第七章隨機(jī)信號(hào)的功率譜估計(jì)7.1隨機(jī)信號(hào)及其特征描述7.2平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜7.3經(jīng)典譜估計(jì)7.4現(xiàn)代譜估計(jì)§7.1隨機(jī)信號(hào)及其特征描述隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)的數(shù)字特征平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性重點(diǎn)：平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)一、隨機(jī)信號(hào)圖

運(yùn)放電路的零飄電壓一、隨機(jī)信號(hào)

如果將對(duì)零漂電壓的觀測(cè)看作隨機(jī)試驗(yàn)，那么對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的每一次觀測(cè)，都可以得到一個(gè)信號(hào)樣本。樣本的集合描述了完整的隨機(jī)過程，記作隨機(jī)信號(hào)是依賴于時(shí)間的隨機(jī)變量。一、隨機(jī)信號(hào)抓住變化中的不變量找出隨機(jī)中的確定量二、隨機(jī)信號(hào)的數(shù)字特征(1)均值：(2)方差：時(shí)間的函數(shù)(3)均方(4)自相關(guān)函數(shù)二、隨機(jī)信號(hào)的數(shù)字特征自相關(guān)函數(shù)描述了隨機(jī)信號(hào)X(n)在n1和n2時(shí)刻的關(guān)系，是隨機(jī)信號(hào)分析中最重要的統(tǒng)計(jì)量。

1.寬平穩(wěn)（wide-sensestationary，WSS）信號(hào),又稱廣義平穩(wěn)信號(hào)。是指滿足下述三個(gè)條件的隨機(jī)信號(hào)：寬平穩(wěn)信號(hào)的均值和時(shí)間無(wú)關(guān)，為常數(shù)；自相關(guān)函數(shù)和時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只和兩點(diǎn)的時(shí)間差有關(guān)。注意：三、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性三、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性2.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性

對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，如果它的所有樣本函數(shù)在某一固定時(shí)刻的一階和二階統(tǒng)計(jì)特性和單一樣本函數(shù)在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性相同，則稱為各態(tài)遍歷信號(hào)。對(duì)各態(tài)遍歷信號(hào)來說，用一階和二階的集平均等于相應(yīng)的時(shí)間平均，即

三、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷性式中，是的一個(gè)單一樣本函數(shù)。小結(jié)：隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)各態(tài)遍歷的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，可以用單一樣本函數(shù)的時(shí)間平均代表該信號(hào)所有樣本函數(shù)的一階和二階的集平均平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)和時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只和時(shí)間差有關(guān)。隨機(jī)信號(hào)：依賴于時(shí)間的隨機(jī)變量?！?.2平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜隨機(jī)信號(hào)的頻域分析隨機(jī)信號(hào)的功率譜平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)重點(diǎn)：隨機(jī)信號(hào)的功率譜一、隨機(jī)信號(hào)的頻域分析隨機(jī)信號(hào)是一類持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，具有無(wú)限能量的功率信號(hào)，雖然不滿足Fourier變換存在的條件，但由于其任一樣本函數(shù)功率有限，所以功率譜PSD（PowerSpectrumDensity)就成為在頻域描述隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要特征參數(shù)。頻譜分析確定信號(hào)隨機(jī)信號(hào)？的一個(gè)樣本；二、隨機(jī)信號(hào)的功率譜時(shí)域功率頻域功率功率譜原始定義，包含了求均值和求極限兩個(gè)運(yùn)算，即：既要求時(shí)間平均，又要求集總平均。功率譜定義1：二、隨機(jī)信號(hào)的功率譜信號(hào)X(n)的功率譜是多個(gè)樣本X(n,i)的功率譜的集總平均。維納—辛欽定理功率譜定義2：定理成立條件：二、隨機(jī)信號(hào)的功率譜對(duì)功率譜，有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 是ω的實(shí)函數(shù)；性質(zhì)2對(duì)所有的ω都是非負(fù)的；性質(zhì)3若是實(shí)信號(hào)，則是關(guān)于ω的偶函數(shù)；

二、隨機(jī)信號(hào)的功率譜三、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)圖

平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)對(duì)于線性系統(tǒng)，其輸出和輸入信號(hào)之間滿足：三、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)

為討論方便起見，現(xiàn)假定x(n)是實(shí)信號(hào)，這樣，y(n)也是實(shí)的。x(n)和y(n)的自相關(guān)信號(hào)滿足：

進(jìn)一步得到：[解](1)[例]所以：(2)由差分方程，有用平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(n)單一樣本的N個(gè)觀測(cè)值可以準(zhǔn)確求得該隨機(jī)信號(hào)的功率譜？思考題§7.3經(jīng)典功率譜估計(jì)周期圖法自相關(guān)法直接法和間接法的關(guān)系改進(jìn)的經(jīng)典功率譜估計(jì)重點(diǎn)：經(jīng)典功率譜的基本原理平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)功率譜的兩個(gè)定義：隨機(jī)信號(hào)的單個(gè)樣本求均值運(yùn)算求極限運(yùn)算兩者等效理想的功率譜中，兩個(gè)定義都要求：樣本無(wú)窮多，時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，即需要集總平均。功率譜估計(jì)：古老而又年輕的話題！實(shí)際工作中，我們往往能得到的是：

1.單一的樣本；

2.單一樣本的有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)；關(guān)鍵：如何用單一樣本的有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)去估計(jì)隨機(jī)信號(hào)真實(shí)的功率譜？平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)功率譜的兩個(gè)定義：請(qǐng)抓住并搞清楚如下三個(gè)問題：功率譜為什么要估計(jì)？如何估計(jì)？如不理想，如何改進(jìn)？已知數(shù)據(jù)：估計(jì)：兩種方法:間接法：先估計(jì)

，再估計(jì)直接法：直接求平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)功率譜的兩個(gè)定義：功率譜定義1：功率譜定義2：一、周期圖法思路：其中簡(jiǎn)化：僅為有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)，缺少對(duì)時(shí)間的取極限運(yùn)算，2)僅使用隨機(jī)信號(hào)的單一樣本，缺少取均值運(yùn)算。一、周期圖法求均值：?jiǎn)我粯颖镜墓β首V不能收斂到所有樣本的功率譜，因此必須有求均值運(yùn)算，此即如下定義的來歷：各態(tài)遍歷信號(hào)也是如此。增大數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N，能否改善周期圖法的性能？一、周期圖法增大數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N，無(wú)法改善周期圖法的性能利用周期圖法進(jìn)行平穩(wěn)高斯白噪聲的譜估計(jì)。隨機(jī)生成30組N點(diǎn)均值為零，方差為1的平穩(wěn)高斯白噪聲，分別計(jì)算N=64，128，256，512時(shí)的功率譜估計(jì)值，并分析譜估計(jì)質(zhì)量。二、自相關(guān)法因?yàn)橄纫烙?jì)自相關(guān)函數(shù)，所以又稱間接法。與此相對(duì)應(yīng)，周期圖法又稱直接法。Step1Step2三、直接法和間接法的關(guān)系：需要考慮兩種情況：數(shù)據(jù)的范圍自相關(guān)函數(shù)的范圍（一）

M=N-1（二）M<N-1相當(dāng)于只用了部分自相關(guān)函數(shù)所以：:加在自相關(guān)函數(shù)上。目的是將其截短。第二次加窗。M<N-1三、直接法和間接法的關(guān)系：解：對(duì)x(n)進(jìn)行離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)功率譜為：【例】已知實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n)單一樣本的N個(gè)觀測(cè)值為x(n)={1,0，-1}，試求取其功率譜。解：x(n)的自相關(guān)函數(shù)值為對(duì)進(jìn)行傅里葉變換得X(n)的功率譜【例】已知實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n)單一樣本的N個(gè)觀測(cè)值為x(n)={1,0，-1}，試求取其功率譜。四、改進(jìn)的經(jīng)典功率譜估計(jì)目標(biāo)：主要是改進(jìn)方差的性能方法：平滑與平均；任務(wù)：改進(jìn)對(duì)估計(jì)的性能；用對(duì)的加窗來實(shí)現(xiàn)平滑1.平滑（Smoothing)

缺點(diǎn)：降低了頻率分辨率

優(yōu)點(diǎn)：波動(dòng)比小

理論依據(jù):L個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量和的分布，方差減小L倍，即：將一個(gè)較長(zhǎng)的信號(hào)分成若干段，對(duì)每一段求功率譜，每一段的功率譜都是隨機(jī)變量，然后平均之。類似相干平均，用以彌補(bǔ)經(jīng)典譜估計(jì)中缺少的求均值運(yùn)算。注意：信號(hào)應(yīng)是平穩(wěn)的，且每一段的統(tǒng)計(jì)特性基本一樣。2.平均（Average）Bartlett平均將x(n)分成L段，每段M點(diǎn)，即N=LM在數(shù)據(jù)上加了數(shù)據(jù)窗寬度是M每一段譜平均后譜Bartlett平均時(shí)域數(shù)據(jù)窗等效為頻域功率譜卷積運(yùn)算：統(tǒng)計(jì)性能分析：

（1）分辨率進(jìn)一步下降；

（2）方差減小，但是到不了L倍?。。elch平均平均周期圖法優(yōu)點(diǎn)：減小方差缺點(diǎn)：增加估計(jì)的偏差，降低了譜的分辨率原因：分段即加窗，段越多，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度越短解決方法：將各段數(shù)據(jù)有一定程度的重疊Welch平均特點(diǎn)：交疊分段若重疊一半，段數(shù)變大Welch平均是常用的經(jīng)典譜估計(jì)方法，MATLAB中有相應(yīng)的命令：不一定是矩形窗，如Hamming窗Welch平均假定1：是慢變譜，在的主瓣內(nèi)近似為一個(gè)常數(shù)）Welch平均法的方差比Barttlett方法有明顯的減小，而偏差幾乎沒有減小例：利用Welch法進(jìn)行平穩(wěn)高斯白噪聲的譜估計(jì)產(chǎn)生30組512點(diǎn)均值為零，方差為1的平穩(wěn)高斯白噪聲，利用Welch法按照50%重疊分別將其分成L=3，7，15，31段，計(jì)算功率譜估計(jì)值，并分析譜估計(jì)質(zhì)量。分析：

(1)對(duì)每組512點(diǎn)數(shù)據(jù)按各段數(shù)據(jù)重疊50%的方式分成3段256點(diǎn)序列，7段128點(diǎn)序列，15段64點(diǎn)序列，31段32點(diǎn)序列。(2)求出每段數(shù)據(jù)的周期圖(3)再取平均即得各組數(shù)據(jù)的功率譜估計(jì),即44平穩(wěn)高斯白噪聲功率譜估計(jì)結(jié)果(Welch法)隨著分段數(shù)L的增加，譜估計(jì)越來越平滑，方差明顯減小。Welch法的譜估計(jì)結(jié)果比周期圖法的譜估計(jì)結(jié)果有顯著改善，更接近理論分析(0dB)。經(jīng)典功率譜估計(jì)的特點(diǎn)1.經(jīng)典功率譜估計(jì)物理概念明確，可用FFT快速算法。所以是最常用的譜估計(jì)方法；2.對(duì)周期圖法，分辨率受到樣本數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N的限制；對(duì)自相關(guān)法，分辨率受到數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度的限制；3.經(jīng)典功率譜估計(jì)方差性能不好，而且增加數(shù)據(jù)長(zhǎng)度時(shí)，譜曲線反而起伏加?。?.改進(jìn)方法是“平滑”與“平均”，改進(jìn)的目的是減小方差，但犧牲了分辨率；§7.4現(xiàn)代譜估計(jì)問題提出參數(shù)模型法的基本思想平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型模型選擇AR模型的正則方程重點(diǎn)：AR模型及其正則方程一、問題提出

經(jīng)典法存在問題:1.方差性能不好，譜估計(jì)結(jié)果偏差較大。2.平滑周期圖和平均周期圖改善了周期圖的方差性能，但卻降低了譜分辨率和增大了偏差。3.可能使短序列的功率譜估計(jì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。

出現(xiàn)問題的原因:將觀測(cè)數(shù)據(jù)以外的數(shù)據(jù)一律視為零，與實(shí)際不符。二、參數(shù)模型法的基本思想一個(gè)規(guī)則的寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(n)，總可以由方差為

2的白噪聲u(n)通過系統(tǒng)函數(shù)為H(z)的最小相位系統(tǒng)獲得。

根據(jù)所研究信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)以外的數(shù)據(jù)作出某種比較合理的假設(shè)。二、參數(shù)模型法的基本思想

方法：(1)選擇一個(gè)好的模型，在輸入是沖激函數(shù)或白噪聲的情況下，使其輸出等于所研究的信號(hào)，至少也是對(duì)該信號(hào)的一個(gè)良好近似。(2)利用已知的自相關(guān)函數(shù)或數(shù)據(jù)求模型的參數(shù)。(3)利用求出的模型參數(shù)或數(shù)據(jù)估計(jì)該信號(hào)的功率譜。二、參數(shù)模型法的基本思想好的選擇意味著成功一半三、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型1.AR（Auto-Regressive）模型全極點(diǎn)模型則：若：并假定：

2.MA（Moving-Average）模型全零點(diǎn)模型若：則：四、模型選擇選擇模型的依據(jù)是根據(jù)信號(hào)的一些先驗(yàn)知識(shí)，模型選擇原則：（1）考慮模型能夠表示譜峰、譜谷的能力。具有尖峰的譜，應(yīng)該選用具有極點(diǎn)的模型，如AR和ARMA模型；具有平坦譜峰和深谷的信號(hào)，可以選用MA模型；既有極點(diǎn)又有零點(diǎn)的譜，應(yīng)選用ARMA模型（2）盡量減少模型參數(shù)，這與模型選擇是否合適有關(guān)。結(jié)論：在選擇模型合適的基礎(chǔ)上，盡量減少模型的參數(shù)。(1)AR模型的參數(shù)計(jì)算是線性方程，比較簡(jiǎn)便；(2)適合窄帶信號(hào)的頻估計(jì)；(3)譜估計(jì)時(shí)由于具有遞推特性所需的數(shù)據(jù)較短。四、模型選擇AR模型用得最普遍而MA模型對(duì)窄帶信號(hào)進(jìn)行譜估計(jì)時(shí)，一般需要數(shù)量很多的參數(shù)。ARMA模型所需的參數(shù)數(shù)量最少，但參數(shù)估計(jì)的算法是非線性方程組，其運(yùn)算遠(yuǎn)比AR模型復(fù)雜。例：不同的參數(shù)模型對(duì)建模難度和運(yùn)算量的影響例：不同的參數(shù)模型對(duì)建模難度和運(yùn)算量的影響目標(biāo)：找到已知參數(shù)和未知參數(shù)的關(guān)系，以便求解未知參數(shù)：已知參數(shù)：求解方法：由下面的差分方程入手：兩邊同乘，求均值:未知參數(shù)：五、AR模型的正則方程和的互相關(guān)五、AR模型的正則方程因果系統(tǒng)卷積關(guān)系五、AR模型的正則方程結(jié)果1：結(jié)果2：結(jié)合起來正則方程（NormalEq.）五、AR模型的正則方程6262Toeplitz自相關(guān)陣又稱Yule