2025-2026學(xué)年上海市青浦區(qū)東方中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷考試注意事項(xiàng)：1、考生須誠信考試,遵守考場規(guī)則和考試紀(jì)律，并自覺服從監(jiān)考教師和其他考試工作人員

管理；

2、監(jiān)考教師發(fā)卷后，在試卷指定的地方填寫本人準(zhǔn)考證號、姓名等信息；考試中途考生不準(zhǔn)以任何理由離開考場；

3、考生答卷用筆必須使用同一規(guī)格同一顏色的筆作答(作圖可使用鉛筆)，不準(zhǔn)用規(guī)定以外的筆答卷，不準(zhǔn)在答卷上作任何標(biāo)記?？忌鷷鴮懺诖痤}卡規(guī)定區(qū)域外的答案無效。4、考試開始信號發(fā)出后,考生方可開始作答。一、選擇題（共6題，每小題4分，滿分24分）.1．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正確的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列各組中的兩個圖形，一定相似的是（）A．有一個角對應(yīng)相等的兩個菱形 B．對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形 C．兩條對角線對應(yīng)成比例的兩個平行四邊形 D．任意兩個矩形3．（4分）已知和都是單位向量，那么下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．4．（4分）如圖，在△中，，于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．5．（4分）如圖，在△中，，，是△的角平分線是（）A． B． C． D．6．（4分）如圖，二次函數(shù)：的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且對稱軸為直線，點(diǎn)坐標(biāo)為，則下面的五個結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，或；④；⑤為實(shí)數(shù)），其中正確的結(jié)論是（）A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置]7．（4分）已知2是和的比例中項(xiàng)，那么．8．（4分）如果兩個相似三角形面積的比為，那么它們周長的比為．9．（4分）裴秀的《禹貢地域圖》18篇是按照“一分為十里，一寸為百里”的標(biāo)準(zhǔn)繪制而成．“一分為十里”中，一分厘米，十里米，那么這幅圖紙的比例尺為．10．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．11．（4分）二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表，則當(dāng)時，的值為．0123151076712．（4分）如果拋物線的頂點(diǎn)在軸上，那么這條拋物線的表達(dá)式可以是．（只需寫一個）13．（4分）已知點(diǎn)、都在拋物線的圖象上，那么與的大小關(guān)系是（填“”、“”或“”14．（4分）如圖，點(diǎn)、分別是平行四邊形的邊、的中點(diǎn)，連接，如果，，那么用、的線性組合表示為．15．（4分）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比為，斜坡長，則背水坡的長為．16．（4分）點(diǎn)是△的重心，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，則．17．（4分）如圖，點(diǎn)在四邊形的內(nèi)部，，，，如果，那么的長為．（用含字母的式子表示）18．（4分）在矩形中，點(diǎn)在上，將△沿翻折得到△，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，線段的延長線交于點(diǎn)，，則的值為．三、（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．20．（10分）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知它與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)是，且對稱軸是直線．（1）填空：①與的數(shù)量關(guān)系為：；②圖象與軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）如果該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)．21．（12分）如圖，在△中，，是邊的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．已知．（1）求線段的長；（2）求的值．22．（12分）綜合與實(shí)踐：（1）【問題初探】某興趣小組探索這樣一個問題：若是△的角平分線，則線段，，，有何數(shù)量關(guān)系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，請完成填空：小智的思路和方法：如圖①，作，，垂足分別為，．平分，，，．，，．再用另一種方式表示△與△的面積，即可推導(dǎo)出結(jié)論小勇的思路和方法：如圖②，作，交的延長線于點(diǎn)．平分，．，．．．再通過證明△△得到比例式，從而推導(dǎo)出結(jié)論根據(jù)小智或小勇的方法，可以得到線段，，，的數(shù)量關(guān)系是；（2）【變式拓展】小慧對問題作了進(jìn)一步拓展：如圖③，在△中，，是邊上一點(diǎn)，，，求的值．請你完成解答．23．（12分）已知：如圖，在△中，點(diǎn)、分別在，上，，點(diǎn)在邊上，，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，求證：．24．（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，且．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，將該拋物線向左平移，點(diǎn)平移至點(diǎn)處，過點(diǎn)作直線，垂足為點(diǎn)，如果，求平移后拋物線的表達(dá)式．25．（12分）如圖，在矩形中，，，對角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)為對角線上一點(diǎn)，連接，在內(nèi)部作射線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合）、與線段交于點(diǎn)，且．（1）當(dāng)，求的正切值；（2）射線交射線與點(diǎn)，若線段是與的比例中項(xiàng)，求的長；（3）設(shè)線段，，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出取值范圍．

參考答案一、選擇題（共6題，每小題4分，滿分24分）.1．（4分）已知，那么下列等式中，不一定正確的是（）A． B． C． D．解：根據(jù)比例的性質(zhì)和合比的性質(zhì)得，、有無數(shù)個值，故錯誤，故選項(xiàng)符合題意；、由比例的性質(zhì)，得，故正確，故選項(xiàng)不符合題意；、由合比性質(zhì)，得，故正確，故選項(xiàng)不符合題意；、由合比性質(zhì)，得，故正確，故選項(xiàng)不符合題意；故選：．2．（4分）下列各組中的兩個圖形，一定相似的是（）A．有一個角對應(yīng)相等的兩個菱形 B．對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形 C．兩條對角線對應(yīng)成比例的兩個平行四邊形 D．任意兩個矩形解：、有一個角對應(yīng)相等，其他三個角一定對應(yīng)相等，對應(yīng)邊成比例，所以這兩個菱形一定相似，故本選項(xiàng)正確；、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形對應(yīng)角不一定相等，故本選項(xiàng)錯誤；、兩條對角線對應(yīng)成比例的兩個平行四邊形，對應(yīng)邊不一定成比例，對應(yīng)角不一定相等，故本選項(xiàng)錯誤；、任意兩個矩形，對應(yīng)角一定相等，但對應(yīng)邊不一定成比例，故本選項(xiàng)錯誤．故選：．3．（4分）已知和都是單位向量，那么下列結(jié)論中正確的是A． B． C． D．解：、向量與方向相同時，該等式才成立，故本選項(xiàng)不符合題意．、當(dāng)向量與方向相反時，，故本選項(xiàng)不符合題意．、當(dāng)向量與方向相同時，，故本選項(xiàng)不符合題意．、由題意知，，故本選項(xiàng)符合題意．故選：．4．（4分）如圖，在△中，，于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．解：，，，，，在△中，，故選項(xiàng)不正確，不符合題意；在△中，，在△中，，，故選項(xiàng)不正確，不符合題意；在△中，，故選項(xiàng)正確，符合題意；在△中，，，故選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：．5．（4分）如圖，在△中，，，是△的角平分線是（）A． B． C． D．解：，，，平分，，，，，，，；△△，，設(shè)，，則，，解得（舍去）或，，，故選：．6．（4分）如圖，二次函數(shù)：的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且對稱軸為直線，點(diǎn)坐標(biāo)為，則下面的五個結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，或；④；⑤為實(shí)數(shù)），其中正確的結(jié)論是（）A．②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤解：拋物線的開口向下，，對稱軸為，，拋物線與軸交于正半軸，，，故①正確；對稱軸為直線，與的函數(shù)值相等，即：，故②正確；點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，當(dāng)時，或；故③正確；圖象過點(diǎn)，，，；故④錯誤；拋物線的開口向下，當(dāng)時，函數(shù)值最大，即：，；故⑤正確；綜上，正確的結(jié)論是①②③⑤；故選：．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置]7．（4分）已知2是和的比例中項(xiàng)，那么6．解：是和的比例中項(xiàng)，，解得：．故答案為：6．8．（4分）如果兩個相似三角形面積的比為，那么它們周長的比為．解：兩個相似三角形面積的比為，兩個相似三角形周長的比為．故答案為：．9．（4分）裴秀的《禹貢地域圖》18篇是按照“一分為十里，一寸為百里”的標(biāo)準(zhǔn)繪制而成．“一分為十里”中，一分厘米，十里米，那么這幅圖紙的比例尺為．解：一分厘米，十里米厘米，這幅圖紙的比例尺為．故答案為：．10．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．解：令，則，二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為：．11．（4分）二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表，則當(dāng)時，的值為15．01231510767解：由表格數(shù)據(jù)可知該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，和的函數(shù)值相等，即，故答案為：15．12．（4分）如果拋物線的頂點(diǎn)在軸上，那么這條拋物線的表達(dá)式可以是（答案不唯一）．（只需寫一個）解：拋物線的頂點(diǎn)在軸上，取，頂點(diǎn)坐標(biāo)為時，拋物線的表達(dá)式為：，故答案為：（答案不唯一）．13．（4分）已知點(diǎn)、都在拋物線的圖象上，那么與的大小關(guān)系是（填“”、“”或“”解：拋物線，拋物線開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時，隨的增大而減小，點(diǎn)、都在拋物線的圖象上，，故答案為：．14．（4分）如圖，點(diǎn)、分別是平行四邊形的邊、的中點(diǎn)，連接，如果，，那么用、的線性組合表示為．解：四邊形是平行四邊形，，，，，點(diǎn)、分別是平行四邊形的邊、的中點(diǎn)，，，，，，；故答案為：．15．（4分）如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比為，斜坡長，則背水坡的長為8．解：過點(diǎn)、分別作，，垂足分別為、，，，，，，，，，，，，即，，，，，．故答案為：8．16．（4分）點(diǎn)是△的重心，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，則．解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則是△的中線，由重心性質(zhì)可知．，△△，相似比為，，，△△，相似比為，，，．故答案為：．17．（4分）如圖，點(diǎn)在四邊形的內(nèi)部，，，，如果，那么的長為．（用含字母的式子表示）解：連接，，，，，，，，，△△，（相似三角形對應(yīng)邊成比例），，，那么的長為．故答案為：．18．（4分）在矩形中，點(diǎn)在上，將△沿翻折得到△，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，線段的延長線交于點(diǎn)，，則的值為．解：如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，，延長，交于點(diǎn)，，，設(shè)，則，，將△沿翻折得到△，，，，，，，△△，，，，，，，△△，，，設(shè)，則，，，，故答案為：．三、（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．解：原式．20．（10分）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知它與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)是，且對稱軸是直線．（1）填空：①與的數(shù)量關(guān)系為：；②圖象與軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）如果該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)．解：（1）①二次函數(shù)的對稱軸是直線，，；②二次函數(shù)圖象與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)是，對稱軸是直線，二次函數(shù)圖象與軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：①；②；（2）二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，，設(shè)二次函數(shù)解析式為，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．21．（12分）如圖，在△中，，是邊的中點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．已知．（1）求線段的長；（2）求的值．解：（1）由條件可知，，△為直角三角形，是邊的中點(diǎn)，；（2）由勾股定理可得，，，，，，，．22．（12分）綜合與實(shí)踐：（1）【問題初探】某興趣小組探索這樣一個問題：若是△的角平分線，則線段，，，有何數(shù)量關(guān)系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，請完成填空：小智的思路和方法：如圖①，作，，垂足分別為，．平分，，，．，，．再用另一種方式表示△與△的面積，即可推導(dǎo)出結(jié)論小勇的思路和方法：如圖②，作，交的延長線于點(diǎn)．平分，．，．．．再通過證明△△得到比例式，從而推導(dǎo)出結(jié)論根據(jù)小智或小勇的方法，可以得到線段，，，的數(shù)量關(guān)系是；（2）【變式拓展】小慧對問題作了進(jìn)一步拓展：如圖③，在△中，，是邊上一點(diǎn)，，，求的值．請你完成解答．解：（1）小智的思路和方法：如圖①，作，，垂足分別為，．，，平分，，，，，，．小勇的思路和方法：如圖②，作，交的延長線于點(diǎn)．平分，．，．．．，，，△△，，即．故答案為：，，；（2）如圖，設(shè)△的邊上的高為，邊上的高，作邊上的高，則，，又，，，．23．（12分）已知：如圖，在△中，點(diǎn)、分別在，上，，點(diǎn)在邊上，，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，求證：．【解答】證明：（1），，而，△△，，△△，△△，，；（2）作交的延長線于，如圖，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，△△，，，即．24．（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，且．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，將該拋物線向左平移，點(diǎn)平移至點(diǎn)處，過點(diǎn)作直線，垂足為點(diǎn)，如果，求平移后拋物線的表達(dá)式．解：（1）拋物線與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），拋物線的對稱軸為直線，，，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，交過點(diǎn)和軸的平行線于點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時，得：，，．，，在直角三角形中，由勾股定理得：，，設(shè)，，在直角三角形中，由勾股定理得：，，（負(fù)值舍去），．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，，，，，，①，②，①②，得：，，把代入②，得：，解得：，，當(dāng)時，，當(dāng)時，（不符合題意，舍去），，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得：，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立得：，解得：或（不合題意，舍去），；（3），拋物線的頂點(diǎn)為，，設(shè)拋物線向左平移了個單位，則點(diǎn)，新拋物線的解析式為，如圖2，過點(diǎn)作軸的平行線交過點(diǎn)和軸的平行線于點(diǎn)，交過點(diǎn)和軸的平行線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，△△，，，，，，，，，，，，，解得：，新拋物線的解析式為．25．（12分）如圖，在矩形中，，，對角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)為對角線上一點(diǎn)，連接，在內(nèi)部作射線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合）、