專項(xiàng)三概率與統(tǒng)計(jì)

考點(diǎn)2概率的實(shí)際應(yīng)用

大題拆解技巧

【母題】(2020年全國I卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場

者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一

場比賽，負(fù)者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中

一人被淘汰，另一-人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝

的概率都為今

⑴求甲連勝四場的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

⑶求閃最終獲勝的概率.

【拆解1］已知條件不變，求甲連勝四場的概率.

【拆解2］己知條件不變，求需要進(jìn)行第五場比賽的概率.

【拆解3］已知條件不變，求甲贏的概率.

【拆解4】已知甲贏的概率為總求丙最終獲勝的概率.

小做變式訓(xùn)練

甲、乙、丙三人參加學(xué)?！霸┘文耆A”競答游戲,活動的規(guī)則為:甲、乙、丙三人先分別坐在

圓桌的A,B,C三點(diǎn)，第一輪從甲開始通過擲骰子決定甲的競答對手，若點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，則按逆時(shí)

針選擇乙，若是偶數(shù)，則按順時(shí)針選內(nèi)，下一輪由上一輪擲骰子選中的對手繼續(xù)通過擲骰子決

定競答對手，如果點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)按逆時(shí)針選對手，點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)按順時(shí)針選對手，已知每場競答甲

對乙、甲對丙、乙對丙獲勝的概率分別為(3右且甲、乙、丙之間競答互不影響，各輪游戲

之間亦互不影響，若比賽中某選手累計(jì)獲勝場數(shù)達(dá)到兩場，則游戲結(jié)束，該選手為晉級選手.

⑴求比賽進(jìn)行了三場且甲晉級的概率；

(2)若比賽進(jìn)行了三場后結(jié)束，記甲獲勝的場數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【拆解1］已知條件不變，求比賽進(jìn)行了3場且甲晉級的概率.

【拆解2］已知條件不變，若比賽進(jìn)行了三場后結(jié)束，甲一場也沒有獲勝的概率.

【拆解3】比賽進(jìn)行了三場甲贏兩場的概率為士甲一場也沒有獲勝的概率為急.記甲獲勝的場

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數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

通法技巧歸納

1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法：

(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.

⑵正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難乂入手的題目時(shí)，可從其對立事件入

手計(jì)算.

2.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法:一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一此

彼此互斥的事件的概率再求和;二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)=1-P(A)

求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題時(shí)，多考慮間接法.

突破實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練

〈基礎(chǔ)過關(guān)〉

1.某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn),決定大力發(fā)展旅游產(chǎn)

業(yè)，一方面對現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級改造，另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平.為此該地區(qū)旅游

部門,對所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查，下表是該部門從去年某月到該地區(qū)旅

游的游客中，隨機(jī)抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表.

老年人中年人青年人

滿意度

報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游

滿意121184156

一般2164412

不滿意116232

(1)由表中的數(shù)據(jù)分析可知，老年人、中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇

報(bào)團(tuán)游？

⑵為了提高服務(wù)水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意''的自助游游客中.隨機(jī)

抽取2人征集改造建議，求這2人中有老年人的概率.

(3)若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目？

2.第24屆冬季奧運(yùn)會將于2022年2月在北京和張家口舉辦，為了普及冬奧知識，京西某校組

織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了20名學(xué)生作為樣本，得

到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下：

分?jǐn)?shù)段[30,40)[40.50)[50.60)[60,70)[70.80)[80,90)[90,100]

人數(shù)1228331

我們規(guī)定60分以下為不及格;60分及以上至70分以下為及格;70分及以上至80分以下為良

好;80分及以上為優(yōu)秀.

(1)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀的概率是多少？

(2)將上述樣本統(tǒng)計(jì)中的頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中優(yōu)秀的

人數(shù)，求X的分布列與期望.

3.乒乓球是中國國球，它是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目,某中學(xué)為了鼓勵(lì)學(xué)生多參加體育鍛

煉，會定期地舉辦乒乓球競賽.已知該中學(xué)高一、高二、高三三個(gè)年級的人數(shù)分別為

690,460,460,現(xiàn)采取分層抽樣的方法從三個(gè)年級中抽取7人參加校內(nèi)終極賽.

(1)求該中學(xué)高一、高二、高三三個(gè)年級參加校內(nèi)終極賽的人數(shù)；

⑵現(xiàn)從抽取的7人中再隨機(jī)抽取2人拍照做海報(bào)宣傳，求“抽取的2人來自同一年級”的概率.

4.受新冠肺炎疫情的影響,2020年一些企業(yè)改變了針對應(yīng)屆畢業(yè)生的校園招聘方式，將線下招

聘改為線上招聘.某世界五百強(qiáng)企業(yè)M的線上招聘方式分資料初審、筆試、面試這三個(gè)環(huán)節(jié),

資料初審?fù)ㄟ^后才能進(jìn)行筆試，筆試合格后才能參加面試，面試合格后便正式錄取，且這幾個(gè)

環(huán)節(jié)能否通過相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲、乙、丙二名大學(xué)生報(bào)名參加了企業(yè)M的線上招聘，并均已通

過了資料初審環(huán)節(jié).假設(shè)甲通過筆試、面試的概率分別為生;乙通過筆試、面試的概率分別為

13丙通過筆試、面試的概率與乙相同.

(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企業(yè)M正式錄取的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)M正式錄取的概率；

⑶為鼓勵(lì)優(yōu)秀大學(xué)生積極參與企業(yè)的招聘工作，企業(yè)M決定給報(bào)名參加應(yīng)聘且通過資料初

審的大學(xué)生一定的補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

參與環(huán)節(jié)筆試面試

補(bǔ)貼(元)100200

記甲、乙、丙三人獲得的所有補(bǔ)貼之和為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

〈能力拔高,

5.甲、乙兩家物流公司都需要進(jìn)行貨物中轉(zhuǎn)，由于業(yè)務(wù)量于大，現(xiàn)向社會招聘貨車司機(jī),其日工

資方案如下:甲公司底薪80元，司機(jī)每中轉(zhuǎn)一車貨物另計(jì)4元;乙公司無底薪，中轉(zhuǎn)40車貨物

以內(nèi)(含40車)的部分司機(jī)每車計(jì)6元，超出40車的部分司機(jī)每車計(jì)7元.假設(shè)同一物流公司

的司機(jī)一天中轉(zhuǎn)車數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名貨車司機(jī),并分別記錄其50天的

中轉(zhuǎn)車數(shù)，得到如下頻數(shù)表：

甲公司司機(jī)中轉(zhuǎn)車數(shù)頻數(shù)表

中轉(zhuǎn)車數(shù)3839404142

天數(shù)101510105

乙公司司機(jī)中轉(zhuǎn)車數(shù)頻數(shù)表

中轉(zhuǎn)車數(shù)3839404142

天數(shù)51010205

⑴現(xiàn)從記錄甲公司的50天貨物中轉(zhuǎn)車數(shù)中隨機(jī)抽取3天的中轉(zhuǎn)車數(shù)，求這3天中轉(zhuǎn)車數(shù)都不

小于40的概率.

⑵若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問題：

①記乙公司貨車司機(jī)日工資為X(單位:元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

②小王打算到甲、乙兩家物流公司中的一家應(yīng)聘，如果僅從日工資的角度考慮,請利用所學(xué)的

統(tǒng)計(jì)學(xué)知識為小王作出選擇，并說明理由.

6.某商城玩具柜臺元旦期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送元

旦禮品.而每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶A.,A2,A3中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開出玩偶

Bi,B2中的一個(gè).

⑴記事件En：一次性購買n個(gè)甲系列肓盒后集齊A「A2A玩偶:事件R:一次性購買n個(gè)乙系

列盲盒后集齊BI,B2玩偶;求概率P(E6)及P(F5).

(2)禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會，且購買時(shí)、只能

選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒.通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn):第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲系列的概率為

占購買乙系列的概率為"而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為"敗買乙

554

系列的概率為:;前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為3購買乙系列的概率

42

為去如此往復(fù)，記某人第n次購買甲系列的概率為Q?.

①求Qn；

②若每天購買盲盒的人數(shù)約為100,且這100人都已購買過很多次這兩個(gè)系列的旨盒,試估計(jì)

該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè).

〈拓展延伸〉

7.2020年1月15FI教育部制定出臺了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的

意見》(也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”)，《意見》宣布:202。年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行

強(qiáng)基計(jì)劃.強(qiáng)基計(jì)劃要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔

尖的學(xué)生.據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)

節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目，且每門科目是否通過相互獨(dú)立.若某

考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為去該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次為

3gm，其中0<m<1.

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⑴若m1,分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；

⑵強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

依據(jù)作出決策，當(dāng)該考生更有希望通過乙大學(xué)的筆試時(shí)，求m的取值范圍.

8.某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國家精