/6.1用樹狀圖或表格求概率知識(shí)梳理核心結(jié)論：本節(jié)核心是掌握樹狀圖法和表格法兩種求概率的核心方法，關(guān)鍵在于不重復(fù)、不遺漏地列出隨機(jī)事件的所有等可能結(jié)果，進(jìn)而計(jì)算事件發(fā)生的概率，重點(diǎn)用于判斷游戲公平性、解決摸球、拋硬幣等簡(jiǎn)單隨機(jī)事件概率問題。一、概率求解的核心前提隨機(jī)事件中，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果必須滿足等可能性（即每個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率相等），這是用樹狀圖或表格求概率的基礎(chǔ)。示例：拋擲均勻硬幣，“正面朝上”和“反面朝上”是等可能結(jié)果；若硬幣不均勻，則結(jié)果不等可能，不能直接用本節(jié)方法求解。二、兩種核心求概率方法（定義+步驟）1.樹狀圖法定義：通過“樹狀”結(jié)構(gòu)逐層列出每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，最終梳理出事件的全部等可能結(jié)果的方法。適用場(chǎng)景：適用于兩步及以上的隨機(jī)試驗(yàn)（如連續(xù)拋硬幣、兩次摸卡片、石頭剪刀布游戲等）。核心步驟：明確試驗(yàn)的步驟（如第一步拋第一枚硬幣，第二步拋第二枚硬幣）；按步驟逐層列出每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果（如第一步“正”?“反”，第二步每個(gè)結(jié)果下再分“正”?“反”）；統(tǒng)計(jì)全部等可能結(jié)果的總數(shù)（記為n）；找出目標(biāo)事件對(duì)應(yīng)的結(jié)果數(shù)（記為k）；代入概率公式目標(biāo)事件P(目標(biāo)事件)=k2.表格法定義：通過列表格的形式，將兩次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果一一對(duì)應(yīng)，清晰呈現(xiàn)全部等可能結(jié)果的方法。適用場(chǎng)景：主要適用于兩步隨機(jī)試驗(yàn)（如從兩個(gè)盒子中摸卡片、兩次拋硬幣等），直觀簡(jiǎn)潔。核心步驟：確定兩次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果（如第一次試驗(yàn)結(jié)果為行，第二次為列）；在表格中填寫每行每列對(duì)應(yīng)的組合結(jié)果（如（正，正）（正，反）等）；統(tǒng)計(jì)全部等可能結(jié)果的總數(shù)n和目標(biāo)事件對(duì)應(yīng)的結(jié)果數(shù)k；用P=k三、游戲公平性的判斷標(biāo)準(zhǔn)核心邏輯：判斷游戲是否公平，關(guān)鍵看參與各方獲勝的概率是否相等。判斷步驟：用樹狀圖或表格列出游戲的所有等可能結(jié)果；分別計(jì)算各方獲勝的概率；若各方概率相等，則游戲公平；若概率不相等，則游戲不公平（概率大的一方更占優(yōu)）。示例：連續(xù)拋兩枚均勻硬幣，小明勝（兩正）、小穎勝（兩反）、小凡勝（一正一反），通過表格法得出總結(jié)果4種，小明和小穎獲勝概率均為14，小凡為1四、核心應(yīng)用場(chǎng)景兩步隨機(jī)試驗(yàn)概率計(jì)算：如從兩個(gè)盒子中摸卡片求數(shù)字和為某值的概率、兩次摸球（放回）求同色的概率。三步及以上隨機(jī)試驗(yàn)概率計(jì)算：如“石頭剪刀布”游戲（三步選擇）、三次拋硬幣求至少兩次正面朝上的概率（樹狀圖更適用）。游戲公平性設(shè)計(jì)與判斷：如設(shè)計(jì)公平的抽獎(jiǎng)規(guī)則、判斷現(xiàn)有游戲是否對(duì)所有參與者公平。五、易錯(cuò)提醒漏列或重復(fù)列出結(jié)果：未按步驟逐層/逐列梳理，導(dǎo)致結(jié)果總數(shù)n計(jì)算錯(cuò)誤（如拋兩枚硬幣誤將“一正一反”算1種結(jié)果，實(shí)際為2種）。不等可能結(jié)果誤用：未先判斷結(jié)果是否等可能，直接套用公式（如用不均勻骰子試驗(yàn)，仍按等可能結(jié)果計(jì)算）。游戲公平性判斷失誤：僅看獲勝結(jié)果的數(shù)量，忽略結(jié)果總數(shù)（如認(rèn)為“兩正”?“兩反”?“一正一反”各1種，誤判概率相等）。多步試驗(yàn)步驟混淆：三步及以上試驗(yàn)未理清層級(jí)關(guān)系，導(dǎo)致樹狀圖分支混亂。同步訓(xùn)練一、單選題1．同時(shí)擲2枚相同的質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)一正一反的概率是（

）A．12 B．13 C．232．2025年8月7日晚我縣因強(qiáng)降雨引發(fā)山洪泥石流，導(dǎo)致我縣城關(guān)鎮(zhèn)、馬坡鄉(xiāng)、小康營(yíng)鄉(xiāng)、夏官營(yíng)鎮(zhèn)4個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)發(fā)生山洪災(zāi)害，相關(guān)部門連夜救援，全縣人民積極參與抗洪救災(zāi)，小張和小李兩名同學(xué)踴躍前去當(dāng)志愿者，他們隨機(jī)從“清理淤泥垃圾”、“安置點(diǎn)做義務(wù)工”、“物資裝卸”、“物資登記與分發(fā)”四項(xiàng)中任選一項(xiàng)參加志愿者活動(dòng)，則他倆恰好選擇不同項(xiàng)目的概率是（

）A．12 B．13 C．143．《數(shù)學(xué)之美》特種郵票于今年3月14日發(fā)行．如圖，該郵票一套4枚，圖案名稱分別為圓周率、勾股定理、歐拉公式、莫比烏斯帶．現(xiàn)將這4枚郵票（除正面圖案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗勻后從中隨機(jī)抽取1枚，記下名稱后放回；洗勻后再隨機(jī)抽取1枚．兩次抽取的郵票圖案名稱不相同的概率為（

）A．13 B．14 C．344．在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3A．12 B．23 C．345．為激發(fā)同學(xué)們的民族自豪感，讓大家更深刻地感受中國(guó)科學(xué)家的卓越貢獻(xiàn)，鄭州市第十九初級(jí)中學(xué)準(zhǔn)備開展“致敬中國(guó)科學(xué)”的主題活動(dòng)，老師收集了4位近代中國(guó)科學(xué)家的畫像，其中包括“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”華羅庚、“雜交水稻之父”袁隆平、“兩彈一星”元?jiǎng)族X學(xué)森、諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主楊振寧．若從這4幅畫像中隨機(jī)抽取2幅布置教室，求抽到的2幅畫像中恰好包含華羅庚，楊振寧畫像的概率是（）A．16 B．18 C．3166．用如圖所示的轉(zhuǎn)盤進(jìn)行配紫色游戲（紅色和藍(lán)色在一起配成了紫色），已知轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的三部分，若轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，則轉(zhuǎn)盤上兩次顯示的顏色可以配成紫色的概率為（

）A．13 B．29 C．19二、填空題7．在一次試驗(yàn)中，每個(gè)電子元件▄有通電或斷電兩種狀態(tài)，并且這兩種狀態(tài)的可能性相等．如圖，在一定時(shí)間段內(nèi)，A，B之間電流能夠正常通過的概率是．8．在實(shí)數(shù)?2，?1，0，1中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)作為m的值，再在剩下的三個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)作為n的值，那么m大于n的概率是．9．每年的11月9日是“119消防宣傳日”．本月5日，某校采用隨機(jī)抽樣的方式對(duì)學(xué)生掌握消防安全知識(shí)的情況進(jìn)行書面測(cè)評(píng)，測(cè)評(píng)成績(jī)前四名的學(xué)生恰好是1個(gè)女生和3個(gè)男生，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2人代表學(xué)校參加市級(jí)消防安全知識(shí)競(jìng)賽，則抽到的2個(gè)學(xué)生恰好是一男生與一女生的概率是．10．從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中取出一個(gè)數(shù)作為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從5,6,7,8四個(gè)數(shù)中取出一個(gè)數(shù)作為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在直線y=?x+911．物理老師在復(fù)習(xí)《物質(zhì)的形態(tài)及其變化》這一章內(nèi)容時(shí)，將寫有“汽化”“液化”“熔化”“升華”字樣的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一樣），小明和小穎先后抽取一張卡片（不放回），則抽到的卡片內(nèi)容對(duì)應(yīng)的物態(tài)變化過程都是要吸熱的概率是．三、解答題12．晉中市位于山西省中部，東依太行山，西臨汾河，地勢(shì)獨(dú)特，氣候適宜，孕育了豐富的特產(chǎn)．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師將分別印有“A．平遙牛肉，B．太谷餅，C．榆次灌腸，D．壽陽(yáng)豆干”這四種特產(chǎn)的四張卡片（除特產(chǎn)不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，讓每位學(xué)生從這四張卡片中隨機(jī)抽取一張，并放回，然后對(duì)所抽取卡片上的特產(chǎn)進(jìn)行介紹．請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法，求該班的小軍和小明兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的概率．13．標(biāo)有A，B，C的三只燈籠按如圖所示的方式懸掛，每次摘取一只（摘A前需先摘C），直到摘完．(1)第一次摘到C的概率是_______．(2)用樹狀圖分析出最后一只摘到B的概率．14．一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)球，將它們分別標(biāo)為1，2，3，4，這些球除標(biāo)號(hào)外都相同．(1)將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球，摸到標(biāo)號(hào)為2的球的概率是______；(2)將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球，記錄標(biāo)號(hào)后不放回，再?gòu)拇又腥我饷?個(gè)球，記錄標(biāo)號(hào)．求兩次摸到的球標(biāo)號(hào)數(shù)字的乘積小于4的概率．（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）15．中華人民共和國(guó)第十五屆運(yùn)動(dòng)會(huì)于2025年11月9日至21日舉行，由廣東、香港、澳門三地共同舉辦．本屆運(yùn)動(dòng)會(huì)的吉祥物“喜洋洋”和“樂融融”以國(guó)家一級(jí)保護(hù)動(dòng)物中華白海豚為原型設(shè)計(jì)，象征團(tuán)結(jié)互助、生態(tài)保護(hù)及粵港澳大灣區(qū)協(xié)同發(fā)展．組委會(huì)現(xiàn)將3張正面印有“喜洋洋”和2張正面印有“樂融融”圖案的明信片（明信片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）送給志愿者留作紀(jì)念．(1)將這5張明信片背面朝上，洗勻，若志愿者小明從中隨機(jī)抽取1張，則抽取的明信片上的圖案恰好為“樂融融”的概率為______；(2)將這5張明信片背面朝上，洗勻，若志愿者小明先從中隨機(jī)抽取1張，志愿者小亮再?gòu)氖Ｓ嗟拿餍牌须S機(jī)抽取1張，請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人抽取的明信片圖案恰好一個(gè)是“喜洋洋”，一個(gè)是“樂融融”的概率．《6.1用樹狀圖或表格求概率同步訓(xùn)練2025-2026學(xué)年魯教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)》參考答案1．A【分析】本題考查了概率的計(jì)算，熟練掌握列表法或畫樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列表，得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及符合題意的情況數(shù)，再利用概率的公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)硬幣出現(xiàn)正面為A，出現(xiàn)反面為B，列表如下：ABAAABBB由表格可得，共有4種等可能的結(jié)果，其中出現(xiàn)一正一反的情況有2種，∴出現(xiàn)一正一反的概率P=故選：A．2．D【分析】本題主要考查了樹狀圖或列表法求解概率，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：設(shè)“清理淤泥垃圾”、“安置點(diǎn)做義務(wù)工”、“物資裝卸”、“物資登記與分發(fā)”分別為A、B、C、D，可畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有16種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中他倆恰好選擇不同項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)有12種，∴他倆恰好選擇不同項(xiàng)目的概率是1216故選：D．3．C【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能運(yùn)用求解．先畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：把郵票圖案分別為“圓周率”、“勾股定理”、“歐拉公式”、“莫比烏斯帶”的4張郵票分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，兩次抽取的郵票圖案名稱不相同的結(jié)果有16?4=12種，∴兩次抽取的郵票圖案名稱不相同的概率是1216故選：C．4．D【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能讓綠燈發(fā)光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，能讓綠發(fā)光的有2種情況，∴能讓綠發(fā)光的概率為26故選：D．5．A【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法、概率公式是解答本題的關(guān)鍵．列表可得出所有等可能的結(jié)果以及抽到的2幅畫像中恰好包含華羅庚，楊振寧畫像的結(jié)果，再利用概率公式可得答案．【詳解】解：將這4幅畫像分別記為A，B，C，D，列表如下：ABCDAAAABBBBCCCCDDDD共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的2幅畫像中恰好包含華羅庚，楊振寧畫像的結(jié)果有：A,B，∴抽到的2幅畫像中恰好包含華羅庚，楊振寧畫像的概率為212故選：A．6．B【分析】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率．首先根據(jù)題意列表，然后由表可得所有等可能的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解即可．【詳解】解：列表如下：紅白藍(lán)紅（紅，紅）（紅，白）（紅，藍(lán)）白（白，紅）（白，白）（白，藍(lán)）藍(lán)（藍(lán)，紅）（藍(lán)，白）（藍(lán)，藍(lán)）由表可得，一共有9種等可能的結(jié)果，其中配成紫色的結(jié)果有2種，所以轉(zhuǎn)盤上兩次顯示的顏色可以配成紫色的概率為29故選：B．7．1【分析】本題考查列舉法求概率，列出所有等可能的結(jié)果，再利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意，共有A斷B通，A斷B斷，A通B斷，A通B通，共4種等可能的結(jié)果，其中A，B之間電流能夠正常通過的結(jié)果只有A通B通1種情況，故A，B之間電流能夠正常通過的概率是14故答案為：148．1【分析】本題考查了概率問題，熟知用列舉法是解題的關(guān)鍵．從四個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取m和n（有序?qū)Γ偣灿?2種可能情況，其中滿足m>【詳解】解：從實(shí)數(shù)?2，?1，0，1中隨機(jī)選取一個(gè)作為m，再?gòu)氖Ｓ嗳齻€(gè)中隨機(jī)選取一個(gè)作為n，總共有4×3=12種可能的有序?qū)Γ谐鏊杏行驅(qū)Σ⑴袛鄊>當(dāng)m=?2時(shí)，n可取-1、0、1，均不滿足m當(dāng)m=?1時(shí)，n可取?2、0、1，其中?1,?2滿足m當(dāng)m=0時(shí)，n可取?2、-1、1，其中0,?2、0,?1滿足m當(dāng)m=1時(shí)，n可取?2、-1、0，其中1,?2、1,?1、1,0均滿足m滿足m>n的有序?qū)灿?個(gè)，因此概率為故答案為：129．1【分析】本題考查概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是通過畫樹狀圖求出所有可能的結(jié)果數(shù)和符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計(jì)算．畫樹狀圖可知，共有12種等可能的情況，恰好是一男一女的情況有6種，從而求出抽到的2個(gè)學(xué)生恰好是一男生與一女生的概率．【詳解】解：設(shè)女生為A，3個(gè)男生分別是B，C，D，畫樹狀圖如下，共有12種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，其中抽到的2個(gè)學(xué)生恰好是一男生與一女生的情況有6種．∴抽到的2個(gè)學(xué)生恰好是一男生與一女生的概率為612故答案為：1210．1【分析】本題考查運(yùn)用樹狀圖法或者列表法計(jì)算概率，本題關(guān)鍵在于能夠畫出樹狀圖或者列表．用列表法表示出所有點(diǎn)的情況，找出落在直線上的情況，然后利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：列表如下：x

y56781((1,6)(1,7)(1,8)2(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)3(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)4(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)一共有16種情況，P點(diǎn)落在y=?x+9上的點(diǎn)有(1,8)、(故答案為：1411．1【分析】本題主要考查了列舉法和概率公式，熟練掌握列舉法是解題的關(guān)鍵．首先確定吸熱的物態(tài)變化過程為汽化、熔化和升華，共3張卡片，放熱的為液化，1張卡片；再列舉小明和小穎先后抽取不放回時(shí)，兩人抽到卡片的所有情況，利用概率公式計(jì)算即可；【詳解】解：總共有4張卡片，小明先抽一張，小穎再抽一張，不放回，因此總共有12種可能的結(jié)果：汽化和熔化，汽化和升華，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升華，熔化和液化，升華和汽化，升華和熔化，升華和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升華；∵吸熱的物態(tài)變化過程有汽化、熔化和升華，共3張卡片，∴兩人都抽到吸熱卡片的情況有6種，∴兩人都抽到吸熱卡片的概率為612故答案為：1212．3【分析】本題考查列表法與樹狀圖法求概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及該班的小軍和小明兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，總共有16種可能的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中該班的小軍和小明兩名同學(xué)所抽取的特產(chǎn)不同的結(jié)果有12種，所以P（該班的小軍和小明兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同）=1213．(1)1(2)P（最后一只摘到B）=【分析】本題考查了根據(jù)概率公式計(jì)算概率，列表法或樹狀圖法求概率，解題關(guān)鍵是掌握上述知識(shí)點(diǎn)并能熟練運(yùn)用求解．（1）用概率公式求解；（2）先畫出樹狀圖，再求出最后一只摘到B的概率．【詳解】（1）解：∵標(biāo)有A，B，C的三只燈籠按如圖所示的方式懸掛，每次摘取一只（摘A前