2025-2026學(xué)年上海市浦東模范中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題4分，共24分）1．（4分）在△中，，，，則的值為A． B． C． D．2．（4分）已知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的是A． B． C． D．3．（4分）在下列函數(shù)關(guān)系式中，二次函數(shù)的是A． B． C． D．4．（4分）在中，點(diǎn)、分別在、上，且，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A． B． C． D．5．（4分）如圖，在三角形紙片中，，，，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△相似的是A． B． C． D．6．（4分）已知命題：①兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；②兩邊及第三邊上的高對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．下列對(duì)這兩個(gè)命題的判斷，正確的是A．①和②都是真命題 B．①和②都是假命題 C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題二、填空題：（每題4分，共48分）7．（4分）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，較長線段厘米，則線段的長是厘米．8．（4分）在比例尺為的地圖上量得兩個(gè)城市間的距離是，那么這兩個(gè)城市的實(shí)際距離是．9．（4分）如果兩個(gè)相似三角形的面積之比，那么它們的對(duì)應(yīng)高之比為．10．（4分）點(diǎn)、分別在△的邊、上，如果，那么時(shí)，．11．（4分）已知是銳角，且，則．12．（4分）如圖，△的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則．13．（4分）如圖，在△中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，如果，，那么．（用，表示）14．（4分）如圖，在△中，點(diǎn)、分別在邊、上，且．如果△的面積為，△的面積為，那么△的面積為．15．（4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，△△（點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第四象限，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為．16．（4分）如圖，正方形中，，分別在邊，上，，相交于點(diǎn)，若，，則的值是．17．（4分）如果梯形的一條對(duì)角線把梯形分成的兩個(gè)三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個(gè)直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于3，下底等于6，那么它的周長為．18．（4分）如圖，已知在△中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將△沿著翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，如果，設(shè)與邊交于點(diǎn)，那么的值是．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）．20．（10分）在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)．（1）設(shè)，，試用、表示；（2）先化簡，再求作：（直接作在圖中）．21．（10分）一副三角尺由兩塊直角三角尺組成，其中一塊是含角的直角三角形，另一塊是含角的直角三角形．用這兩塊三角尺可以拼成一個(gè)四邊形（如圖），設(shè)．（1）用含的代數(shù)式直接表示：．（2）求的正切值．22．（10分）小明利用剛學(xué)過的測量知識(shí)來測量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度．一天下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護(hù)，他們無法到達(dá)古樹的底部，如圖所示．于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點(diǎn)，并在點(diǎn)處安裝了測量器，測得；再在的延長線上確定一點(diǎn)，使米，并在處的地面上水平放置了一個(gè)小平面鏡，小明沿著方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端的像，此時(shí)，測得米，小明眼睛與地面的距離米，測量器的高度米．已知點(diǎn)、、、在同一水平直線上，且、、均垂直于，則這棵古樹的高度為多少米？（小平面鏡的大小忽略不計(jì)）23．（12分）已知：如圖，在梯形中，，聯(lián)結(jié)、，△是等邊三角形，，與交于點(diǎn)，．（1）求證：△△；（2）求證：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求的正弦；（3）若點(diǎn)在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，點(diǎn)在軸上，使得△與△相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．25．（14分）（1）如圖1，在△中，，，是邊上一點(diǎn)，，是邊上一點(diǎn)，．求的長；（2）如圖2，在四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，若，，求線段的長．（3）在△中，，，以為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．若，，求關(guān)于的函數(shù)解析式及定義域．

參考答案一、選擇題（每題4分，共24分）1．（4分）在△中，，，，則的值為A． B． C． D．解：，，，，．故選：．2．（4分）已知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的是A． B． C． D．解：、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，故本選項(xiàng)正確；、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．3．（4分）在下列函數(shù)關(guān)系式中，二次函數(shù)的是A． B． C． D．解：、是反比例函數(shù)關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意；、是一次函數(shù)關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意；、是二次函數(shù)關(guān)系，故此選項(xiàng)符合題意；、是一次函數(shù)關(guān)系，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：．4．（4分）在中，點(diǎn)、分別在、上，且，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A． B． C． D．解：，，正確，不符合題意；，錯(cuò)誤，符合題意；，正確，不符合題意；，正確，不符合題意；故選：．5．（4分）如圖，在三角形紙片中，，，，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△相似的是A． B． C． D．解：在三角形紙片中，，，．、，，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△相似，故此選項(xiàng)符合題意；、，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；、，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；、，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△不相似，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：．6．（4分）已知命題：①兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；②兩邊及第三邊上的高對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．下列對(duì)這兩個(gè)命題的判斷，正確的是A．①和②都是真命題 B．①和②都是假命題 C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題解：兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，正確，是真命題；兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形一定相似，故原命題錯(cuò)誤，是假命題．故選：．二、填空題：（每題4分，共48分）7．（4分）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，較長線段厘米，則線段的長是厘米．解：設(shè)線段的長為厘米，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，較長的線段的長等于4厘米，，解得：，．故答案為：．8．（4分）在比例尺為的地圖上量得兩個(gè)城市間的距離是，那么這兩個(gè)城市的實(shí)際距離是500．解：根據(jù)“實(shí)際距離紙上距離比例尺”可得：，故答案為：500．9．（4分）如果兩個(gè)相似三角形的面積之比，那么它們的對(duì)應(yīng)高之比為．解：兩個(gè)相似三角形的面積之比，這兩個(gè)三角形的相似比為，它們的對(duì)應(yīng)高之比為，故答案為：．10．（4分）點(diǎn)、分別在△的邊、上，如果，那么時(shí)，．解：，，△△，，，由，可推導(dǎo)出，從而證明△△，進(jìn)而證明，故答案為：．11．（4分）已知是銳角，且，則．解：如圖，，，，，設(shè)，，，．故答案為：．12．（4分）如圖，△的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則2．解：過點(diǎn)作的垂線，垂足為，令正方形網(wǎng)格的邊長為，則．，所以．故答案為：2．13．（4分）如圖，在△中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，如果，，那么．（用，表示）解：是的中點(diǎn)，，．，，，．故答案為：．14．（4分）如圖，在△中，點(diǎn)、分別在邊、上，且．如果△的面積為，△的面積為，那么△的面積為8．解：如圖，在△中，點(diǎn)、分別在邊、上，且．過作點(diǎn)與交于，△的高等于，△△，△△，，，，設(shè)，則，，△的面積為，△的面積為，，，，，，整理得：，解得：或（不合題意，舍去），，△的面積為，故答案為：8．15．（4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，△△（點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)，的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第四象限，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為，．解：作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，則，△△，，、、，，，，，，△△，，，，，，點(diǎn)在第四象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故答案為：，．16．（4分）如圖，正方形中，，分別在邊，上，，相交于點(diǎn)，若，，則的值是．解：如圖作，，交于，交于．四邊形是正方形，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，設(shè)，則，，，，，，，，，，故答案為：．17．（4分）如果梯形的一條對(duì)角線把梯形分成的兩個(gè)三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個(gè)直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于3，下底等于6，那么它的周長為．解：如圖，直角梯形中，，，，，過作于，，，，四邊形是矩形，，，，，垂直平分，，梯形是“優(yōu)美梯形”，△△，，△是等腰直角三角形，，，，△是等腰直角三角形，，梯形的周長．故答案為：．18．（4分）如圖，已知在△中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將△沿著翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，如果，設(shè)與邊交于點(diǎn)，那么的值是．解：如圖，將△沿著翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，，，，，，，，，，，，，，根據(jù)勾股定理，連接交于，，，利用面積法求得，，，，根據(jù)勾股定理，，△△，，故答案為：．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）．解：原式．20．（10分）在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、相交于點(diǎn)．（1）設(shè)，，試用、表示；（2）先化簡，再求作：（直接作在圖中）．解：（1）四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，；（2），，，如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則即為所求．21．（10分）一副三角尺由兩塊直角三角尺組成，其中一塊是含角的直角三角形，另一塊是含角的直角三角形．用這兩塊三角尺可以拼成一個(gè)四邊形（如圖），設(shè)．（1）用含的代數(shù)式直接表示：．（2）求的正切值．解：（1）在△中，．，．在△中，，．故答案為：．（2）過點(diǎn)作的垂線，垂足為，，且△是等腰直角三角形，．，，，△是等腰直角三角形，．在△中，，，．在△中，．22．（10分）小明利用剛學(xué)過的測量知識(shí)來測量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度．一天下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護(hù)，他們無法到達(dá)古樹的底部，如圖所示．于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點(diǎn)，并在點(diǎn)處安裝了測量器，測得；再在的延長線上確定一點(diǎn)，使米，并在處的地面上水平放置了一個(gè)小平面鏡，小明沿著方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端的像，此時(shí)，測得米，小明眼睛與地面的距離米，測量器的高度米．已知點(diǎn)、、、在同一水平直線上，且、、均垂直于，則這棵古樹的高度為多少米？（小平面鏡的大小忽略不計(jì)）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，米，，，，在中，，，．，，．由反射角等于入射角得，，，即，解得：，．這棵古樹的高為．23．（12分）已知：如圖，在梯形中，，聯(lián)結(jié)、，△是等邊三角形，，與交于點(diǎn)，．（1）求證：△△；（2）求證：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．【解答】證明：（1）△是等邊三角形，，，，，，△是等邊三角形，，，，，，，△△；（2）△△，，△，△都是等邊三角形，，，，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求的正弦；（3）若點(diǎn)在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，點(diǎn)在軸上，使得△與△相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，反比例函數(shù)的表達(dá)式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）聯(lián)立，解得，即；，令得，，，即，，如圖，過作軸于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，則，，，；（3）由題可知，，，由點(diǎn)坐標(biāo)可知；①當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)有兩種情況△，△△，但點(diǎn)只有一個(gè)，此時(shí)點(diǎn)在直線上，令，可得（負(fù)值舍去），；②當(dāng)，且時(shí)，如圖，，則點(diǎn)在直線上，令，可得（負(fù)值舍去），，；③當(dāng)，且時(shí)，如圖，過作軸，此時(shí)，，即，，此時(shí)點(diǎn)在上，令，可得（負(fù)值舍去），，；④當(dāng)，且時(shí)，如圖，此時(shí)點(diǎn)