第一章隨機(jī)事件及其概率

練習(xí)：

1.判斷正誤

(1)必然事件在一次試臉中一定發(fā)生，小概率事件在一次試驗(yàn)中一

定不發(fā)生。(B)

(2)事件的發(fā)生與否取決于它所包含的全部樣本點(diǎn)是否同時(shí)出現(xiàn)。

(B)

(3)事件的對(duì)立與互不相容是等價(jià)的。(B)

(4)若P(Q=°，則A=(B)

(5)若P(A)=0.4,P(B)=0.5,則尸(AB)=0.2。(B)

(6)A,B,C三個(gè)事件至少發(fā)生兩個(gè)可表示為ABUBCDAC(A)

(7)考察有兩個(gè)孩子的家庭孩子的性別，

｛(兩個(gè)男孩),(兩個(gè)女孩)，(一個(gè)男孩,一個(gè)女孩)｝，則p｛兩個(gè)女孩｝二：°

(B)

(8)若P(A)WP(B),則AUB。(B)

(9)n個(gè)事件若滿足皿?44)=尸(4)尸(4),貝IJn個(gè)事件相互

獨(dú)立。(B)

(10)只有當(dāng)4uB時(shí),有P(B-A)=P(B)-P(A)。(A)

2.選擇題

(1)設(shè)A,B兩事件滿足P(AB)=0,則?

A.A與B互斥B.AB是不可能事件

C.AB未必是不可能事件D.P(A)=O或P(B)=O

(2)設(shè)A,B為兩事件，則P(A-B)等于(C)

A.P(A)-P(B)B.P(A)-P(B)+P(AB)

C.P(A)-P(AB)D.P(A)+P(B)-P(AB)

(3)以A表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對(duì)立事

件A為(D)

A.“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”

B.“甲乙兩種產(chǎn)品均暢銷”

C.“甲種產(chǎn)品滯銷”

D.“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”

(4)若A,B為兩隨機(jī)事件，且BuA,則下列式子正確的是(A)

A.P(AUB)=P(A)B.P(AB)=P(A)

C.P(B|A)=P(B)D,P(B-A)=P(B)-P(A)

(5)設(shè)尸("□8)=a,P(A)=。,尸(8)=c,則P(")等于(B)

A(a+c)cBa+c-1

c.a+b-cD.(l—))c

(6)假設(shè)事件A和B滿足P(B|A)=1,則(B)

A.A是必然事件B.°加=°

C.AnBD.AuB

(7)設(shè)O<P(A)<1,O<P(B)<1,P(MB)+P(A\B)=\則①)

A.事件A,B互不相容B.事件A和B互相

對(duì)立

C.事件A,B互不獨(dú)立D.事件A,B互相獨(dú)

8.對(duì)于任意兩個(gè)事件4,3,必有(C)

A若*。，則4,8一定獨(dú)立；氏若A3=人則A,8一定獨(dú)立；

C.若48+點(diǎn)則A"ff可能獨(dú)立；。.若AB=我則A,B一定不獨(dú)立；

9.已知P網(wǎng)A)=g,P(平)VP(AB)=(，則P(4),P(8)的值分別為:(D)

14?13.14h33

AA.一,—B.一?—C.—,—D.—,一

37351535105

三解答題

1.設(shè)P(4)=p,P(B)=q,P(AB)=L求下列事件的概率：P(AJ

P(XlJB),P(硒.

解：由德摩根律有P(Auff)=P(AB)=l-P(AB)=l-r;

P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=q-r;

P(AuB)=P(A)+P(S)-P(AB)=(1-p)+q-(q-r)=\+r-p;

P（AB）=P（AUB）=1-[P（A）+P（0—P（AB）]=1一（〃+夕一廠）.

2.甲乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，命中率分別是0.6和05現(xiàn)

已知目標(biāo)被命中，求它是甲射擊命中的概率。

解：設(shè)事件A9表示甲命中，A乙表示乙命中，8表示目標(biāo)被命中。

P(ApB)尸(即)_0.6

%/網(wǎng)==0.75

P(B)-P(A|.MA^)-0.6+0.5-0.6x0.5

（因?yàn)?uB,所以A/=Af），

目標(biāo)被命中只要甲乙至少有一個(gè)命中即可，所以P（或二P（A〃uA乙）

甲乙獨(dú)立射擊，所以P（A俏乙）=P（4JP（A乙）。

3.設(shè)一枚深水炸彈擊沉一潛艇的概率為06求釋放4枚深水炸彈能

擊沉潛艇的概率。

(3)PQ)中的a是一個(gè)常數(shù)，它的概率含義是均值。(A)

(3)P(a<X<b)=P(a<X<b)Q(B)

(4)若X的密度函數(shù)為/(x)=cosx,則20<*<1)=[3皿.(8)

2選擇題

(i)若X的概率函數(shù)為"=幻=。下，?)』2,則的值為(D)

A.AB.—A,C.e"D.e'

(2)設(shè)在區(qū)間&同上，X的密度函數(shù)/(x)=sinx,而在團(tuán)可之外,

〃x)=0,則區(qū)間[〃回等于：(A)

A0,y5.[0,/r]C.-pOD.0,y

(3)若x~尸(㈤,當(dāng)加=()時(shí)P(x=㈤最大？(A)

/U或[刃B.2-1C.[A]D.A,

三解答題

(1)已知一批產(chǎn)品共20個(gè)，其中有4個(gè)次品，按不放回與有放

回兩種抽樣方式抽取6個(gè)產(chǎn)品，求抽得的次品數(shù)的概率分布。

解：不放回抽樣，次品數(shù)X?"(4,6,20)

P(X=k)=,2=0,1,2,3,4.

放同抽樣，次品數(shù)Y?R6,士)

20

14

P(X=幻=C：(葭]嚴(yán)次=0,1,2,3,420.

(2)設(shè)X的分布律是尸(乂=-1)=±。(乂=1)=±求它的分布函數(shù)。

22

解:

x<-\,P(X<x)=0,F(x)=0;

F(x)=P(X<x)=P(X=-\)=

1<x,F(x)=P(X<x)=P(X=-1)+P(X=l)=1;

0,x<0;

F(x)=一,一1<x<1

2

l,x>1.

(3)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

0,x<0,

F(x)=<Asinx,0<x<-|^,^<(1)常數(shù)A的值

,>一71

2

(2)P(W<5)(3)X的密度函數(shù)

解：由分布函數(shù)的右連續(xù)性，函數(shù)的右極限值等于函數(shù)值有

limF(x)=F(-),所以1=Asin.，所以A=1.

冗\(yùn)n/汽4\L/4\r->/冗\(yùn).乃C?

<一)=P(—<X<一)=F(一)—F(—)=sin---0=—.

6666662

cosx,()<x<-,

fM=Fr(x)=?

0,其它.

4設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為.二黑十，求⑴常數(shù)人

⑵p(-]<^<|)

(3)X的分布函數(shù)。

解：由密度函數(shù)性質(zhì)有

[Axdx=1,A—?=2A——=I,.'.A=—.

P(-\<x<-)=pf(x)dx=^lOclx+p-xdx=-x22=—.

分布函數(shù)為：

當(dāng)xVI時(shí)，F(xiàn)(x)=P(X<x)=O-

當(dāng)］<x<2時(shí)，/(x)=P(X<x)=J：=J：g，d/=lr2|；=lx2-i.

當(dāng)xN2時(shí)，尸(x)=l.

5.電話站為300個(gè)電話用戶服務(wù)，在一小時(shí)內(nèi)每一電話用戶使用電話

的概率等于0.()1,求在一小時(shí)內(nèi)恰有4個(gè)用戶使用電話的概率：先用

二項(xiàng)分布計(jì)算，再用泊松分布近似計(jì)算，并求相對(duì)誤差。

解:4*=4)=C；0006ro.993叱4=01689,九二叩二300x0.01=3。

34

/>(x=4)=—e-3=0.1680

4!

式」6-刁=0.53%

6

第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

練習(xí)1判斷正誤：

(1)只要是隨機(jī)變量，都能計(jì)算期望和方差。(B)

(2)期望反映的是隨機(jī)變量取值的中心位置，方差反映的是隨機(jī)變

量取值的分散程度。(A)

(3)方差越小，隨機(jī)變量取值越集中，方差越大越分散。(A)

(4)方差的實(shí)質(zhì)是隨機(jī)變量函數(shù)的期望。(A)

(5)對(duì)于任意的X,Y,都有叩=碇口,"'-丫)=。*-力丫成立。⑴)

(6)若EX=C/iJx=y。(B)

2選擇題

⑴對(duì)于X與Y,若EXY=EXEY,則下列結(jié)論不正確的是(A)

A.X與Y相互獨(dú)立B.X與Y必不相關(guān)

C.D(X+Y尸DX+DYD.cov(X,Y)=0

(2)X~BQi,p),EX=2.4,DX=1.44,則幾p的值為(B)

A.4,0.6B.6,0.4

C.8,0.3D.24,0.1

(3)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量X和Y的方差分別為4和2,則3X-2Y的方差

是(D)

A.8B.16C.28D.44

(4)若EX,DX存在，則E(DX),D(EX)的值分別為(C)

A.X,XB.DX,EXC.DX,0D.EX,DX

3解答題

(1)X與Y相互獨(dú)立，且EX=EY=1,DX=DY=1,求E(X-YJ

解：

E(X-y)2=O(X-y)+￡：2(x—y)=ox+Qy+(EX-Ey)2=l+l+0=2.

(2)設(shè)X與Y獨(dú)立同分布，都服從參數(shù)為2的泊松分布，設(shè)

U=2X+Y,V=2X-Y

求U與V的相關(guān)系數(shù)0。

解：cov(f/,V)=EUV-EUEV.

E(UV)=EQX+y)(2X-Y)=F(4X2-Y2)=4(DX+E2X)-(DY+E2Y)=3(2+22).

EUEV=E(2X+Y)E(2X-Y)=(22+2)(22-2)=3A2.

cov(U")=EUV-EUEV=3(/l+/l2)-3A,2=32.

DU=D(2X-Y)=4DX+DY=5尢DV=DQX-Y)=4DX±DY=5A.

_cov(U,V)_3-_3

'-V5Z7V57一反屈一寸

(3)

-LX<0

X?U(-l,2),Y=\0,X=0

1,X>0

求EY及DY。

解：Ey=-ixp(y=-i)4-oxp(y=o)+ixp(y=i)=-ixp(x<o)+ixp(x>o)

F1(21

=—1x-4-1x=.

333

1Q

DY=EY2-E2Y=(一I)?xP(X<0)+l2xP(X>0)-(-)2=

（4）假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)

全天停止工作，若一周5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元，發(fā)

生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元；發(fā)生二次故障所獲利潤(rùn)為0元；發(fā)生

三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元，求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？

解：設(shè)X表示出故障的次數(shù)，Y表示利潤(rùn)。

10,x=o

5,X=I

X?例5,0.2),Y=〈

0,X=2

-2,3<X<5

"=10xP(X=0)+5xP(X=l)+(-2)[P(X=3)+P(X=4)+P(X+5)]

EK=10x。；0.200.8$+5xC^O.Z'O.S4+(-2)[Cj0.230.82+C；0.240.￡+C^O.2SO.8°J

化簡(jiǎn)即可。

（5）汽車起點(diǎn)站分別于每小時(shí)的10分、30分和55分鐘發(fā)車，若乘

客不知發(fā)車的時(shí)間，在每小時(shí)的任一時(shí)刻隨機(jī)到達(dá)車站，求乘客等候

時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。

解：設(shè)X表示乘客的到達(dá)時(shí)間，則Y表示等候時(shí)間，

10-X,0<X<10

30-X,10<X<30

X?U[0,60],Y=\

55-X,30<X<55

70-X,55<X<60

<-10]1,55If60I5

EY=\(10-x).—dx-￥\(3()-x).一dx+\(55-x)dx+\(7()-JC)dx=\0—

J。60Jl060人。60J556012

第四章正態(tài)分布

練習(xí)題：

1.判斷題：

(1)若X則以，人稱為正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)，且

//>0,CT2>0.(B)

(2)正態(tài)分布的密度函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于)'軸對(duì)稱。(B)

(3)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖象對(duì)稱軸由〃決定，平坦度由。2決定。

(A)

(4)P{a<X<b)=<D(Z?)-0(/7);⑴)

(5)若XNO/*陽(yáng)一5,1),則X+YN(0,2).(B)

2.選擇題：

(i)若兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量x和丫分別服從正態(tài)分布MO』)和

N。/)，則(B)。

A.P(X?ywo)=l；B.P(X?y

2,2

c.p(x-y<o)=-；<1)=-；

22

(2)已知XN"d),則隨。的增大，利X-4<b)的值(c)c

A單調(diào)增加；R單調(diào)減少；

C保持不變；D非單調(diào)變化.

(3)在本門課程中，習(xí)慣上用/表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)。分位數(shù),

則①(%)=(3)

ZV

A.a;BA-a;CA——;。.無(wú)法確定。

2

(4)若XN(O,1),且P(X>%)=a,則列x|>%)=(5).

AaR2aC.—DA--

22

3解答題

(1)已知X-M&OS),求

P(X<9),P(7.5<X<10),P(|X-8|<1),P(|X-9|<0.5).

解：

P(X<9)=F(9)=<D(——)=(D(2)=0.9772,

5

1A_Q75_o

P(7.5<X<10)=F(10)-F(7.5)=0(---)一0(-——)

09^5

=①⑷一①(―1)p0>(1)=0.8413,

P(|X-8|<1)=P(^—^<—)=2O(2)-l=0.9544,

110.50.5

P(|X-9|<0.5)=尸(-0.5<X-9<0.5)=P(8.5<X<9.5)

95-885-8

=O(——)-<D(——)b1-0.8413=0.1587.

0.50.5

(2)某地抽樣調(diào)查考生的英語(yǔ)成績(jī)(按百分制)計(jì)算，近似服從

正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的

2.3%,求考生的英語(yǔ)成績(jī)?cè)?084分之間的概率。

解：設(shè)X表示考生的英語(yǔ)成績(jī)，則X?N(72,b2),由已知有

P(X>96)=0.023,則PiX￡96)=1-0.023=0.977,

即X-72<96-72)=0(—24)=0.977,查正態(tài)分布表知2上4二2,所以。=12.要求

(7(7(7(7

P(60<X<84)=P(")—72<<84~72)=①⑴-①(—1)=2①⑴-1=0.6826.

121212

第五章

1.判斷正誤。

(1)總體是隨機(jī)變量，樣本也是隨機(jī)變量，并且它們的概率分布

完全相同。(A)

(2)樣本來(lái)自總體，樣本與樣本，樣本與總體之間都是相互獨(dú)立

的。(B)

(3)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的核心是由樣本估計(jì)總體，樣本容量越大，估計(jì)越

準(zhǔn)確。(A)

(4)統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，但不是所有的統(tǒng)計(jì)量都是隨機(jī)變量。

(B)

（5）樣本均值與耿是相等的。（B）

2.選擇題。

（1）X，X2-X”為來(lái)自總體的一個(gè)樣本，〃已知，未知,

則以下是統(tǒng)計(jì)量的是（A）

(Z^.-X)2

A，C^X.-X)2

￡（X,「反）

（2）乂工2…X”為來(lái)自總體N（0,1）的一個(gè)樣本,反了分別為

樣本均值和樣本方差，則以下不正確的是（B）

A.nX~N(0,〃);B.-^?/(/?—1)

cZXf(〃)-I

DX~N((),一)

（3）下列統(tǒng)計(jì)量服從二（〃）分布的是：（D）

/=l

c.3$=里⑸田

bnMcr

（4）X”M…乂。和&X2…Xg是分別來(lái)自總體N（1.4）和N（2,9）的樣

若

本，ka?分別是它們的樣本方差，則常數(shù)〃=（。時(shí)，統(tǒng)計(jì)量可

服從尸（9,8）分布。

394

A—B2C.-及二

249

（5）若x?/⑺，則上（乂2）=（C）

A.3nB.2nC.n2+2/?D.n2+n

（6）X「X?…X”為來(lái)自總體N",『）的一個(gè)樣本，區(qū)為樣本均值,

則P(匿—“<cr)(C)

A與b有關(guān)；A與〃有關(guān)；C.與n有關(guān)；D.為一常數(shù)

（7）設(shè)x?/⑹,丫?/⑸，且X,y相互獨(dú)立，則簫?（0

A---------8/(5,6)C.—!—0/(6,5)

F(5,6)尸(6,5)

X?〃)(〃>1),y=—

(8)設(shè)x2貝ij(C)

AY?/(〃)CY^F(nA)。丫~/(1,〃)

（9）設(shè)X?N（（）,l）,y~N（0,l）,則必有（C）

A.X+Y服從正態(tài)分布

慶亡十產(chǎn)服從/分布

C.X2與片都服從/分布

Y2

D.產(chǎn)服從F分布。

第六章參數(shù)估計(jì)

1.判斷題

（1）參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)適用于總體分布已知但參數(shù)未知的情形。A

2參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)由不用的估計(jì)法得到的估計(jì)量完全相同。B

3同一參數(shù)的矩估計(jì)量?jī)?yōu)于極大似然估計(jì)量。B

4無(wú)偏估計(jì)量的函數(shù)未必是無(wú)偏估計(jì)量。A

5同一參數(shù)的矩估計(jì)量往往不唯一。A

6同一參數(shù)的兩個(gè)估計(jì)量方差越小的越有效。B

2.選擇題。

⑴若1,1,1,0,1,1是來(lái)自總體B（1，P）的觀察值,則p的

矩估計(jì)量是（D）

A-B.-C.-D.-

5526

（2）XPX2X”是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，且OX=/,匕S?分

別是樣本均值和樣本方差，則必有（D）

A.S是不勺無(wú)偏估計(jì)量8s是不勺極大似然估計(jì)量

C.G與S?相互獨(dú)立D.ES。=cr2

（3）正態(tài)總體X的方差，已知，為使總體均值的置信度為l—a的

置信區(qū)間長(zhǎng)度不大于L,則樣本容量〃應(yīng)?。―）

.2222"J"

A.n>B.n>JC.n<—^；—D.n>———

1}I）I）I）

（4）總體X服從（0,6）上的均勻分布,8>0未知，乂區(qū)…X0是來(lái)

自總體X的一個(gè)樣本，則。的矩估計(jì)量為：（B）

A.XB.2XC.min{X,,X2...XJ/Zmax{XpX2..-XJ

（5）總體X的分布律為P（X=x）=&r,x=0』,2…，而1,2,5,7,

x!

8是來(lái)自X的觀察值，則義的最大似然估計(jì)值為（C）

23

4.4B.5C.—D.3

5

（6）X1,X2，X3是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，DX=a2,則以下無(wú)偏估

計(jì)量中（B）最有效。

3121

A.—X.4—X、4—X?+Xf+X3）

5152533,23

C.-X.+—X、+—XQD.-X.+—X、H—XQ

613-2-414-23

3.解答題

(1)乂,占…x.是來(lái)自總體x的一個(gè)樣本，其中總體有密度

2

/“劭=標(biāo)(D求未知參數(shù)的矩估計(jì)量

o,其他

(ii)判斷矩估計(jì)量的無(wú)偏性

(iii)計(jì)算估計(jì)量的方差

解：(i)先求總體的一階原點(diǎn)矩即數(shù)學(xué)期望

EX=\"x-(O-x)dx=^x-Odx-^x-xdx=--^-^-—^=-.

Jo。八J。4Jo仍。2°O?3°3

_f)__

令研=又即一二又，得9=3北

3

(ii)￡6>=E(3X)=3E(X)=3E(X)=3--=<9,

3

所以該估計(jì)量是無(wú)偏估計(jì)量。

(iii)估計(jì)量的方差

DX=EX2-E2X=f\2~(6>-xWr-(-)2=—;

J。e13is

--DX〃2

。⑻=〃(3X)