一、換面法綜述

把一般變?yōu)樘厥?從而有利于解題，是更換投影面的目的

空間幾何要素對(duì)投影面處于特殊位置，某些度量問題（如實(shí)形、距離、夾角等）的答案可在投影圖中直接反映，在解決定位問題（如交點(diǎn)、交線、垂足等）時(shí)，問題可簡(jiǎn)化。求平面實(shí)形反映實(shí)形求點(diǎn)到正垂面ABCD的距離EK反映距離實(shí)長(zhǎng)求一般位置直線與鉛垂面的交點(diǎn)求交點(diǎn)較容易1、基本原則1）新設(shè)的投影面（V1或H1）必須垂直于一個(gè)原有的（V或H）投影面，以保證形成新的兩投影面體系，繼續(xù)使用正投影規(guī)律。例:△ABC平面在V/H投影面內(nèi)△ABC為鉛垂面。O在H面為一條直線在V面為類似形用平行于△ABC的投影面V1更換V，V1垂直于H，與H構(gòu)成新兩投影面體系，V1面內(nèi)可反映△ABC實(shí)形。2）新投影面必須使空間幾何要素處于有利于解題的位置。a'aa1'更換正立投影面1、點(diǎn)的新投影和不變投影的連線垂直于新投影軸；2、點(diǎn)的投影變換規(guī)律OXVHaxO1X1ax1用V1面更換V面新軸位置與點(diǎn)的距離無關(guān)V1HV1面應(yīng)與H面垂直O(jiān)1X1為軸向下旋轉(zhuǎn)V1

面與H面重合aa1'o1x1⊥2、點(diǎn)的新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。a'更換水平投影面

點(diǎn)的投影變換規(guī)律：1、點(diǎn)的新投影和不變投影的連線垂直于新投影軸；OXVHaxaO1X1ax1a1VH1H1面應(yīng)與V面垂直用H1面更換H面2、點(diǎn)的新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離.V1不變投影注意：

1、分清各投影；2、作圖準(zhǔn)確。連續(xù)兩次更換投影面OXVHa'aO1X1axax1HV1a1'O2X2ax2V1H2a2變換兩次投影面時(shí)，求點(diǎn)的新投影的原理和方法和變換一次投影面相同舊投影H不變投影新投影舊投影新投影新投影到新軸的距離=舊投影到舊軸的距離

當(dāng)連續(xù)兩次更換投影面時(shí)，必須使V面與H面交替進(jìn)行變換，不能連著變換同一個(gè)投影面。四種

利用更換投影面法解決空間幾何元素問題時(shí)，可歸結(jié)為四種基本作圖問題：二、換面法的應(yīng)用一般位置直線變換為投影面平行線一般位置平面變換為投影面垂直面投影面垂直線；投影面平行面。例：求直線AB實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)H面的傾

；將一般位置直線變換為投影面平行線分析：1、投影面的平行線反映線段的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的夾角；如：水平線─水平投影反映實(shí)長(zhǎng)和β角。正平線─正面投影反映實(shí)長(zhǎng)和α角。2、若求線段實(shí)長(zhǎng)，應(yīng)使新設(shè)投影面與線段平行。若求α夾角，應(yīng)使線段變換為正平線。所以應(yīng)用V1面更換V面，即用（V1∕H）替換（V∕H）兩投影體系。3、新設(shè)V1面與AB線段平行，則AB線在新的（V1∕H）兩投影面體系里為正平線，AB在V1面的投影反映實(shí)長(zhǎng)，也反映線段對(duì)H投影面的夾角α，可滿足題的要求。將一般位置直線變換為投影面平行線

OXVHa'b'abO1X1HV1a1'b1'變換1次投影面可將一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€（1次）用V1面更換V面1、新設(shè)V1面與AB線段平行2、求AB線段在V1面的投影3、求AB線段與H面的夾角α作圖：投影圖：O1X1應(yīng)與ab平行簡(jiǎn)單小結(jié)：通過一次更換投影面，可將一般位置直線

投影面的平行線。用H1

H面，AB

為水平線，H1面反映實(shí)長(zhǎng)及對(duì)V面的夾角。用V1

V面，AB

為正平線，V1面反映實(shí)長(zhǎng)及對(duì)H面的夾角

。將一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€1、空間直線對(duì)V、H面均傾斜，若新設(shè)一個(gè)投影面既垂直于一般位置直線，同時(shí)又要垂直于一原有的（V、H）投影面，是不可能做到的。分析：2、通過上一例題說明，將一般位置直線，通過一次換面（V1）可以變換為投影面的平行線（即：正平線）。此時(shí)，新設(shè)投影面可以垂直于正平線，又可以垂直于V1面是可以實(shí)現(xiàn)的。3、故先設(shè)新投影面將直線變換為投影面的平行線，再次設(shè)新投影面將平行線變換為投影面的垂直線，以實(shí)現(xiàn)題意要求。將一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€作圖：1、設(shè)新投影面V1，將一般位置直線變換為投影面的平行線（即：正平線）。3、通過連續(xù)兩次換面，將一般位置直線變換為投影面的垂直線。2、再設(shè)新投影面H2，將投影面的平行線（即：正平線）變換為投影面的垂直線。平行H2⊥V1和直線V1⊥H▲a2b2

OXVHa'b'abO1X1HV1a1'b1'投影圖：將一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€O1X1∥abO2X2⊥a1’b1’XOO1X1X2O2▲O2X2H2V11、第一次變換V1→V，將一般位置直線AB變換為投影面平行線，即：O1X1∥ab。2、第二次變換H2→H，將投影面平行線AB變換為投影面的垂直線，即：O2X2⊥a1’b1’。一般位置直線1次投影面平行線1次投影面垂直線（2次）O將一般位置平面變換為投影面垂直面VHABCabca'b'c'X將一般位置

ABC平面變換為正垂面：1、新設(shè)V1面應(yīng)與

ABC垂直，在V1面的投影應(yīng)積聚為一條線，使其ABC在新的（V1∕H）兩投影面體系里為正垂面。2、根據(jù)兩面垂直的條件：若V1面垂直于ABC面內(nèi)的任一條線，則V1

與ABC兩面即垂直。分析：將一般位置平面變換為投影面垂直面將一般位置

ABC平面變換為正垂面：（1次）2、設(shè)V1面垂直于CD直線，即O1X1垂直與cd。作圖：1、在

ABC平面取一條水平線CD3、求

ABC平面在V1投影面上的投影（c1’d1’為重影點(diǎn)）。4、

ABC平面在V1面上的投影積聚為一條線。5、該積聚線與O1X1軸的夾角，是

ABC平面與H

上的夾角。ABC平面在V1∕H

兩投影體系中為正垂面將一般位置平面變換為投影面垂直面將一般位置

ABC平面變換為正垂面：（1次）投影圖作圖：

a1'd1’(c1’)OXHa'b'c'abcd'dO1X1HV1b1'V1、在

ABC平面取一條水平線CD。2、設(shè)V1面垂直于CD直線，即O1X1垂直于cd。3、求

ABC平面在V1投影面上的投影（c1’d1’為重影點(diǎn)）。5、該積聚線與O1X1軸的夾角，是

ABC平面與H

上的夾角。4、

ABC平面在V1面上的投影積聚為一條線。將一般位置平面變換為投影面垂直面（1次）簡(jiǎn)單小結(jié)：1、變換為正垂面—在平面上取水平線—設(shè)立V1代替V—反映

2、變換為鉛垂面—在平面上取正平線—設(shè)立H1代替H—反映若要反映傾角，應(yīng)怎樣更換投影面將一般位置平面變換為投影面平行面新設(shè)的投影面要平行于三角形平面，同時(shí)還要垂于一個(gè)原有投影面（V或H），不可能存在這樣的平面。分析：XVV1HABCa(b)ca'b'c'a1'c1'b1'OO1X1在V1面為實(shí)形將一般位置平面變換為投影面平行面1、此圖已分析說明，將一般位置的三角形平面，通過一次換面可以變換為投影面的垂直面(正垂面)。2、又由此圖可知，投影面的垂直面(正垂面)通過一次換面，可以換為投影面的平行面，得到實(shí)形。3、因此，將一般位置平面變換為投影面的平行面時(shí)，可以通過兩次換面實(shí)現(xiàn)。為鉛垂面V1面為正垂面為一般位置面（2次）一般位置平面1次投影面垂直面1次投影面平行面★當(dāng)連續(xù)兩次更換投影面時(shí)，必須使V面與H面交替進(jìn)行變換。c2d'b'畫投影圖：OXVHa'c'abc1、在

ABC平面內(nèi)找一水平線，用V1更換V面，O1X1⊥cd，在V1∕H兩面體系里為正垂面。dO1X1HV1d1’a1'b1'O2X2V1H2a2b2c1'2、第二次換面，用H2更換H面，O2X2∥積聚線，使面在V1∕H2兩面體系里為水平面，是投影面的平行面。將一般位置平面變換為投影面平行面四種

利用更換投影面法解決空間幾何元素問題時(shí)，可歸結(jié)為四種基本作圖問題：一般位置直線變換為投影面平行線一般位置平面變換為投影面垂直面投影面垂直線投影面平行面小結(jié)：（1次）（2次）（1次）（2次）換面1、點(diǎn)投影變換規(guī)律；2、新軸的設(shè)置，與投影積聚線平行或垂直。掌握：m1'm'mb2(a2)m2n2例1：用換面法求點(diǎn)M到一般位置直線AB的距離。解：介紹兩種方法方法一：a'b'OXVHO1X1HV1abO2X2V1H2a1'b1'2、須要將AB變換為投影面垂直線，則M到AB的垂線MN(點(diǎn)N為垂足)是投影面平行線，反映距離實(shí)長(zhǎng)。將一般位置直線AB變?yōu)橥队懊娲怪本€需要2次變換投影面。3、首先將AB線變換為投影面平行線，并同時(shí)變換M點(diǎn)。5、求出垂線MN的實(shí)長(zhǎng)n1'nn'6、垂線MN投影要返回實(shí)長(zhǎng)1、空間分析：求點(diǎn)到直線的距離，就是由點(diǎn)向直線作垂線并相交，垂線的實(shí)長(zhǎng)就是題意中所求的距離。4、再將AB線變換為投影面的垂直線，連同變換M點(diǎn)。m'c'實(shí)長(zhǎng)m2b1'O2b2a1'm1'c1'n1'a'b'1、分析：直線AB和線外一點(diǎn)M確定一平面。若能得到該平面

ABM的實(shí)形，點(diǎn)M到直線AB的垂線（距離）MN的實(shí)長(zhǎng)可在實(shí)形中自然求得。將一般位置平面

ABM平面變換為投影面平行面需2次換面。OXVHabm2、首先將平面

ABM變?yōu)橥队懊娲怪泵?。cX1O1HV13、再將

ABM平面變換為投影面平行面，得

實(shí)形。X2V1H2a2n24、求點(diǎn)到線的距離MN。nn'5、返回垂線（距離）MN投影。方法二：c1'11'k1'kk'例2：求點(diǎn)S到

ABC平面的距離(應(yīng)作出垂足的投影)。OXVHa'b'c'abcs's1、空間分析：求點(diǎn)到面的距離即：求由點(diǎn)向面作垂線并與平面相交，垂線段的實(shí)長(zhǎng)即為所求。使距離（垂線）反映實(shí)長(zhǎng)，須為投影面的平行線。若將平面變換為投影面垂直面，則垂線（距離）則為該投影面平行線，即求可出實(shí)長(zhǎng)。1'2、將平面變換為投影面垂直面（1次）及同時(shí)變換S點(diǎn)。1O1X1HV1a1'b1's1’3、求距離及垂足的投影實(shí)長(zhǎng)4、返回垂足K點(diǎn)的投影m2n2θb'mnbb1'm1'例3、求AMN和BMN兩平面的夾角。OXVHa'm'n'a1、空間分析：線段MN是兩平面的交線，為一般位置直線。當(dāng)交線MN為投影面垂直線時(shí)，則兩平面均為投影面垂直面。在有積聚性的投影中，則可反映兩面夾角。AMNBamnb2、當(dāng)使一般位置直線MN變換為投影面的垂直線時(shí)，需要更換2次投影面。首先將MN交線變換為投影面的平行線。O1X1HV1a1'n1'3、再將MN交線變換為投影面垂直線，即得到兩面夾角。O2X2V1H2a2b2θ距離a2f2c2e2例4：求兩交叉直線AB和CD間的距離OXVHa'b'abc'd'cd1、空間分析：AB、CD均為一般位置