中考撤號(hào)

中點(diǎn)模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）

1.如圖，在矩形44CQ中，E為C4延長(zhǎng)線一點(diǎn)且4C=CE,F為力上的中點(diǎn)，求證：BFLFD.

【解答】見(jiàn)解析

【解析】如圖，連接C尸.

?：AC=CE,尸為NE的中點(diǎn)，：,CF±AE,AZ/1FD+ZDFC=90",

???四邊形力88是矩形，：.BC=AD,ABLCE,NABC=/BAD=90。,

在Rf△48E中，???/為IE的中點(diǎn)，：,BF=AF,:?/FBA=/FAB,

JNF4B+ZBAD=ZFBA+NABC,即ZFBC=ZFAD,

又,：AD=BC,FA=FB,：.AFBC^Z\FAD,:.NAFD=NBFC,

：.NBFD=NBFC+NDFC=/45。+NDFC=99",：.BFLFD.

2.如圖，在梯形4AC。中，NB+NC=90",石尸是兩底中點(diǎn)的連線，求證：BC-AD=2EF.

【解答】見(jiàn)解析

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)、E作EM〃力B交BC于點(diǎn)、M,EN〃DC交NC于點(diǎn)N.

中考撤號(hào)

:四功形/出是梯形，:.AD//BC,，四功形川?河￡1和四動(dòng)形。CNE為平行四邊形，:.BM=AE,CN=

DE,

YE、”分別為力。、8C的中點(diǎn)，：.AE=ED,BF=CF,:.FM=FN,

YEM〃AB,EN//DC,:./EMN+NB,/ENM=/C,

又TN8+NC=90",:?NEMN+NENM=90。,即NMEN=90"，:?EF=%N,

：.EF=—[BC-(BM+NC)]=-(BCfD),g|JBC-AD=2EF.

22

3.如圖，在△力6。中，NBAC=90",AB=AC,AD=CD,肝上BD于點(diǎn)E交BC于點(diǎn)F,求證：BF=

2FC.

【解答】見(jiàn)解析

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CN_L8D交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

'：AELBD,：.ZAED=ZN,

*：AD=CD,ZADE=ZCDN,:.AADEWACDN(AAS),:,DE=DN,

BFBEADDE

OF工BD,CN工BD,:.AF//CN,：.

FC~NE'~CD~1)N，

VZZ?/iC=90",AE工BD,：./\ABES4DBA,即AB'=BE?ED,

中考撤號(hào)

一班

同理可證/O'2=OE-3O,.AB^

.?訪一麗'

/>zpBF=BE=BE

?：AB=AC=2AD.*.——=一,又,：DN=DE,：.

fDEI~FC=~NE=WE

,BF

2，:?BF=2FC.

FC

4.如圖，在四邊形48co中，￡為力〃上的一點(diǎn)，△力。￡和△8CE都是等邊三角形，AB.BC、CD、DA

的中點(diǎn)分別為P、0、〃、N,試判斷四邊形PQMN的形狀.

【解答】四邊形PQMN為菱形

【解析】如圖，連接4C、BD.

???△4DE和△8CE都是等邊三角形，AZJFC=120",NBED=120。,:./AEC=/BED,

又?：EA=ED,EC=EB,:?叢AEC”ADEB,：,AC=BD,

又丁尸、0、M、N分別是48、BC、CD、D4的中點(diǎn)，:.PN4LgBD,QM區(qū)*BD,

.?.PN2QM,???四邊形P0MN是平行四邊形，

MPN=1BD，MN=?C,:,MN=PN,???四邊形尸0MN是菱形.

5.如圖，。是圓。外的一點(diǎn)，過(guò)夕點(diǎn)引兩條割線尸49、PCO,點(diǎn)M、N分別是靠、麗的中點(diǎn)，連接"N

分別交力4、C。于點(diǎn)上、F.

（1）求證：△尸即是等腰三角形；

（2）若點(diǎn)P在圓上或圓內(nèi)，其他條件不變，結(jié)論還能成立嗎？

中考核等

*/0M=ON,ZOMN=ZONM.

又丁點(diǎn)M、N分別是靠、B的中點(diǎn)、，工NMGE=NNHF=90。，；?NMEG=NNFH,

VZMEG=ZPEF,ZNFH=ZPFE,/.ZPEF=ZPFE,:?PE=PF,即△P￡r是等腰三角形；

6.半徑為1的半圓形紙片，按如圖方式沿折疊，使折疊后半圓弧的中點(diǎn)”與圓心O重合，求圖中陰

影部分面積？

M

O

【解答】挈一看

【解析】如圖，連接OM交48于點(diǎn)C,連接04、OB.

—M?

1、、

//1、\

^4----------------------------興

0

由題意可得0ML4B,且OC=MC=

在R/ZX/IOC中，???01=1,oc=1,...cos/.4OC=約-=^AC=VOA2-OC2=^

20A

：,ZAOC=6Q°,AB=2AC=y/^,AZAOB=2ZAOC=\20O

則S弓形兒”〃-S地形cSXACB—x

ouuz

2考率

S陰影=S半圓-2S^AMB=1TTX1—2^-;-

7.如圖，在等腰梯形力8C。中，AB//CD,48C=60°,4C平分ND/1B,E、尸分別為對(duì)角線/C、DB

的中點(diǎn)，月.E/=4.求這個(gè)梯形的面積.

中考撤號(hào)

【解答】48s

【解析】???四邊形力4CQ是等腰梯形，

：.ZDAB=ZABC=^°,DC//AB,

：?NDCA=/CAB,

??7C平分NZM8,

ZDAC=ZCAB=|ZD/15=305,NDCA=NDAC,

：.ZJC5=90°,AD=DC=BC,

：.AB=2BC=2CD,

設(shè)CD=a,則AB=2a,

???在△OFC和△M￡4中

(ZDCE=ZMAE

\CE=AE,

UDEC=LMEA

:?△DESAMEA(ASA),

：,DC=AM=a,DE=EM,

?:DF=BF,

：.EF=\BM=\(AB-AM),

V￡F=4,

.*.4=|C2a-a),

4=8,

即BC=4D=Z)C=8,48=16,

中考撤號(hào)

：,/BCN='300,

:?BN=￥BC=4,由勾股定理得：CN=4書(shū),

，梯形的面積=:(QC+48)XGV=|x(8+16)X4$=48$.

8.如圖，在對(duì)△/4C中，N力=90°,。為斜邊BC中點(diǎn)，DELDF,求證：EF2=BE2+CF2.

【解析】證明：延長(zhǎng)EO到G,使。G=Z)E,連接E產(chǎn)、FG、CG,如圖所示:

(DF=DF

ZFDF=ZFDG=9O°,

[DG=DE

:.△EDFmXGDF(SAS),

:?EF=FG

又為斜邊BC中點(diǎn)、

:.BD=DC

在必和△COG中,

中考核等

(BD=DC

\z.BDE=^.CDG,

[DE=DG

:ABDE咨ACDG(SAS)

:,BE=CG,/B=NBCG

：.AB//CG

AZGC/4=180u-N4=180“?90”=90”

在燈^廠口？中，由勾股定理得：

FG』。產(chǎn)+CG2=CFJBE?

：.EF2=FG2=BE^+CF2,

9.半徑為2.5的。。中，直徑,48的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P.已知8C：。=4：3,點(diǎn)尸在俞上運(yùn)動(dòng),

過(guò)點(diǎn)。作。尸的垂線，與24的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.

(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于48對(duì)稱時(shí)，求C0的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到能的中點(diǎn)時(shí)，求C。的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，C0取到最大值？求此時(shí)C0的長(zhǎng).

【解答】⑴^⑵竿；⑶當(dāng)PC過(guò)圓心O,即尸。取最大值5時(shí)，C0最大值為日.

D?50

【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于48對(duì)稱時(shí)，CP上＜B,設(shè)垂足為。.

??78為。。的直徑，

AZJC5=90°.

??/8=5,又?：BC：0=4：3,

：?BC=4,4C=3.

又,?亨C?8C=必8?CO

/.CZ)=Y?尸C=W

在RtAACB和RtAPCQ中,

ZACB=ZPCQ=9Q°,ZCAB=ZCPQ,

中考撤號(hào)

RtAACB^RtAPCQ

,AC_P￡

，，BC=CQt

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧48的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)8作8E_LPC于點(diǎn)E(如圖).

???尸是弧48的中點(diǎn),

；?NPCB=45°,CE=4￡=爭(zhēng)。=2”

又NCPB=NC4B

4

：.tanACPB=tan^CAB=-

而從(1)中得，C0=gpc=呼.

(3)點(diǎn)P在弧48上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有。。=%盧=：尸C：

故PC最大時(shí)，C。取到最大值.

20

當(dāng)PC過(guò)圓心O,即PC取最大值5時(shí)，C0最大值為7.

10.如圖已知力8c。中，E為40的中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交歷1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸

(1)CD與FA相等嗎？為什么？

(2)若使NF=N4W,々18CQ的邊長(zhǎng)之間還需要再添加一個(gè)什么條件？請(qǐng)你補(bǔ)上這個(gè)條件并說(shuō)明理由.

中考撤號(hào)

【解答】(1)見(jiàn)解析：(2)見(jiàn)解析

【解析】(1)CD=FA.

理由：???四邊形力4C'。是平行四邊形，

：.CD〃AB,

'：NO=/EAF,

???￡為4。的中點(diǎn)，

即DE=AE,

，在ACDE和△心E中,

ZD=ZEAF

DE=AE,

乙CED=Z.FEA

:ZI汨aXFAE(ASA),

：，CD=FA.

(2)要使Z尸=26。凡需平行四邊形/16C。的邊K之