±",

:.AE=2EG=W，

拜T

???/=羋,

中考撤號(hào)

當(dāng)￡/=力￡時(shí)，△/￡/是等腰三角形，

即L\,5=1,

t=、后+1；

綜上所述，當(dāng)△4所是等腰三侑形時(shí)，/的值是或4或乎或4+1；

4O

(3)存在,

A

AF=BC=\,

：.AF=EF=\

由(2)得：此時(shí)f=挈；

???點(diǎn)力、C、B、產(chǎn)組成的四邊形為矩形時(shí)，/=半.

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰三角形

定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，學(xué)會(huì)分類討論，屬丁中考?jí)河灶}.

9.如圖，已知二次函數(shù))，=?/+4必?4加2+川+1的頂點(diǎn)為8,點(diǎn)4,。的坐標(biāo)分別是力(0,-2),C(8,

2),以4C為對(duì)角線作口力8。。.

(1)點(diǎn)8在某個(gè)函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)。也在二次函數(shù)y=-x2+4mx-4m2+m+\的圖象上，求m的值；

(3)是否存在矩形使頂點(diǎn)以。都在二次函數(shù)》=-〃(x-2/7?)2+〃?+1的圖象上？若存在，請(qǐng)

求出5的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

中考撤號(hào)

【分析】(1)把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式，得出頂點(diǎn)8的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)特點(diǎn)寫出函數(shù)解析式便

可；

(2)由平移的性質(zhì)，用小表示。點(diǎn)的坐標(biāo)，再將。點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，得到機(jī)的方程，解

方程便可求得〃?的值：

(3)根據(jù)平行四邊形/8C。是矩形，得/8力。=90°,由勾股定理列出〃?的方程求得〃?的值，再根據(jù)

頂點(diǎn)8,。都在二次函數(shù)y=-〃(x-2w)2+w+l的圖象上，求得小〃的關(guān)系，進(jìn)而求得〃的值，便可

求得結(jié)果.

【解答】解：(1)**y=~x2+4fnx-4ni2+ni+\=-(x-2m)2+w+l,

:.B(2m,ni+\),

m+1=x2m+1,

:.點(diǎn)B(2w,w+1)在函數(shù)y=*+l上，

二所求函數(shù)的表達(dá)式為y=3+1；

(2)???四邊形488是平行四邊形，

：.AB//DC,AB=DC,

???將力8沿8。方向平移可得DC,

???點(diǎn)力，C的坐標(biāo)分別是4(0,-2),C(8,2),B(2m,m+1),

:?D(8-2m,-〃l1),

把。(8-2m,--1)代入y=-x2+4mx-4〃戶+機(jī)+1中，得

-m-\=-(8-2w)2+4/〃(8-2m)-4加2+〃?+1,

化簡為:8"-33加+31=0,

(3)?.?平行四邊形/月。是矩形,

中考核等

/.Z5JZ)=90°,

.?./142+402=近，

(2m)2+(m+3)2+(8-2m)斗(-m+1)2=(8-4〃？)斗(2/〃+2)2,

化簡得，5〃?2-14〃?-3=O,

解得，〃2=3,或期=-1,

???。點(diǎn)在二次函數(shù)y=-〃G-2M2+w+l的圖象上，

/.-m-\=-n(8-4/7/)2+〃計(jì)1,

m+1

??n=8(2-m)2?

當(dāng)〃?=3時(shí)，〃=此時(shí)3=也

當(dāng)〃?=T時(shí)，〃=安，此時(shí)3=一急.

故存在矩形"CO,使頂點(diǎn)8,。都在二次函數(shù)y=?〃(x?2加)2+〃?+1的圖象上，其3的值為［或-

25

242,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，

第(1)題關(guān)鍵是找出8點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，第(2)題關(guān)鍵是根據(jù)平移性質(zhì)用m表示。點(diǎn)的坐標(biāo)，第

(3)題關(guān)鍵是由。點(diǎn)坐標(biāo)求出機(jī)的值和〃，與〃的關(guān)系.非常規(guī)思想解題，難度大.

10.如圖，點(diǎn)O是平行四邊形/EC7)的對(duì)稱中心，將直線?！ɡ@點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交。C、于點(diǎn)￡;

F.

(1)證明：△OEO絲△8FO；

(2)若04=2,力。=1,AB=6

①當(dāng)08繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，判斷四邊形力日才的形狀，并說明理由；

②在直線。4繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在矩形OE5F,若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度

(結(jié)果精確到1°);若不存在，請(qǐng)說明理由.

D,\五______r

0

A

FB

中考核等

【分析】（1）要證三角形全等，必須找到三個(gè)條件證明其全等.

（2）首先要判斷四邊形是什么形狀，然后根據(jù)題意首先證明△0/1Q是等腰直角三角形，然后證明?！?

OF.

【解答】（1）證明：在平行四邊形力中，CD〃/iB,

???/CDO=N4BO,4DEO=4BF0.

乂???點(diǎn)0是平行四邊形的對(duì)稱中心，

：?OD=OB.

???△DEOW4BFO.

（2）解：①四邊形月EC尸是菱形.

理由如下：

在△力8。中，DB=2,AD=\,AB=g

：,DB2+AD2=AB2.

???△相。是直角三角形，且/.4Z）8=90°

?：OD=OB=3DB=1,

：.AD=OD=\.

???△04。是等腰直角三角形，

當(dāng)直線。8繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),即/。。￡=45°,

；?ZAOE=90Q

,:MDEOm△BFO,

：,OE=OF

又???點(diǎn)。是平行四邊形的對(duì)稱中心，

：,OA=OC

???四邊形4EC/是平行四邊形

???四邊形/ECr是菱形.

②當(dāng)四邊形尸是矩形時(shí)，

則有NQF8=N/7）E=9（r,OD=OE

又丁ZADB=90°

中考撤號(hào)

/.有ZADF=ZODE=ZDEO

?：S^ABD=^AD-BD=^AB-DF

?F=竺_絲=山=逑

?*-AB~yfs~5

在RtZUO產(chǎn)中，cosNADF=黑=。/=攣

AD5

???ZADF^26.6U

???ZODE=ZDEO=NADF=26.6°

：,ZDOE=ISO°-NOED-NODE=180°-26.60-26.60=126.80%127°

即當(dāng)直線。8繞點(diǎn)。約順時(shí)針旋轉(zhuǎn)127。時(shí)，四邊形CO4E是矩形.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道綜合型試題，比較難，證明三角形全等必須要找出三個(gè)條件相等，按照判定四邊形

形狀的定義證明該四邊形為何形狀.

11.已妞如圖1,拋物線G：y=1(x-m)2+n(w>0)的頂點(diǎn)為力，與y軸相交于點(diǎn)8,拋物線G：丫=一

*無+巾)2-幾的頂點(diǎn)為。，并與y軸相交于點(diǎn)。，其中點(diǎn)力、B、C、。中的任意三點(diǎn)都不在同一條直線

15

中考撤號(hào)

(I)判斷四邊形力8c。的形狀，并說明理由：

(2)如圖2,若拋物線y=：Q-m)2+7i(w>0)的頂點(diǎn)力落在x軸上時(shí)，四邊形力8CO恰好是正方形，

請(qǐng)你確定〃?，〃的值；

(3)是否存在〃?，〃的值，使四邊形力8co是鄰邊之比為1：雜的矩形？若存在，請(qǐng)求出，〃，〃的值;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)根據(jù)題目條件可以表示出力(加，〃),C(-m,-n)，可以求得4。=。。，當(dāng)工=時(shí)可以求出

點(diǎn)8、。的坐標(biāo)，從而可以證明80=。。，C0從而得出結(jié)論.

(2)???拋物線y=g(x-m)2+7i(/?>())的頂點(diǎn)力落在x軸上，可以得出〃=(),由四邊形/4CQ恰好

是正方形，由正方形的性質(zhì)就可以得出OA=OB而建立等量關(guān)系求出其m的值.

(3)???四邊形力BCO是矩形，由矩形的性質(zhì)可以得出04=。8從而建立一個(gè)等量關(guān)系，由矩形力8C。

的鄰邊之比為1：B可以得出，N/〃0=6()°或448。=30°,作AHA.BD,表示出BH,用OB=BH+OH

在建立一個(gè)等式，從而構(gòu)成方程組，從兩種情況求出方程組的解就可以了.

【解答】解：(1)四邊形力8CD是平行四邊形，

**A(m,n)?C(--n)>

/.點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

???點(diǎn)0、A.C三點(diǎn)在同一條直線上，

：.OA=OC.

+n),D(0,-^n2-n),

：,OB=OD.

???四邊形ABCD是平行四邊形.

中考撤號(hào)

(2)???拋物線y=1(x-77i)2+Mm>0)的頂點(diǎn)A落在x軸上,

—0.

???四邊形力8CQ是正方形,

OA=OB,即-?n2=m,

解得：〃“=0（不符題意，舍去），〃[2=3.

此時(shí)四邊形力5CQ是正方形

m=3,〃=0.

（3）若四邊形48CQ是矩形,

則（JA=（JB,即（Jn?十九）2=十九2,

化簡得:1m4+|m2n=m2

Vw>0,

.\m2+6n=9

又???矩形的鄰邊之比為1：A/3,

當(dāng)力4：AD=1：8時(shí),ZABO=60°,

過點(diǎn)A作AHLBD于H,則BH=爭n,

???苧n+n=gm2+n,

(in2+6n=9

m+n=-m2-+n

3

解得：｛m'=

n=1

當(dāng)4。：A8=1：時(shí)，/片8。=30°,

過點(diǎn)A作AHLBD于H,則BH=、&n,

2

tpn+6n=9

A1\/，37n+n=^7n2+n,

m=3?3

解得:

n=-3

答：存在1n=&,〃=1或m=隊(duì)⑶〃=-3使四邊形48s是鄰邊之比為1：W