專題03立體幾何中的折疊和開放性問題（考題猜想，易錯必刷2大題型）【題型一】折疊問題【題型二】開放性問題【題型一】折疊問題一、解答題1．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）如圖1，在中，，，若沿中位線AD把折起，使，如圖2，此時直線PB與CD所成角的大小為．

(1)求BC的長；(2)求二面角的余弦值．2．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）某校一個數學興趣小組發(fā)現《九章算術》中提到了“芻甍”這個五面體，于是他們仿照該模型設計了一道數學探究題，如圖1，E，F，G分別是邊長為4的正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個“芻甍”（如圖2）．(1)若是四邊形對角線的交點，求證：平面；(2)若二面角的平面角為，求平面與平面夾角的余弦值．3．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）如圖1，梯形中，，過，分別作，，垂足分別為、.若，，，將梯形沿，折起，且平面平面（如圖2）.(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長，若不存在，說明理由.4．（23-24高二上·山東聊城·期末）圖1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF組成的一個平面圖形，其中，，，將直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分別沿AC，CB折起使得CD，CG重合，連接EF，如圖2.(1)求圖2中的點B到平面ACDE的距離；(2)證明圖2中的A，B，F，E四點共面，并求平面ABFE與平面ACDE夾角的余弦值.5．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將沿折起到位置，使得（如圖2）.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由6．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四邊形ABCD如圖甲，，沿AC將折起，使點D到達點P位置，且，連接PB得三棱錐如圖乙．(1)證明；平面ABC；(2)在線段PC上是否存在點M，使二面角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【題型二】開放性問題一、解答題1．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱的中點．

(1)證明：平面；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點Q，使得點Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．2．（23-24高二上·福建廈門·期末）如圖，在平行六面體中，平面，，，.(1)求證：；(2)線段上是否存在點，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.3．（23-24高二上·河南·期末）如圖，在四棱錐中，為中點，平面平面，，.(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.4．（19-20高二上·北京西城·期末）如圖，四棱錐中，平面，，是的中點．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值是，求的值；(3)若，在線段AD上是否存在一點，使得．若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．5．（23-24高二下·江蘇泰州·期末）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)設.①若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.②在線段上是否存在點，使得點，，在以為球心的球上？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.6．（23-24高二下·廣西桂林·期末）如圖，已知邊長為的正方形，以邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面圍成一個幾何體．設是上的一點，，分別為線段，的中點．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值；(3)在（2）的條件下，線段上是否存在點，使平面，證明你的結論．

專題03立體幾何中的折疊和開放性問題（考題猜想，易錯必刷2大題型）【題型一】折疊問題【題型二】開放性問題【題型一】折疊問題一、解答題1．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）如圖1，在中，，，若沿中位線AD把折起，使，如圖2，此時直線PB與CD所成角的大小為．

(1)求BC的長；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)2(2)【分析】（1）以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，借助線線角的空間向量法求解；（2）利用空間向量法求二面角的余弦值．【詳解】（1）由于，，，平面，故平面，又因為，所以兩兩垂直，故分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，且A為PB的中點，所以，設，則，所以A0,0,0，B1,0,0，，P0,0,1，則，．

因為直線PB與CD所成角的大小為，所以，即，解得或（舍去）．所以BC的長為2；（2）設平面PBD的法向量為m=因為，PD=0,1,?1，，所以，令，則，，，設平面PBC的法向量為n=a,b,c，所以令，則，，．所以，由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．2．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）某校一個數學興趣小組發(fā)現《九章算術》中提到了“芻甍”這個五面體，于是他們仿照該模型設計了一道數學探究題，如圖1，E，F，G分別是邊長為4的正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個“芻甍”（如圖2）．(1)若是四邊形對角線的交點，求證：平面；(2)若二面角的平面角為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過構造平行四邊形的方法來證得平面.（2）根據二面角的知識求得，建立空間直角坐標系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值．【詳解】（1）取線段中點，連接，由圖1可知，四邊形是矩形，且，在圖2中，且，且，四邊形是平行四邊形，則，由于平面，平面，平面．（2）由已知，四邊形是矩形，折疊前后都有，由于平面，所以平面，由于，所以平面，由于平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，，則，，以為坐標原點，所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，，平面的一個法向量，設平面的一個法向量n=x,y,z由，得，于是平面的一個法向量，，平面與平面夾角的余弦值為．3．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）如圖1，梯形中，，過，分別作，，垂足分別為、.若，，，將梯形沿，折起，且平面平面（如圖2）.(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】利用面面垂直性質定理可得平面，（1）（法一）利用線面垂直的判定定理、性質定理可得.（法二）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，求出可得答案；（2）求出平面的一個法向量，設在線段上存在一點且，則，設直線與平面所成的角為，利用線面角的向量求法求出再結合的范圍可得答案.【詳解】（1）∵平面平而，平而，平面平面，，∴平面，（法一）又平而，則，又正方形中，，且，平面，則平面，又平面，則.（法二）∵平而，，∴以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，∴，，，，，∴，，∴，∴；（2）∵，∴平面，∴，∴，，設平面的一個法向量為，令，則，設在線段上存在一點且，則，設直線與平面所成的角為，則，不滿足，所以不存在點滿足題意.4．（23-24高二上·山東聊城·期末）圖1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF組成的一個平面圖形，其中，，，將直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分別沿AC，CB折起使得CD，CG重合，連接EF，如圖2.(1)求圖2中的點B到平面ACDE的距離；(2)證明圖2中的A，B，F，E四點共面，并求平面ABFE與平面ACDE夾角的余弦值.【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）根據線面垂直的判定證明線面垂直，建立空間直角坐標系，求出平面ACDE的法向量，利用點到平面距離的向量公式求解即可；（2）利用共面向量基本定理證明四點共面，求出平面ABFE的法向量，利用平面夾角的向量公式求解即可.【詳解】（1）由題意可知，圖2中，，又，平面BCDF，平面BCDF，所以平面BCDF，在平面BCDF內，過D作于點H，則，又，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，以C為原點，以CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，以過點C且與DH平行的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標系，由題意可得，，，，，，，設平面ACDE的法向量為，則，得，令，則，，所以為平面ACDE的一個法向量，所以點B到平面ACDE的距離為，即點B到平面ACDE的距離為.（2）因為，所以圖2中的A，B，F，E四點共面，由（1）知，，，所以，設平面ABFE的法向量為，則，得，令，則，，所以為平面ABFE的一個法向量，又是平面ACDE的一個法向量，所以，即平面ABFE與平面ACDE夾角的余弦值為.【點睛】結論點睛：若直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則①兩異面直線所成的角為，；②直線與平面所成的角為，；③二面角的大小為，.5．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，為的中點，線段與交于點（如圖1）.將沿折起到位置，使得（如圖2）.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）連接、，由平面幾何的知識得到，即，，即可得到，從而得到平面，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法得到方程，求出，即可得解.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，則，則，又P為的中點，連接，則且，，所以為菱形，同理可得為菱形，所以，所以，連接，則，又，所以，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）線段上存在點，使得與平面所成角的正弦值為.因為平面，所以，，兩兩互相垂直，如圖，以點為坐標原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，則，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，，設，因為，，所以，設與平面所成角為，則，即，，解得或（舍去），所以線段上存在點，且，使得與平面所成角的正弦值為.6．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四邊形ABCD如圖甲，，沿AC將折起，使點D到達點P位置，且，連接PB得三棱錐如圖乙．(1)證明；平面ABC；(2)在線段PC上是否存在點M，使二面角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，且【分析】（1）推導出，證明出平面，可得出，利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設，其中，利用空間向量法可得出關于的等式，結合求出的值，即可得出結論.【詳解】（1）證明：翻折前，因為四邊形為平行四邊形，，則，因為，則，，由余弦定理可得，所以，，則，同理可證，翻折后，則有，，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，、平面，所以，平面，（2）因為平面，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設，其中，則，，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，，易知平面的一個法向量為，則，整理可得，因為，解得，因此，線段上存在點，使二面角的余弦值為，且.【題型二】開放性問題一、解答題1．（23-24高二下·江蘇鹽城·階段練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱的中點．

(1)證明：平面；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點Q，使得點Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）存在，【分析】（1）通過證明四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；（2）（i）建立空間直角坐標系，利用向量法求解；（ii）利用點到面距離的向量法求解即可.【詳解】（1）取的中點N，連接，如圖所示：為棱的中點，

，，∴四邊形是平行四邊形，，又平面平面平面．

（2），∵平面平面，平面平面平面，平面，又平面，而，

∴以點D為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖：則，為棱的中點，

（i），設平面的一個法向量為，則，令，則，平面的一個法向量為，

，根據圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為

（ii）假設在線段上存在點Q，使得點Q到平面的距離是，設，則，

由（2）知平面的一個法向量為，，∴點Q到平面的距離是，

．2．（23-24高二上·福建廈門·期末）如圖，在平行六面體中，平面，，，.(1)求證：；(2)線段上是否存在點，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】（1）解法一：利用空間向量法，，從而得證；解法二：在平面內過點作的垂線，垂足為，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，利用坐標運算得，從而得證；解法三：通過證明平面，則，利用勾股定理得證，從而得證；（2）假設存在點滿足條件，利用兩平面夾角公式可解.【詳解】（1）解法一：因為平面，平面，所以，所以因為，所以又因為，所以，化簡得所以，所以解法二：在平面內過點作的垂線，垂足為，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設，則，所以，由得，所以，又因為，所以，解得，所以，，，，所以，所以；解法三：在平面中，過作的垂線，垂足為，連結交于.因為平面，平面，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，則，所以，所以，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以；（2）由（1）得平面的一個法向量為，假設存在點滿足條件，設，則，設平面的一個法向量為，由，得，令，則，，所以，所以，因為平面與平面的夾角為，即，解得，又因為，所以舍去，所以線段上不存在點使得平面與平面的夾角為.3．（23-24高二上·河南·期末）如圖，在四棱錐中，為中點，平面平面，，.(1)求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，為中點【分析】（1）取中點，連接，證明四邊形為平行四邊形，則，再根據線面平行的判定定理即可得證；（2）取中點，連接，根據面面垂直的性質證明平面，過點作的平行線，以為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）取中點，連接，因為分別為中點，則，即四邊形為平行四邊形，則，又平面平面，則平面；（2）存在點，證明如下：取中點，連接，因為，則，又平面平面，平面平面平面，則平面，過點作平行線，交于，因為平面，則，過點作的平行線，則以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，注意到，則，故，則，設，則，設m=x,y,z為平面則，即，令，則，則平面的一個法向量，設n=a,b,c為平面則，即，令，則，則平面的一個法向量，因為二面角余弦值為，則，解得，故當為中點時，滿足題意.4．（19-20高二上·北京西城·期末）如圖，四棱錐中，平面，，是的中點．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值是，求的值；(3)若，在線段AD上是否存在一點，使得．若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）推導出平面．．由此能證明平面;（2）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出的值;（3）設，當，，，由知，,，這與矛盾,從而在線段上不存在點，使得．【詳解】（1）證明：因為平面，,所以平面,又因為平面，所以．在中，，是的中點，所以．又因為,平面,所以平面．（2）因為平面，平面，所以,又因為

,所以如圖建立空間直角坐標系．則,則，，設平面的法向量為n=x,y,z則即，令，則，，故．因為平面，平面，所以,又,平面,所以平面．又因為，所以取平面的法向量為所以，則，解得．又因為，所以；（3）結論：不存在．理由如下：證明：設．當時，，，由知,，這與矛盾,所以在線段上不存在點，使得．5．（23-24高二下·江蘇泰州·期末）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)設.①若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.②在線段上是否存在點，使得點，，在以為球心的球上？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)①或；②不存在點，理由見解析【分析】（1）利用面面垂直的性質可證得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證得結論；（2）①依題意建立適當空間直角坐標系，設，利用題設條件，分別求得相關點和向量的坐標，利用空間向量坐標的夾角公式列出方程，求解即得的值；②假設存在點，可由推得，得點坐標，由得方程，因此方程無實數解，假設不成立.【詳解】（1）在四棱錐中，平面平面，，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）如圖以為原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示直角空間坐標系，設，則，由，，，，則，，因，則，，所以，，①設平面的法向量為，由，，得：，可取，設直線與平面所成角為，則有：，，