期中復習【6大類型38個考點】(前3章)

【滬教版】

題型歸納

【基礎(chǔ)概念易錯篇】..............................................................................2

【考點1成比例線段】.........................................................................2

【考點2平行線分線段成比例】.................................................................3

【考點3相似三角形的判定】...................................................................4

【考點4相似三角形的性質(zhì)】...................................................................5

【考點5平面向量的線性運算】.................................................................6

【考點6正弦、余弦、正切的定義】.............................................................7

【考點7特殊角的三角函數(shù)的值】...............................................................7

【考點8銳角的三角函數(shù)間的關(guān)系】.............................................................8

【考點9解直角三角形的相關(guān)計算】.............................................................8

【考點10二次函數(shù)的定義】.....................................................................9

【考點II二次函數(shù)丫=@乂2的圖象與性質(zhì)】.......................................................10

【考點12二次函數(shù)丫=2*2+1＜的圖象與性質(zhì)】....................................................10

【考點13二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象與性質(zhì)】..................................................11

【考點14二次函數(shù)y=a(x-h)?+k的圖象與性質(zhì)】...............................................12

【考點15二次函數(shù)丫=ax2+bx+c的圖象與的性質(zhì)】............................................12

【考點16二次函數(shù)丫=ax?+bx+c圖象與系數(shù)的關(guān)系】...........................................13

【考點17二次函數(shù)圖象與幾何變換】...........................................................15

【考點18二次函數(shù)與一元二次方程】...........................................................15

【計算篇】.....................................................................................16

【考點19含特殊角的三角函數(shù)值的計算】.......................................................16

【實際應(yīng)用篇】.................................................................................17

【考點20相似三角形的應(yīng)用】..................................................................17

【考點21解直角三角形的應(yīng)用】................................................................18

【考點22二次函數(shù)的應(yīng)用】....................................................................20

【作圖篇】.....................................................................................22

【考點23在網(wǎng)格中作相似三角形】.............................................................22

【幾何計算與證明篇】...........................................................................23

【考點24利用平行線分線段成比例求線段長度】................................................23

【考點25證明相似三角形】....................................................................24

【考點26利用相似三角形的判定和性質(zhì)求值】...................................................25

【考點27利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明】...................................................27

【考點28求銳角三角函數(shù)值】.................................................................28

【考點29三角形中解直角三角形】.............................................................29

【考點30在四邊形中解直接三角形】...........................................................30

【壓軸篇】.....................................................................................32

【考點31利用相似求坐標】....................................................................32

【考點32相似三角形-動點問題】...............................................................33

【考點33相似三角形-最值問題】...............................................................35

【考點34相似三角形-綜合與實踐】.............................................................36

【考點35向量與相似的綜合】.................................................................38

【考點36構(gòu)造直角三角形解直角三角形】.......................................................39

【考點37利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】.........................................................41

【考點38二次函數(shù)中的存在性問題】...........................................................43

舉一反三

【基礎(chǔ)概念易錯篇】

【考點1成比例線段】

1.（24-25九年級上?河南鄭州?期中）已知5=[=右那么事=（）

A-IB-KC-ID-I

2.（24-25八年級下?山東煙臺?期中）下列長度的四組線段中，成比例的一組是（）

A.2cm,2.5cm,3cm,3.5cmB.V3cm,3cm,3cm,4V3cm

C.2cm,4cm,8cm,18cmD.V2cmcm,V3cm,2cm,V6cm

3.（25-26九年級上?廣東?階段練習）大自然是美的設(shè)計師，即使是一個小小的盆景，經(jīng)常也會產(chǎn)生最具美

感的黃金比.如圖，點B為AC的黃金分割點（48>8C）,若4c=100cm,則48長為（）cm

A.150-50后B.100西一100C.50^5-50D.50\/5+50

4.（24-25九年級上?安徽宿州?期末）如圖，已知點石是平行四邊形力8CD邊力D上一點，CE、B4延長線交

于點F,下列結(jié)論中錯誤的是（）

A—=—R—=—c—=—D—=—

ABECDECDBCFCADAB

【考點2平行線分線段成比例】

1.（25-26九年級上?上海?階段練習）如果用線段a、機&求作線段x,使Q：b=c：x,那么下列作圖正確的

c.Xa0.ab

2.（25-26九年級上?上海?階段練習）平行四邊形48CD的對角線相交于點O,OE\\AB,則與ABOE相似的

三角形有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.（25-26九年級上?上海?階段練習）如圖是一個正方形網(wǎng)絡(luò)，里面有許多三角形.在下面所列出的各三角

形中，與△力8C不相似的是（）

CDE

BG

A.△BDEB.ABCDC.AFGHD.ABFG

4.如圖在△ABC中，尸為A8上的一點，在下列條件中：@Z-ACP=zfi：②〃PC=〃CB：@AC2

=APAB；@AB-CP=AP-CB,能滿足△力PC?△4CB的條件是（）.

A.①②④B,①③④C.②③④D.①②③

【考點3相似三角形的判定】

1.（25-26九年級上?遼寧?階段練習）如圖，點。，E分別在△A8C的邊4B,AC上，R^ABC-^AED,

若槳=3,S^ADE=1,則S08c值為（）

A.9B.6C.3D.1

2.（24-25九年級上?陜西咸陽?階段練習）已知△{8cs△OEF,若△和△0”的面積之比為1則

△,48C與△/）￡1尸的對應(yīng)角的角平分線之比為（）

421

A1-6Ca-

-B.5

52525

3.（2020?安徽合肥?二模）如圖，在矩形ABCD中，點H為邊BC的中點，點G為線段DH上一點，且

ZBGC=9O°,延長BG交CD于點E,延長CG交AD于點F,當CD=4,DE=1時，則DF的長為（）

3l9

A.2B?5C.V5D."

4.（24-25九年級下?湖北黃岡?期中）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度，以點。

為位似中心，在網(wǎng)格中畫△0&B1，使△。葉心與△04B位似，Q8的對應(yīng)點分別為4,Bi，且△。4%

與AOTIB的位似比為2：1,則下列說法不正確的是（）

A.點叢的坐標為（4,0）

B.IIAB

C.△04饋1與△。力B的周長之比為2：1

D.△。4與△0A8的面積之比為我:1

【考點4相似三角形的性質(zhì)】

1.如圖，正方形CM8C和正方形DEFG是位似圖形（其中點。，4B,。的對應(yīng)點分別是點D,E,F,G）,

點B的坐標為（1,1）,點F的坐標為［4,2）,則這兩個正方形的位似中心的坐標是（）

匕i

GF

CT

>

OADEx

A.(-2,0)B.(2,0)C.(-4,2)D.(4,2)

2.如圖，在448C中,的內(nèi)、外角平分線分別交及其延長線于點。、E,BC=2.5AC,則黑+黑=

A"riC

3.（25-26九年級上?河北石家莊?階段練習）如圖，BD=CD,=1:2,延長8E交AC于F,且力"=4

cm,則力。的長=cm.

A

F

A\

BDC

4.（2025?浙江杭州?一模）如圖，在菱形4BC0中，乙/1為銳角，點E,F分另lj在邊力。，BC上，且滿足

AD=3AE,BC=3BF.將菱形沿E尸翻折，使點4B落在平面CDEF內(nèi)的點A8處.若菱形4BCD的周長和面

積分別為12和6,則40=.

【考點5平面向量的線性運算】

1.（25-26九年級上?上海嘉定?階段練習）如圖,在梯形中，E、E分別是腰40、BC的中點，如果

AB=5a,EF=3af那么向量而可以表示為（)

C.2aD.-2a

2.（2025九年級上?上海?專題練習）如圖梯形4BCD中，AB\\CD.4c交BD于點。，AB=2CD.己知力B,

AD,如用而，而表示而，那么而=

3.（2025九年級上?上海?專題練習）已知△力BC中，AB=AC=5,BC=6,點/為△4BC三條內(nèi)角平分線

的交點，若屈=p^+q麗，則p,q的值分別為（）

A55c55cS555

A-p=i口=正B-P=Yq=§c-p=i?q=^D-p=iz，q=§

【考點6正弦、余弦、正切的定義】

1.如圖，在△4BC中，Z.C=90°,BC=a,AC=bfAB=c,則下列選項正確的是（）

2.（24-25九年級上?上海松江?期中）已知，在以。為坐標原點的直角坐標平面內(nèi)有一點P（3,l）,如果。。與

y軸正半軸的夾角為a,那么4a的余切值為.

3.（24-25九年級上?陜西咸陽?期末）如圖，在菱形中，DE工AB交AB于點E,連接3。，若DE=收

4.（2025?河南?模擬預測）在等腰直角△力BC中，"CB=90。，AC=BC=1,。在直線8c上，且CD=2,

連接AD,將線段力。繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得線段ED,連接CE.則sinzEC。的值為.

【考點7特殊角的三角函數(shù)的值】

1.（2025?湖南長沙?二模）在△/1BC中，4、4都是銳角，sin/=y,tanB=V^下列說法正確的是

（）

A.Z.A=30°B.乙B=30°

C.△ABC是等邊三角形D.△4BC是直角三角形

2.（24-25九年級下?甘肅平?jīng)?期中）計算一1+12!!60。+7^也45。―28530。+兀。結(jié)果是（）

A.2B.V2C.1D.V3

3.（2025?福建龍巖?二模）如圖，8。是菱形力BCD的對角線，AE1BC于點已交BD于點F,且七為BC的

中點，則tan乙”。的值是（）

A.亨B.當C.容D.V3

4.（24-25九年級上?山東煙臺?期中）如圖，已知直線48分別與x軸和y軸相交于點滴和點B,上直線力B的解

析式為y二一爭+冬。尸〉8于點尸，OP與不軸正半軸的夾角為5則cosa等于

【考點8銳角的三角函數(shù)間的關(guān)系】

1.(24-25九年級上?江蘇揚州?期末)已知RtZkABC中，4C=90。，cosB二雪，則sinB的值為.

2.同學們,在我們進入高中以后，還將學到下面三角函數(shù)公式:sin(a-0)=sinacos/?-cosasinS,sin(a+°)

=sinacos^+cosasin/?,cos(a—/?)=cosacosp+sinasin/?,cos(a+/?)=cosacos/?-sinasin/?.例：sin

15。=sin(45°—30°)=sin45°cos30°—cos45°sin30°=瓜-.若已知銳角戊滿足條件sina=/則sin

2a=.

3.如果a是銳角，旦cosa=g,那么sin(90°—a)的值等于()

MA，225DB，5-JC-55D-25

4.已知：a為銳角，且黑念翳=1,則tana的值等于()

A.-1B.2C.3D.2.5

【考點9解直角三角形的相關(guān)計算】

1.（2025?四川攀枝花?中考真題）如圖，△ABC中，48=4。=5,8。=6,。為8c的中點，（^_148于點比/1。

與CE相交于點0,則胃二（）

Z4

A2D.

425

2.一個三角形的兩邊之長分別為5、2V2,這兩邊夾角的余弦值為詈，則這個三角形的面積是（）

110V2

組B?普C.2V21n

A*1121

3.（2025?湖北?模擬預測）在菱形4BCD中,邊長為6,38=60。,點M是42的中點,連接力C.N是BC上一

動點，把△48C沿MN折疊，使點6恰好落在4c邊上的方處，且4所:8C=2:1,則8N=

4.在RtA/lBC中，4c=90。，AB=6,cos4=孚，點。為邊48中點，將△4BC繞力旋轉(zhuǎn)，點8,C對

6

應(yīng)點分別為點E，F(xiàn),若點尸在射線CO上,則驍=

【考點10二次函數(shù)的定義】

1.（25-26九年級上?寧夏吳忠?階段練習）以無為自變量的函數(shù)：①y=。+2）。一2）：②y=。+2）2：

（3）y=14-2x-3x2；=x2-x（x-1）?是二次函數(shù)的有.

2.已知函數(shù)y=（771-1）/滔+1是二次函數(shù)，則血=.

3.（25-26八年級上?安徽?階段練習）二次函數(shù)y=2/一3的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和為（）

A.-1B.1C.5D.-5

4.（24-25九年級上?全國?期末）下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作是二次函數(shù)模型的是（）

A.兩直角邊的和為12的直角三角形，面積y與斜邊》的關(guān)系

B.周長為12的長方形，長y與寬X的關(guān)系

C.面積為12的長方形，周長）與長工的關(guān)系

D.面積為12的長方形，長y與寬工的關(guān)系

【考點11二次函數(shù)y=Q/的圖象與性質(zhì)】

1.（24-25九年級上?吉林長春?期末）若點（0,月）,（1/2），（2》3）都在二次函數(shù)丫=/圖象上，則（）

A.yi<y2<y3B.y2<yz<yic.y3<yi<yzD.y2<yi<ys

22

2.（24-25九年級上?河南周口?期末）已知二次函數(shù)yi=。1%2,y2=a2x,y3=a3x,的圖象如

圖所不，則。1，。2，。3，。4的大小關(guān)系是（）

A.的V。4<V。2B.Q4<。3VQ1<。2

C.。4V。3V。2<alD.。3V。4VQ2Val

3.已知二次函數(shù)y=（a—1）/的圖象開口向上，則實數(shù)q可以為.

4.對于二次函數(shù)y=O%2（QH0）,當％取%i，%2（%1工％2）時，函數(shù)值相等，則當3取%1+%2時，函數(shù)值

為?

【考點12二次函數(shù)y=+A的圖象與性質(zhì)】

1.（24-25八年級下?湖南長沙?期末）二次函數(shù)y=+3的圖象是一條拋物線，則下列說法錯誤的是（）

A.拋物線開口向上B.拋物線經(jīng)過點（3,6）

C.拋物線的頂點是（1,3）D.當％>0時，y隨x的增大而增大

2.（24-25九年級上?湖南長沙?期中）若正比例函數(shù)y=mx,y隨工的增大而增大，則它和二次函數(shù)y=m/

十機的圖象大致是（）

B.

3.二次函數(shù)y=-2/+3,當一14%42時，y的取值范圍是（）

A.-5<y<3B.-l<y<3C.-5<y<1D.-5<y<0

4.（24-25九年級上?江蘇南通?期末）定義：對于函數(shù)圖象上的兩點MQi，%）,可（冷,及）（％1。Q），將轉(zhuǎn)

的值稱為該函數(shù)圖象在MN段的“攀登值〃，記作已知二次函數(shù)丫=以2+1（。>（））的圖象上有兩點時

（xbyi）,伙42,心），若對于任意的打，Q均滿足當％2>打?1時，該函數(shù)圖象在MN段的“攀登值〃始終有

kMN>2,則。的取值范圍是.

【考點13二次函數(shù)^二。（％—九尸的圖象與性質(zhì)】

1.（24-25九年級上?江蘇鹽城?期中）已知二次函數(shù)y=（a—5）泛一1產(chǎn)的圖象如圖所示，則a可能是（）

2

2.設(shè)函數(shù)月=-Q-m）2,y2=-（x-n）,直線%=1與函數(shù)力,的圖象分別交于點4（1，%），B（l,

例），得（）

A.若1VmV/，則由<a2B.若m<1<n,則由<a2

C.若mVnVI,則a1<WD.若mV1<九，則a2>

3.老師給出一個二次函數(shù)，甲、乙兩名同學各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì).甲：函數(shù)圖象的頂點在x軸上;

乙：拋物線開口向下；已知這兩位同學的描述都正確，請你寫出滿足上述所有性質(zhì)的一個一次函數(shù)表達

式.

4.（24-25八年級下?北京?期中）對■于二次函數(shù)%=a（x+2）2和、2=。（％—2）2（。>0）,其自變量和函數(shù)值

的兩組對應(yīng)值如下表所示：

X-4m

yi=a(x+2產(chǎn)bb+5

72=磯％-2)2db

根據(jù)二次函數(shù)圖象的相關(guān)性質(zhì)可知：m=，d-b=

【考點14二次函數(shù)、=a（x—h）2+k的圖象與性質(zhì)】

1.（24-25九年級上?黑龍江大慶,期中）已知點力（勺,月），以工2M）在拋物線>/=一。-4）2+機（〃?是常數(shù)）

上.若勺<必<4,則下列大小比較正確的是（）

mm

A.y\>B.y2>71>

C.rn>yi>y2D.m>y2>y\

2.當一時，二次函數(shù)y=-（x-m）2+5有最大值4,則實數(shù)m的值為（）

A.-3B.-1或2C.2或一3D.2或一3或一1

3.若二次函數(shù)y=Q（x-4）2+4的圖像在2Vx<3這一段位于“軸的上方，在6Vx<7這一段位于不軸的下

方，則Q值為.

4.如圖，拋物線y=a（x-h）2+k（a豐0）的頂點為4對稱軸與無軸交于點C,當以4c為對角線的正方形48。。

的另外兩個頂點8、。恰好在拋物線上時，我們把這樣的拋物線稱為“美麗拋物線"，正方形/"D為它的內(nèi)接

正方形.

（1）當拋物線、=Q/+1是"美麗拋物線"時，則。=.

（2）若拋物線y=a%2+k是“美麗拋物線〃，則內(nèi)攵之間的數(shù)量關(guān)系為.

【考點15二次函數(shù)、=2、2+隊+（：的圖象與的性質(zhì)】

1.（2025?四川綿陽?一模）已知二次函數(shù)y=%2+a%+2的圖象關(guān)于直線％=3對稱，當+2時,

y有最小值一7,則〃?的取值范圍是（）

A.2<m<3B.m>2C.1<m<3D.1<m<3

2.（24-25九年級上?湖北荊州?期末）已知二次函數(shù)y=—2%2—12%+14,下列說法中不正確的是（）

A.該二次函數(shù)的圖象的開口向下

B.該二次函數(shù)圖象的頂點坐標是（一3,14）

C.該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標是（一7,0）和（1,0）

D.已知點（一1,%）和（2,及）都在這個二次函數(shù)的圖象上，則yi>V2

3.（25-26九年級上?安徽合肥?階段練習）在平面直角坐標系中，己知二次函數(shù)、=-％2+以+6:",6:為

常數(shù)）.

（1）當b=2時，該函數(shù)圖象的對稱軸為直線％=

（2）當為V0時，y的最大值為7；當"NO時，y的最大值為3,則匕一c=

4.（25-26九年級上?廣東廣州?階段練習）如圖，點G為拋物線》=一%2+2%+3對稱軸上的點，點￡（根凹）,

LEGF=90°,則九一m二

1.（25-26九年級上?山東?階段練習）若二次函數(shù)y=奴2+"+。的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的

是

①圖象與無軸的交點為（一2,0）,（1,0）；（2）2a-b=0：③bV0；④4a+2b+c<0；⑤當kvO時，y隨

2.（25-26九年級上?廣東廣州?階段練習）一次函數(shù)y=mx+孔的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=-?n（x+n）2

的圖象大致為（）

3.（25-26九年級上?安徽安慶?階段練習）如圖，二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖象經(jīng)過點出一1,0）、點、B

（3,0）、點。（4,月），若點。（?。?）是拋物線上任意一點，有下列結(jié)論：①二次函數(shù)y=a/+"+c的最小值

為一4a；②3b-200：③若一1三工2工4,則0Wy245a；④若以>力，則42>4；⑤一元二次方程

c%2+b%+a=o的兩個根為一1和g.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

4.（24-25九年級上?內(nèi)蒙古通遼?期末）如圖，拋物線y=以2+6%+。交工軸于4（一1,0）,8（3,0）,交y軸的

負半軸于C,頂點為D.下列結(jié)論：@abc>0；②2a+b=0；③2cV3b：④當mH1時，a+h<am2

+bm；⑤當△力BD是等腰直角三角形時，則a=提⑥當△ABC是等腰三角形時，a的值有3個.其中正

確的序號是.

【考點17二次函數(shù)圖象與幾何變換】

1.（25-26九年級上?安徽六安?階段練習）如果二次函數(shù)y=x2-2x+1平移后的頂點恰好落在直線y=x+l

上，求平移后的圖像與y軸交點的縱坐標的最小值為.

2.將拋物線丁二一32一2%一3向右平移三個單位，再繞原點。旋轉(zhuǎn)180。，則所得拋物線的解析式—.

3.如圖，將二次函數(shù)產(chǎn)-（x-2）44（A<4）的圖象沿直線x=4翻折，翻折前后的圖象組成一個新圖象M,

若直線和圖象刊有四個交點，結(jié)合圖象可知，b的取值范圍是.

4.（24-25九年級上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期末）若二次函數(shù)y=Q/+必+C（Q>0）的圖象向右平移1個單位長

度后關(guān)于y軸對稱.其中正確的為（）

①”2：

②當|工a工￡時，代數(shù)式小+5b+8的最小值為3；

③對■于任意實數(shù)m,不等式am2-bm-a+匕NO一定成立；

④P（%i,yD，QCQM）為該二次函數(shù)圖象上任意兩點，且％1<和當%1+%2+2>。時，一定有力〈功.

A.①②③B.①②④c.①③④D.②③④

【考點18二次函數(shù)與一元二次方程】

1.（25-26九年級上?浙江?階段練習）設(shè)一元二次方程（無一1）（無一2）=m（租>0）的兩實根分別為。，0,且

a</?,則a,0滿足（）

A.L<a<p<2B.l<a<2</7

C.a<1<2<pD.a<l</?<2

2.（25-26九年級上,江蘇南通?階段練習）拋物線y=Q/+"+C經(jīng)過點力（一3,0）、8（4,0）兩點,則關(guān)于工

的一元二次方程a（x-I）2+bx+c=b的解是.

3.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=X2-2mx+m2-i,直線y=—％+3與x軸交于點4與y軸交

于點B，過點8作垂直于y軸的直線嗚拋物線y=/-2加》+癥一】有兩個交點，在拋物線對稱軸右側(cè)的交點

記為P,當△O/IP為銳角三角形時，則m的取值范圍是（）

A.m>—1B.m<—2

C.m<-2或m>1D.-2<m<1

4.（24-25九年級上?四川成都?階段練習）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值：判斷方程/+3工-5=0一個解的取值

范圍是（）

X1.121.141.161.181.201.40

%2+3x—5-0.3856-0.2804-0.1744-0.06760.041.16

A.1.12<x<1.40B.1.16<x<1.20

C.1.18<X<1,20D.1.18<x<1.40

【計算篇】

【考點19含特殊角的三角函數(shù)值的計算】

1.（25-26九年級上?山東?期中）計算

(l)sin60°-cos30°+V2?sin45°—3tan230°

(2Ntan2600+4tan600+424sin45。

tan60,-tan450

2.（2024?廣東?模擬預測）計算

(l)2sin600—tan4S°4-^ros^O0+tin^0°

(2)(1-2024江)°+V12+2sin600-(-3)

3.(2025,廣東深圳?模擬預測)計算：COS245°+sin60°-tan30°-V(l-tan600)2

1tan450

4.(24-25九年級下?湖南長沙?期木)計算：tan60°?總行+=2^高褥+2cos60°-l.

【實際應(yīng)用篇】

【考點20相似三角形的應(yīng)用】

1.（25-26九年級上?山東?階段練習）【學科融合】如圖1,在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都

在同一個平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)，反射角，?等于入射角，.

光的反射定律

【問題解決】如圖2,小紅同學正在使用手電筒進行物理光學實臉，地面上從左往右依次是墻、木板和平面

鏡.激光筆在點G處，激光筆的光從平面鏡上點8處反射后，恰好經(jīng)過木板的上邊緣點凡落在墻上的點E

處.已知點G到地面的高度AG=0.8m,木板的高度CF=1.0m,點G到木板的水平距離AC=2.7m,木板

到墻的水平距離CD=1.8m（圖中點力，B,C,。在同一水平線上）.

（1）求點B到木板的距離BC的長.

⑵求點E到地面的高度DE.

2.（25-26九年級上?陜西西安?階段練習）魏晉南北朝時期，中國數(shù)學在測量學方面取得了長足進展.劉徽

提出重差術(shù)，應(yīng)用中國傳統(tǒng)的出入相補原理，通過多次觀測，測量山高水深等數(shù)值，進而使中國的測量學

達到登峰造極的地步，其著作《海島算經(jīng)》，就是測量海島的高度和距離.受此題啟發(fā)，小明同學依照此

法測量學校后山的高度和距離，錄得以下數(shù)據(jù)（單位：米）：表目距EH=10,CG=30,表目高

DE=FG=5,表距EG=860.求山高4B.

3.（25-26九年級上?浙江金華?階段練習）如圖，明珠大廈的頂部建有一直徑為16m的“明珠〃，它的西面

45m處有一?高16m的小型建筑CD,人站在CD的西面附近無法看到“明珠”的外貌，如果向西走到點尸處，可

以開始看到“明珠〃的頂端8；若想看到“明珠"的全貌，必須往西至少再走12m,求大廈主體建筑的高度/IE

（不含頂部的“明珠”部分的高度）

B

G就尸』45m?

4.（2025?陜西西安?模擬預測）初三數(shù)學小組準備用所學知識測量路燈力B的高度，路燈底端有花壇無法直

接到達，在路燈一側(cè)有一棵高為3米的小樹E廣（EF=3米），小峰站在距離小樹2.8米的。處（。尸=2.8

米）觀察發(fā)現(xiàn)，他的眼睛C與小樹的頂端石、路燈的頂端力在同一條直線上，小峰的眼睛距離地面1.6米

（CD=1.6米），小峰在小樹的前方P處放置一個平面鏡，小峰緊靠小樹站立（小峰與樹之I且的距離忽略

不計）剛好在鏡面中看到路燈的頂端4平面鏡距離小樹1.4米（”=1.4米），請你幫助小峰計算路燈4B

的高度.（結(jié)果精確到0.1米）

【考點21解直角三角形的應(yīng)用】

1.（2025?山東濟南?中考真題）其水上樂園有兩個相鄰的水上滑梯，如圖所示，左邊滑梯的長度48為21m,

傾斜角為40。，右邊滑梯的高度DF為11m,傾斜角為32。，支架?IC,NF都與地面垂直，AN,MD都與地面平

行，兩支架之間的距離Cr為3m（點4,C,F,￡在同一條直線上）

⑴求兩滑梯的高度差；

（2）兩滑梯的底端分別為8,E,求BE的長.（結(jié)果精確到0.01m.參考數(shù)據(jù)：sin32。*0.530,cos

32°?0.848,tan32°?0.625,sin40°?0.643,cos40°?0.766,tan40°?0.839）

2.（2025?貴州?中考真題）某小區(qū)在設(shè)計時，計劃在如圖①的住宅樓正前方建一林文體活動中心.設(shè)計示

意圖如圖②所示，已知9。=28n）,CD=21m,該地冬至正午太陽高度角。為35。.如果你是建筑設(shè)計師，請

結(jié)合示意圖和已知條件完成下列任務(wù).

住

宅

樓

4

8

圖②

任務(wù)-：計算冬至正午太陽照到住宅樓的位置與地面之間的距離力夕的長：

任務(wù)二：為符合建筑規(guī)范對日照的要求，讓整棟住宅樓在冬至正午太陽高度角下恰好都能照射到陽光，需

將活動中心沿8。方向移動一定的距離（活動中心高度不變），求該活動中心移動了多少米？

（參考數(shù)據(jù)：sin35°?0.57,cos35°?0.82,tan35°?0.70.結(jié)果保留小數(shù)點后一位）

3.（2025?湖南長沙?中考真題）如圖，某景區(qū)內(nèi)兩條互相垂直的道路a,b交于?點、M,景點48在道路a

上，景點C在道路力上.為了進一步提升景區(qū)品質(zhì)，景區(qū)管委會在道路人上又開發(fā)了風景優(yōu)美的景點D經(jīng)

測杼景點C位于景點B的北偏東60。方向上，位于景點A的北偏東30。方向上，景點B位于景點D的南偏西

45。方向上.已知=800m.

⑴求〃C8的度數(shù)；

⑵求景點C與景點。之間的距離.（結(jié)果保留根號）

4.（2025?湖南?中考真題）如圖，某處有一個晾衣裝置，固定立柱4B和C。分別垂直地面水平線I于點&D,

48=19分米，CD>AB,在點4C之間的晾衣繩上有固定掛鉤E,4E=13分米，一件連衣裙MN掛在點E

處（點M與點E重合），且直線MNJU.

圖1圖2

⑴如圖1,當該連衣裙下端點N剛好接觸到地面水平線/時，點E到直線4B的距離EG等于12分米，求該連衣

裙MN的長度；

⑵如圖2,為避免該連衣裙接觸到地面，在另一端固定掛鉤/處再掛一條長褲（點尸在點E的右測），若

ZR4F=76.1°,求此時該連衣裙下端N點到地面水平線2的距離約為多少分米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù):

sin76.1°?0.97,cos76.1°?0.24,tan76.1°?4.04）

【考點22二次函數(shù)的應(yīng)用】

1.（25-26九年級上?江蘇蘇州?階段練習）道路的隔離欄通常會涂上醒目的顏色，呈拋物線形狀（如圖1）,

圖2是一個長為2米，寬為1米的矩形隔離欄，中間被4根欄桿五等分，每根欄桿的下面一部分涂上醒目

的藍色，顏色的分界處（點E,點P）以及點4,點8落在同一條拋物線上，若第1根欄桿涂色部分（EF）與第

2根欄桿未涂色部分（PQ）長度相等，則求EF的長度.

圖1圖2

2.（24-25九年級上吶蒙古?期中）中國元素幾乎遍布卡塔爾世界杯的每一個角落，某特許商品專賣店俏售

中國制造的紀念品，深受大家喜愛.自世界杯開賽以來，其銷量不斷增加，該商品銷售第x天

成一次函數(shù)關(guān)系且滿足z=-4x+100.已知該紀念品成本價為20元/件.

⑴求y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

（2）求這20天中第幾天銷售利潤為18000元；

⑶這20天中，最大利潤能否超過18000元？如果能求出最大利潤，如果不能說明理由.

3.（25-26九年級上?北京?階段練習）佩奇和朋友們一起踢足球，球射向球門的路線呈拋物線形.佩奇從球

門正前方8m的力處射門，當球匕行的水平距離為6m時，球達到最高點此時球離地面3m,球門高。。為

2.44m.

B

⑴請建立適當平面直角坐標系，求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式.

（2）通過計算判斷佩奇此次射門能否射入球門內(nèi).

⑶點。為0C上一點，且OO=2.25m,若射門路線的形狀和大小、最大高度均保持不變，當佩奇帶球向正后

方移動Mm）再射門，足球恰好經(jīng)過。。區(qū)域（含點。和。），直接寫出九的取值范圍.

4.（25-26九年級上?廣東廣州?階段練習）根據(jù)以下信息，探索完成任務(wù)：

探索目的制作簡易水流裝置

如圖.CD是進水通道.是出水通道,0E是圓柱形容器

的底面直徑，從CD將圓柱形容器注滿水，內(nèi)部安裝調(diào)節(jié)器，

使水流從8處流出且呈拋物線形.以點。為坐標原點，?！?/p>

所在直線為“軸，。力所在直線為y軸建立平面直角坐標系，

水流最終落到％軸上的點M處.

信息1

7

圓柱的高為40cm,點4到圓柱頂端的距離為4cm,4B||%軸,

信息2AB=5cm,OM=11cm,8為水流所在拋物線的頂點，點

力，B,0,E,M均在同一平面內(nèi).

問題解決

填空：。4的長度為_____cm,該拋物線頂點坐標為

任務(wù)一