專題09概率（考題猜想，易錯(cuò)必刷7大題型）【題型一】條件概率【題型二】全概率與貝葉斯公式【題型三】離散型隨機(jī)變量的均值與方差【題型四】獨(dú)立事件的乘法公式【題型五】二項(xiàng)分布【題型六】超幾何分布【題型七】正態(tài)分布【題型一】條件概率一、單選題1．（23-24高二下·天津?yàn)I海新·期末）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，設(shè)事件A=“有4名航天員在天和核心艙”，事件B=“甲乙二人在天和核心艙”，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·天津西青·期末）從一副不含大小王的52張撲克牌中，每次從中隨機(jī)曲取1張撲克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的條件下，第二次抽到K牌的概率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）一個(gè)盒子中裝有4個(gè)黑球和6個(gè)白球，每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中任取2個(gè)球，已知一個(gè)球是白球，則另一個(gè)球也是白球的概率為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·新疆·期末）不透明的袋子中有8個(gè)除顏色外其余完全相同的小球，其中4個(gè)紅色小球，4個(gè)藍(lán)色小球，從袋子中隨機(jī)摸出4個(gè)小球，在摸出紅色小球的條件下，摸出的紅色小球個(gè)數(shù)大于藍(lán)色小球個(gè)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）已知，為某隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件，為事件的對(duì)立事件．若，，．則（

）A． B． C． D．【題型二】全概率與貝葉斯公式一、單選題1．（23-24高二下·山東煙臺(tái)·期末）某產(chǎn)品只有一等品?二等品，現(xiàn)隨機(jī)裝箱銷售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件數(shù)為的概率分別為.一顧客欲購一箱該產(chǎn)品，開箱隨機(jī)查看其中1件，若該件產(chǎn)品為一等品，則買下這箱產(chǎn)品，否則退回，則該顧客買下這箱產(chǎn)品的概率為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·遼寧大連·期末）小明每天從騎自行車?坐公交車兩種方式中選擇一種去上學(xué).已知他選擇騎自行車的概率為0.6，在他騎自行車的條件下，7：20之前到達(dá)學(xué)校的概率為0.95.若小明7：20之前到達(dá)學(xué)校的概率為0.93，則在他坐公交車的條件下，7：20之前到達(dá)學(xué)校的概率為（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.63．（23-24高二下·廣東廣州·期末）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2，3臺(tái)加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.如果取到的零件是次品，則它是第3臺(tái)車床加工的概率是（

）A． B． C． D．4．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為95%，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報(bào)率為0.5%，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有0.5%的可能會(huì)誤報(bào)陽性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·福建泉州·期末）某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學(xué)第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（

）A． B． C． D．二、解答題6．（23-24高二下·福建三明·期末）假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有件，其中有件次品；第二箱內(nèi)裝有件，其中有件次品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件.(1)求取出的零件是次品的概率；(2)已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率.7．（23-24高二下·云南楚雄·期末）在一個(gè)牌堆中有6張牌，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，3，5，7．(1)規(guī)定每次隨機(jī)翻出一張牌，若數(shù)字為奇數(shù)，則放回這張牌，若數(shù)字為偶數(shù)，則不放回這張牌，求第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)的概率．(2)規(guī)定每次隨機(jī)翻出一張牌，然后放回，若數(shù)字為奇數(shù)，則得1分，若數(shù)字為偶數(shù)，則得2分，翻牌次數(shù)不限，直到總得分達(dá)到或超過5分，游戲結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時(shí)翻牌的總次數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．8．（22-23高二下·甘肅白銀·期末）某同學(xué)正在研究投擲骰子的概率問題，在連續(xù)3次得到6點(diǎn)朝上的結(jié)果時(shí)，他產(chǎn)生了一個(gè)疑問：在連續(xù)多少次6點(diǎn)朝上時(shí)，是否該合理懷疑骰子不是均勻的?帶著這個(gè)疑問，他研究了以下問題：有兩個(gè)骰子，一個(gè)是正常的、均勻的1號(hào)骰子，另一個(gè)是不均勻的2號(hào)骰子.經(jīng)測(cè)1試，投擲2號(hào)骰子得到6點(diǎn)朝上的概率為.(1)若等可能地選擇其中一個(gè)骰子，連續(xù)投擲3次，在得到都是6點(diǎn)朝上的結(jié)果的前提下，求這個(gè)骰子是2號(hào)骰子的概率.(2)若每次都等可能地選擇其中一個(gè)骰子，投擲了10次，在得到都是6點(diǎn)朝上的結(jié)果的前提下，設(shè)這10次中有次用了2號(hào)骰子的概率為，試問當(dāng)取何值時(shí)最大?并求的最大值.【題型三】離散型隨機(jī)變量的均值與方差一、單選題1．（23-24高二下·河南信陽·期末）2024年5月中國(guó)郵政發(fā)行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太湖》（5枚）、《鄱陽湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四個(gè)登上特種郵票的五大淡水湖.現(xiàn)從15枚郵票中隨機(jī)抽取2枚，記抽取郵票《巢湖》的枚數(shù)為，則（

）A． B． C．1 D．2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機(jī)變量的分布列如下:01設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望的值是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·廣西玉林·期末）隨機(jī)變量Y的分布列為下表所示，若Y的期望值為1，則：（

）02A． B．C． D．4．（23-24高二下·河南商丘·期末）設(shè)隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·青海·期末）已知一組數(shù)據(jù)1，2，2，5，5，6的第60百分位數(shù)為，隨機(jī)變量X的分布列為2m140.30.60.1（

）A．5 B．6 C．9.8 D．10.86．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P且，則（

）A．1 B． C． D．【題型四】獨(dú)立事件的乘法公式一、單選題1．（23-24高二下·福建漳州·期末）在一個(gè)關(guān)于智能助手的準(zhǔn)確率測(cè)試中，有三種不同的模型，，.模型的準(zhǔn)確率為0.8，模型的準(zhǔn)確率為0.75，模型的準(zhǔn)確率為0.7.已知選擇模型，，的概率分別為，，.現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)模型進(jìn)行測(cè)試，則準(zhǔn)確率為（

）A．0.56 B．0.66 C．0.76 D．0.862．（23-24高二下·河南漯河·期末）甲乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為和，在目標(biāo)被擊中的情況下，甲乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·江蘇南京·期末）連續(xù)地?cái)S一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，記事件為“第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，事件為“第二次的點(diǎn)數(shù)小于等于4點(diǎn)”，事件為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，事件為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，則下列說法不正確的是（

）A．與不是互斥事件 B．與相互獨(dú)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立二、解答題4．（23-24高二上·四川綿陽·期末）多項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見題型，從，，，四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案（四個(gè)選項(xiàng)中至少有兩個(gè)選項(xiàng)是正確的），其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.(1)甲同學(xué)有一道多項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇至少兩個(gè)選項(xiàng)，求他猜對(duì)本題得5分的概率；(2)現(xiàn)有2道多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題乙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為；丙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對(duì)與否也互不影響，求這2道多項(xiàng)選擇題乙比丙總分剛好多得5分的概率.5．（23-24高二下·廣西南寧·期末）2024年5月底，各省教育廳陸續(xù)召開了2024年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)工作，某市經(jīng)過初次選拔后有小明，小王，小紅三名同學(xué)成功進(jìn)入決賽，在決賽環(huán)節(jié)中三名同學(xué)同時(shí)解答一道有關(guān)組合數(shù)論的試題．已知小明成功解出這道題的概率是，小明，小紅兩名同學(xué)都解答錯(cuò)誤的概率是，小王、小紅兩名同學(xué)都成功解出的概率是，這三名同學(xué)解答是否正確相互獨(dú)立.(1)分別求出小王，小紅兩名同學(xué)成功解出這道題的概率；(2)求三人中至少有兩人成功解出這道題的概率．6．（23-24高二上·廣東茂名·期末）“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項(xiàng)活動(dòng)，出現(xiàn)在宋朝．南宋時(shí)，首都臨安每逢元宵節(jié)時(shí)制迷，猜謎的人眾多．開始時(shí)是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因?yàn)橹i語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會(huì)各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)了12道，乙同學(xué)猜對(duì)了8道，丙同學(xué)猜對(duì)了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對(duì)的可能性都相等．(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對(duì)的概率為，求n的值．【題型五】二項(xiàng)分布一、解答題1．（23-24高二下·安徽·期末）某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號(hào)的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為：乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為.(1)混合零件中甲廠零件和乙廠零件的比例是多少？(2)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取4個(gè)，用頻率估計(jì)概率，記這4個(gè)零件中來自甲工廠的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.2．（23-24高二下·廣東佛山·期末）某工廠制造甲、乙、丙三件產(chǎn)品，制造過程必須先后經(jīng)過兩道工序.當(dāng)?shù)谝坏拦ば蛲瓿刹⒑细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二道工序，兩道工序過程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次為，，經(jīng)過第二道工序后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，.(1)求第一道工序完成后至少有一件產(chǎn)品合格的概率；(2)若前后兩道工序均合格的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品，記合格產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.3．（23-24高二下·天津西青·期末）歷史悠久的楊柳青年畫，全稱“楊柳青木版年畫”，屬木版印繪制品，是我國(guó)著名民間傳統(tǒng)木版年畫．它起源于明代崇禎年間，距今已有近400年的歷史，是首批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．楊柳青年畫制作特別之處是它采用“印畫結(jié)合”的獨(dú)特工藝，制作程序大致是：創(chuàng)稿、分版、刻版、套印、彩繪、裝裱，前期工序與其他木彼年畫大致相同，而楊柳青年畫的后期制作藝術(shù)風(fēng)格迥然不同．一個(gè)優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技術(shù)要求，已知某年工藝畫師在后期套印、彩繪、裝裱每個(gè)環(huán)節(jié)制作成功的概率分別為，只有當(dāng)每個(gè)環(huán)節(jié)制作都成功才認(rèn)為是一次優(yōu)秀制作．(1)設(shè)事件“制作一件優(yōu)秀作品”，求事件A的概率；(2)若該工藝畫師進(jìn)行3次制作，事件”恰有一件優(yōu)秀作品”，求事件B的概率；(3)若該工藝畫師制作3次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．4．（23-24高二下·浙江寧波·期末）4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)該地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的上四分位數(shù)；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，二組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了20個(gè)學(xué)生，得到均值為8，方差為3.75，現(xiàn)在已知這一組學(xué)生的均值為5，方差為2；求這一組學(xué)生的均值和方差；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中.當(dāng)最大時(shí)，寫出的值，并說明理由.5．（23-24高二下·西藏拉薩·期末）在第九個(gè)全民國(guó)家安全教育日即將來臨之際，拉薩市人民檢察院于12日會(huì)同拉薩市委宣傳部、拉薩市普法辦、拉薩市教育局等部門，共同舉辦了以“檢愛同行，共護(hù)花開”為主題的首屆拉薩市青少年國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽.每人可參加多輪答題活動(dòng)，每輪答題情況互不影響.每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對(duì)，方可進(jìn)行第二組答題，否則本輪答題結(jié)束.已知吳科同學(xué)第一組每道題答對(duì)的概率均為，第二組每道題答對(duì)的概率均為，兩組題至少答對(duì)3題才可獲得一枚紀(jì)念章.經(jīng)過激烈的角逐，拉薩江蘇實(shí)驗(yàn)中學(xué)代表隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)，拉薩市第三高級(jí)中學(xué)、拉薩市北京中學(xué)代表隊(duì)獲得二等獎(jiǎng)，拉薩市第二高級(jí)中學(xué)、拉薩市第二中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校、拉薩市第四高級(jí)中學(xué)代表隊(duì)獲得三等獎(jiǎng).(1)記吳科同學(xué)在一輪比賽答對(duì)的題目數(shù)為，請(qǐng)寫出的分布列，并求；(2)若吳科同學(xué)進(jìn)行了10輪答題，試問獲得多少枚紀(jì)念章的概率最大.【題型六】超幾何分布一、解答題1．（23-24高二下·重慶長(zhǎng)壽·期末）已知6名學(xué)生中，有4名男生，2名女生.現(xiàn)從這6名學(xué)生中任意抽取3名學(xué)生去參加一個(gè)趣味活動(dòng).(1)求抽出的3名學(xué)生中恰好有一名是女生的概率；(2)求抽出的3名學(xué)生中女生人數(shù)的分布列.2．（23-24高二下·北京懷柔·期末）某學(xué)校對(duì)食堂飯菜質(zhì)量進(jìn)行滿意度調(diào)查，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲取數(shù)據(jù)如下：滿意度性別滿意不滿意棄權(quán)男生803010女生502010(1)用頻率估計(jì)概率，該校學(xué)生對(duì)食堂飯菜質(zhì)量滿意的概率；(2)用分層抽樣的方法從上表中不滿意的50人中抽取5人征求整改建議，再從這5個(gè)人中隨機(jī)抽取2人參與食堂的整改監(jiān)督，則抽取的2人中女生的人數(shù)X，求X的分布列和期望．3．（23-24高二下·重慶·期末）喝酒不開車，開車不喝酒．根據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：血液酒精濃度在（含80）以上認(rèn)定為醉酒駕車．某地統(tǒng)計(jì)近年來查處的醉酒駕車共200人，這200人血液酒精濃度檢測(cè)結(jié)果按，，??，分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這200人血液酒精濃度的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）；(2)求這200人中血液酒精濃度在的人數(shù)；(3)按比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，在酒精濃度為和人員中隨機(jī)抽取16人集中學(xué)習(xí)．現(xiàn)從這16人中抽取4人檢查學(xué)習(xí)效果，求抽到的人員恰有3人酒精濃度為的概率．4．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市為促進(jìn)消費(fèi)推出優(yōu)惠活動(dòng)，為預(yù)估活動(dòng)期間客戶投入的消費(fèi)金額，采用隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了200名客戶的消費(fèi)金額，分組如下：（單位：元），得到如圖所示頻率分布直方圖：活躍客戶非活躍客戶總計(jì)男20女60總計(jì)(1)若把消費(fèi)金額不低于800元的客戶，稱為“活躍客戶”，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，求列聯(lián)表中的值，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“活躍客戶”與性別有關(guān)？(2)為感謝客戶，該超市推出免單福利，方案如下：從“活躍客戶”中按分層抽樣的方法抽取12人，從中抽取2人進(jìn)行免單，試寫出免單總單金額的分布列及其期望．（每一組消費(fèi)金額按該組中點(diǎn)值估計(jì)，期望結(jié)果保留至整數(shù)）附：0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.8795．（23-24高二下·北京房山·期末）人工智能（簡(jiǎn)稱）的相關(guān)技術(shù)首先在互聯(lián)網(wǎng)開始應(yīng)用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的軟件主要有四項(xiàng)功能：“視頻創(chuàng)作”、“圖像修復(fù)”、“語言翻譯”、“智繪設(shè)計(jì)”.為了解某地區(qū)大學(xué)生對(duì)這款軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的軟件功能（每人只能選一項(xiàng)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復(fù)語言翻譯智繪設(shè)計(jì)大學(xué)生人數(shù)假設(shè)大學(xué)生對(duì)軟件的喜愛傾向互不影響.(1)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，試估計(jì)此人最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從名大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，的方差記作，（2）中的方差記作，比較與的大小.（結(jié)論不要求證明）【題型七】正態(tài)分布一、單選題1．（23-24高二下·陜西西安·期末）某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考試成績(jī)服從正態(tài)分布.如果按照，，，的比例將考試成績(jī)從高到低分為四個(gè)等級(jí).若某同學(xué)考試成績(jī)的等級(jí)為，則該同學(xué)的考試成績(jī)可能為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．120 B．90 C．80 D．602．（23-24高二下·四川德陽·期末）為弘揚(yáng)我國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了“成語”聽寫測(cè)試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽寫測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布．試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于90的學(xué)生所占的百分比為（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，．A． B． C． D．3．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機(jī)變量.若，設(shè)事件“”，事件“”，則（）A． B． C． D．二、解答題4．（23-24高二下·青?！て谀┮阎车厣a(chǎn)的白砂糖是按袋裝銷售的，每袋白砂糖的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且.(1)求，；(2)若甲從該地生產(chǎn)的白砂糖中隨機(jī)購買袋，如果每袋質(zhì)量都小于，那么甲得積分，如果有袋質(zhì)量小于，那么甲得50積分，如果至少有袋質(zhì)量不小于，那么甲扣積分，記甲獲得積分，求的數(shù)學(xué)期望.5．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某市某中學(xué)為了了解高一年級(jí)學(xué)生的閱讀情況，從高一年級(jí)全部1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，調(diào)查他們每周的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示．由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該校高一學(xué)生每周閱讀時(shí)間服從正態(tài)分布，其中可以近似為100名學(xué)生的每周閱讀時(shí)間的平均值（同組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示），．(1)試估計(jì)高一全體學(xué)生中每周閱讀時(shí)間不高于6.8小時(shí)的人數(shù)（四舍五入取整）；(2)若從高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)選出的5人中每周閱讀時(shí)間在10.6小時(shí)以上的學(xué)生人數(shù)為Y，求隨機(jī)變量Y的分布列，數(shù)學(xué)期望與方差．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．6．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）根據(jù)中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)（GB2890-2009），級(jí)防毒面具中綜合過濾件的濾煙效率需要達(dá)到不低于95%的標(biāo)準(zhǔn)，某防護(hù)用品生產(chǎn)廠生產(chǎn)的綜合過濾件的濾煙效率服從正態(tài)分布.(1)某質(zhì)檢員隨機(jī)從生產(chǎn)線抽檢10件產(chǎn)品，測(cè)量出一只產(chǎn)品的濾煙效率為93.0%.他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備和工人工作狀況.請(qǐng)你依據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷該質(zhì)檢員要求是否合理，并簡(jiǎn)要說明判斷的依據(jù)；(2)該工廠將濾煙效率達(dá)到95.2%以上的綜合過濾件定義為“優(yōu)質(zhì)品”.①求該生產(chǎn)線生產(chǎn)的一件綜合過濾件為“優(yōu)質(zhì)品”的概率；②該企業(yè)生產(chǎn)了1000件這種綜合過濾件，且每件產(chǎn)品相互獨(dú)立，記為這1000件產(chǎn)品中“優(yōu)質(zhì)品”的件數(shù)，當(dāng)為多少件時(shí)可能性最大（即概率最大）？參考數(shù)據(jù)：，，.

專題09概率（考題猜想，易錯(cuò)必刷7大題型）【題型一】條件概率【題型二】全概率與貝葉斯公式【題型三】離散型隨機(jī)變量的均值與方差【題型四】獨(dú)立事件的乘法公式【題型五】二項(xiàng)分布【題型六】超幾何分布【題型七】正態(tài)分布【題型一】條件概率一、單選題1．（23-24高二下·天津?yàn)I海新·期末）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，設(shè)事件A=“有4名航天員在天和核心艙”，事件B=“甲乙二人在天和核心艙”，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由條件概率公式、古典概型概率公式求解即可.【詳解】由條件概率公式、古典概型概率公式可知，所求為.故選：B.2．（23-24高二下·天津西青·期末）從一副不含大小王的52張撲克牌中，每次從中隨機(jī)曲取1張撲克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的條件下，第二次抽到K牌的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用條件概率公式計(jì)算可求得結(jié)果.【詳解】記“第一次抽到K牌”為事件，“第二次抽到K牌”為事件；根據(jù)題意可得；因此所求概率為.故選：D3．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）一個(gè)盒子中裝有4個(gè)黑球和6個(gè)白球，每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中任取2個(gè)球，已知一個(gè)球是白球，則另一個(gè)球也是白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用條件概率公式求解即可.【詳解】任取兩個(gè)球，設(shè)其中有一個(gè)球是白球?yàn)槭录嗀,另一個(gè)球也是白球?yàn)槭录﨎,則，，所以已知一個(gè)球是白球,則另一個(gè)球也是白球的概率為，故選：B.4．（23-24高二下·新疆·期末）不透明的袋子中有8個(gè)除顏色外其余完全相同的小球，其中4個(gè)紅色小球，4個(gè)藍(lán)色小球，從袋子中隨機(jī)摸出4個(gè)小球，在摸出紅色小球的條件下，摸出的紅色小球個(gè)數(shù)大于藍(lán)色小球個(gè)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意知從袋中隨機(jī)摸出4球情況有種，摸出紅球的情況是摸出4球的情況減去摸出4個(gè)球都藍(lán)球的情況，即，摸出紅色小球個(gè)數(shù)大于藍(lán)色小球個(gè)數(shù)是紅色球摸3個(gè)藍(lán)色摸1個(gè)再加4個(gè)都是紅色小球情況，即，代入條件概率公式即可得.【詳解】設(shè)事件A為摸出紅色小球，事件B為摸出的紅色小球個(gè)數(shù)大于藍(lán)色小球個(gè)數(shù)，則PA=C故選：A5．（23-24高二下·甘肅臨夏·期末）已知，為某隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)事件，為事件的對(duì)立事件．若，，．則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由求出，再求出，最后由條件概率公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，所?故選：D【題型二】全概率與貝葉斯公式一、單選題1．（23-24高二下·山東煙臺(tái)·期末）某產(chǎn)品只有一等品?二等品，現(xiàn)隨機(jī)裝箱銷售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件數(shù)為的概率分別為.一顧客欲購一箱該產(chǎn)品，開箱隨機(jī)查看其中1件，若該件產(chǎn)品為一等品，則買下這箱產(chǎn)品，否則退回，則該顧客買下這箱產(chǎn)品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合全概率公式、對(duì)立事件概率公式即可求解.【詳解】由全概率公式可知，抽到二等品的概率為，故所求概率為.故選：C.2．（23-24高二下·遼寧大連·期末）小明每天從騎自行車?坐公交車兩種方式中選擇一種去上學(xué).已知他選擇騎自行車的概率為0.6，在他騎自行車的條件下，7：20之前到達(dá)學(xué)校的概率為0.95.若小明7：20之前到達(dá)學(xué)校的概率為0.93，則在他坐公交車的條件下，7：20之前到達(dá)學(xué)校的概率為（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及全概率公式即可求解.【詳解】設(shè)“小明騎自行車去上學(xué)”為事件,“小明坐公交車去上學(xué)”為事件,“小明7：20之前到達(dá)學(xué)校”為事件，則,由全概率公式可得,即，解得，所以在他坐公交車的條件下，7：20之前到達(dá)學(xué)校的概率為.故選：A.3．（23-24高二下·廣東廣州·期末）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2，3臺(tái)加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.如果取到的零件是次品，則它是第3臺(tái)車床加工的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全概率公式找出，再由貝葉斯公式求解.【詳解】記取到“第1，2，3臺(tái)車床加工的零件”分別為事件,“取到次品”為事件，故,,由全概率公式可得：,由貝葉斯公式：,故選:B.4．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A，B存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為95%，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報(bào)率為0.5%，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有0.5%的可能會(huì)誤報(bào)陽性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，已知檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出事件，利用條件概率和全概率公式得到，使用貝葉斯公式得到答案.【詳解】設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽性為事件，此人患病為事件，，，則.故選：C5．（23-24高二下·福建泉州·期末）某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學(xué)第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用互斥事件的概率加法公式、積事件的乘法公式進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】設(shè)“王同學(xué)第i天去A餐廳就餐”，“王同學(xué)第i天去B餐廳就餐”，，依題意，，，，則，由有：，因?yàn)?，所以，所?故選：B.二、解答題6．（23-24高二下·福建三明·期末）假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有件，其中有件次品；第二箱內(nèi)裝有件，其中有件次品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件.(1)求取出的零件是次品的概率；(2)已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可得解；（2）根據(jù)條件概率公式可得解.【詳解】（1）設(shè)事件“從第箱中取一個(gè)零件”，事件“取出的零件是次品”，則，且互斥，則，，所以，，所以，所以取出的零件是次品的概率為；（2）取出的是次品是從第一箱取出的概率，所以已知取出的是次品，則它是從第一箱取出的概率為.7．（23-24高二下·云南楚雄·期末）在一個(gè)牌堆中有6張牌，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，3，5，7．(1)規(guī)定每次隨機(jī)翻出一張牌，若數(shù)字為奇數(shù)，則放回這張牌，若數(shù)字為偶數(shù)，則不放回這張牌，求第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)的概率．(2)規(guī)定每次隨機(jī)翻出一張牌，然后放回，若數(shù)字為奇數(shù)，則得1分，若數(shù)字為偶數(shù)，則得2分，翻牌次數(shù)不限，直到總得分達(dá)到或超過5分，游戲結(jié)束．設(shè)游戲結(jié)束時(shí)翻牌的總次數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)的概率受第一次翻出的數(shù)字是奇數(shù)還是偶數(shù)的影響，可以根據(jù)第一次翻出的數(shù)字的情況，將樣本空間表示為“第一次翻出的數(shù)字是奇數(shù)”和“第一次翻出的數(shù)字是偶數(shù)”兩個(gè)互斥事件的并，利用全概率公式求解；（2）根據(jù)題意求出隨機(jī)變量X的每一個(gè)取值，再根據(jù)每個(gè)取值的含義求出其概率，列表即可得分布列，再用期望公式計(jì)算期望即可.【詳解】（1）設(shè)事件A:第一次翻出的數(shù)字是奇數(shù)，事件B:第一次翻出的數(shù)字是偶數(shù)，事件C:第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)，則，且與互斥，由題意得：，，，，由全概率公式得：，所以第二次翻出的數(shù)字是偶數(shù)的概率為.（2）隨機(jī)變量的可能取值為3，4，5．當(dāng)時(shí)，若前兩次都翻到偶數(shù)牌，則翻牌的總次數(shù)為3的概率為，若前兩次都只翻到一張偶數(shù)牌，則翻牌的總次數(shù)為3的概率為，則，，，所以隨機(jī)變量的分布列如下：345．8．（22-23高二下·甘肅白銀·期末）某同學(xué)正在研究投擲骰子的概率問題，在連續(xù)3次得到6點(diǎn)朝上的結(jié)果時(shí)，他產(chǎn)生了一個(gè)疑問：在連續(xù)多少次6點(diǎn)朝上時(shí)，是否該合理懷疑骰子不是均勻的?帶著這個(gè)疑問，他研究了以下問題：有兩個(gè)骰子，一個(gè)是正常的、均勻的1號(hào)骰子，另一個(gè)是不均勻的2號(hào)骰子.經(jīng)測(cè)1試，投擲2號(hào)骰子得到6點(diǎn)朝上的概率為.(1)若等可能地選擇其中一個(gè)骰子，連續(xù)投擲3次，在得到都是6點(diǎn)朝上的結(jié)果的前提下，求這個(gè)骰子是2號(hào)骰子的概率.(2)若每次都等可能地選擇其中一個(gè)骰子，投擲了10次，在得到都是6點(diǎn)朝上的結(jié)果的前提下，設(shè)這10次中有次用了2號(hào)骰子的概率為，試問當(dāng)取何值時(shí)最大?并求的最大值.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)最大，且最大值為【分析】（1）利用條件概型概率計(jì)算公式求得所求的概率.（2）利用條件概型概率計(jì)算公式求得，利用商比較法求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)事件{3次6點(diǎn)朝上}，事件{選擇了2號(hào)骰子}，則，，所以所求概率為.（2）設(shè)事件{10次有次用了2號(hào)骰子}，則.設(shè)事件{10次6點(diǎn)朝上}，則.，.令，，則.當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.因?yàn)?，所以的最大值是，因?yàn)椋缘淖畲笾凳牵援?dāng)時(shí)最大，且最大值為.【題型三】離散型隨機(jī)變量的均值與方差一、單選題1．（23-24高二下·河南信陽·期末）2024年5月中國(guó)郵政發(fā)行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太湖》（5枚）、《鄱陽湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四個(gè)登上特種郵票的五大淡水湖.現(xiàn)從15枚郵票中隨機(jī)抽取2枚，記抽取郵票《巢湖》的枚數(shù)為，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用超幾何分布概率公式，分別求出，再求.【詳解】依題意，的可能取值有0，1，2.則，，，則.故選:A.2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知隨機(jī)變量的分布列如下:01設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)期望公式求出，再根據(jù)期望的性質(zhì)即可得到正確答案.【詳解】，所以.故選：B.3．（23-24高二下·廣西玉林·期末）隨機(jī)變量Y的分布列為下表所示，若Y的期望值為1，則：（

）02A． B．C． D．【答案】A【分析】由分布列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算求解即可.【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，，故A正確；因?yàn)閅的期望值為1，所以，所以C錯(cuò).若，不滿足分布列性質(zhì)，B錯(cuò)，由上，有，顯然D錯(cuò).故選：A4．（23-24高二下·河南商丘·期末）設(shè)隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)二項(xiàng)分布方差的計(jì)算公式求，再根據(jù)求解.【詳解】由題意知，，解得，所以.故選：D5．（23-24高二下·青?！て谀┮阎唤M數(shù)據(jù)1，2，2，5，5，6的第60百分位數(shù)為，隨機(jī)變量X的分布列為2m140.30.60.1（

）A．5 B．6 C．9.8 D．10.8【答案】D【分析】先求的值，再求的期望與方差.【詳解】∵，∴，∴，∴故選：D6．（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期末）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P且，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分布列求出，，再根據(jù)條件得，計(jì)算答案即可.【詳解】由X的分布列得，，因?yàn)?，則故選：D.【題型四】獨(dú)立事件的乘法公式一、單選題1．（23-24高二下·福建漳州·期末）在一個(gè)關(guān)于智能助手的準(zhǔn)確率測(cè)試中，有三種不同的模型，，.模型的準(zhǔn)確率為0.8，模型的準(zhǔn)確率為0.75，模型的準(zhǔn)確率為0.7.已知選擇模型，，的概率分別為，，.現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)模型進(jìn)行測(cè)試，則準(zhǔn)確率為（

）A．0.56 B．0.66 C．0.76 D．0.86【答案】C【分析】直接由全概率公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.【詳解】由全概率公式可知，所求準(zhǔn)確率為.故選：C.2．（23-24高二下·河南漯河·期末）甲乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為和，在目標(biāo)被擊中的情況下，甲乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件，乙擊中目標(biāo)為事件，目標(biāo)被擊中為事件，由相互獨(dú)立事件的概率公式，計(jì)算可得目標(biāo)被擊中的概率，再由條件概率公式計(jì)算可得.【詳解】記甲擊中目標(biāo)為事件，乙擊中目標(biāo)為事件，目標(biāo)被擊中為事件，甲乙同時(shí)擊中目標(biāo)為事件，由題意，得，，所以，，所以，所以在目標(biāo)被擊中的情況下，甲乙同時(shí)擊中目標(biāo)的概率為.故選：A.3．（23-24高二下·江蘇南京·期末）連續(xù)地?cái)S一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，記事件為“第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，事件為“第二次的點(diǎn)數(shù)小于等于4點(diǎn)”，事件為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，事件為“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，則下列說法不正確的是（

）A．與不是互斥事件 B．與相互獨(dú)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】B【分析】先利用古典概型概率公式分別求出事件的概率，再按照選項(xiàng)要求，利用事件的交事件是否為空集，確定是否互斥；兩事件交事件的概率是否等于兩事件概率的乘積，判斷兩時(shí)間是否獨(dú)立即得.【詳解】依題意，試驗(yàn)的樣本空間為，，顯然，則；，；，；，.對(duì)于A，因,故與不是互斥事件，A正確；對(duì)于B，因，，而,故與不獨(dú)立，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，,故與相互獨(dú)立，即C正確；對(duì)于D，因，，故與相互獨(dú)立，即D正確.故選：B.二、解答題4．（23-24高二上·四川綿陽·期末）多項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見題型，從，，，四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案（四個(gè)選項(xiàng)中至少有兩個(gè)選項(xiàng)是正確的），其評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.(1)甲同學(xué)有一道多項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇至少兩個(gè)選項(xiàng)，求他猜對(duì)本題得5分的概率；(2)現(xiàn)有2道多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題乙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為；丙同學(xué)得5分的概率為，得2分的概率為.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對(duì)與否也互不影響，求這2道多項(xiàng)選擇題乙比丙總分剛好多得5分的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出樣本空間基本事件總數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式即可求解.（2）由互斥加法以及獨(dú)立乘法公式即可求解.【詳解】（1）甲同學(xué)所有可能的選擇答案有11種：，其中正確選項(xiàng)只有一個(gè)，樣本空間,共11個(gè)基本事件，所以他猜對(duì)本題得5分的概率為.（2）由題意得乙得0分的概率為，丙得0分的概率為，乙比丙剛好多得5分的情況包含：事件：乙得10分，丙得5分，則；事件：乙得7分，丙得2分，則；事件：乙得5分，丙得0分，則；所以乙比丙總分剛好多得5分的概率.5．（23-24高二下·廣西南寧·期末）2024年5月底，各省教育廳陸續(xù)召開了2024年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)工作，某市經(jīng)過初次選拔后有小明，小王，小紅三名同學(xué)成功進(jìn)入決賽，在決賽環(huán)節(jié)中三名同學(xué)同時(shí)解答一道有關(guān)組合數(shù)論的試題．已知小明成功解出這道題的概率是，小明，小紅兩名同學(xué)都解答錯(cuò)誤的概率是，小王、小紅兩名同學(xué)都成功解出的概率是，這三名同學(xué)解答是否正確相互獨(dú)立.(1)分別求出小王，小紅兩名同學(xué)成功解出這道題的概率；(2)求三人中至少有兩人成功解出這道題的概率．【答案】(1)小王、小紅解出概率分別為，(2)【分析】（1）借助對(duì)立事件的性質(zhì)及相互獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可得；（2）借助相互獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）設(shè)小明、小王、小紅成功解出該道題分別為事件A，B，C，根據(jù)題意，則有，則，又，所以，即，又，則．即小王、小紅成功解出這道題的概率分別為，；（2）設(shè)三人中至少有兩人成功解出這道題為事件D，則有，所以三人中至少有兩人成功解出這道題的概率為．6．（23-24高二上·廣東茂名·期末）“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項(xiàng)活動(dòng)，出現(xiàn)在宋朝．南宋時(shí)，首都臨安每逢元宵節(jié)時(shí)制迷，猜謎的人眾多．開始時(shí)是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因?yàn)橹i語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會(huì)各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)了12道，乙同學(xué)猜對(duì)了8道，丙同學(xué)猜對(duì)了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對(duì)的可能性都相等．(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對(duì)的概率為，求n的值．【答案】(1)(2)10【分析】（1）設(shè)出相應(yīng)事件后，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式進(jìn)行求解即可；（2）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式即可求出n的值.【詳解】（1）設(shè)“甲猜對(duì)燈謎”為事件A，“乙猜對(duì)燈謎”為事件B，“任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對(duì)”為事件C，由題意得，，，且事件A、B相互獨(dú)立，則，所以任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率為；（2）設(shè)“丙猜對(duì)燈謎”為事件D，“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個(gè)人都沒有猜對(duì)”為事件E，則由題意，，解得．【題型五】二項(xiàng)分布一、解答題1．（23-24高二下·安徽·期末）某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號(hào)的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為：乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為.(1)混合零件中甲廠零件和乙廠零件的比例是多少？(2)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取4個(gè)，用頻率估計(jì)概率，記這4個(gè)零件中來自甲工廠的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）設(shè)甲工廠有件，乙工廠有件，得到，，根據(jù)題意，列出方程，求得，即可求解；（2）由（1）知所以，且的可能取值為，取得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用二項(xiàng)分布的期望公式，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有件，事件“混合放在一起零件來自甲工廠”，事件“混合放在一起零件來自乙工廠”，事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，則，，，解得，即.（2）解：由（1）知所以，隨機(jī)變量的可能取值為，且，可得，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：01234所以期望為.2．（23-24高二下·廣東佛山·期末）某工廠制造甲、乙、丙三件產(chǎn)品，制造過程必須先后經(jīng)過兩道工序.當(dāng)?shù)谝坏拦ば蛲瓿刹⒑细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二道工序，兩道工序過程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次為，，經(jīng)過第二道工序后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，.(1)求第一道工序完成后至少有一件產(chǎn)品合格的概率；(2)若前后兩道工序均合格的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品，記合格產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用對(duì)立事件求概率即可；（2）由已知確定隨機(jī)變量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望.【詳解】（1）分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件，，，則，，，設(shè)E表示第一次燒制后至少有一件合格，，所以即第一次燒制后至少有一件產(chǎn)品合格的概率為.（2）設(shè)甲、乙、丙經(jīng)第二次燒制后合格為事件，分別記甲、乙、丙經(jīng)過兩次燒制后合格為事件，則，，，，，所以，，，．所以的分布列如下：0123P于是期望3．（23-24高二下·天津西青·期末）歷史悠久的楊柳青年畫，全稱“楊柳青木版年畫”，屬木版印繪制品，是我國(guó)著名民間傳統(tǒng)木版年畫．它起源于明代崇禎年間，距今已有近400年的歷史，是首批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．楊柳青年畫制作特別之處是它采用“印畫結(jié)合”的獨(dú)特工藝，制作程序大致是：創(chuàng)稿、分版、刻版、套印、彩繪、裝裱，前期工序與其他木彼年畫大致相同，而楊柳青年畫的后期制作藝術(shù)風(fēng)格迥然不同．一個(gè)優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技術(shù)要求，已知某年工藝畫師在后期套印、彩繪、裝裱每個(gè)環(huán)節(jié)制作成功的概率分別為，只有當(dāng)每個(gè)環(huán)節(jié)制作都成功才認(rèn)為是一次優(yōu)秀制作．(1)設(shè)事件“制作一件優(yōu)秀作品”，求事件A的概率；(2)若該工藝畫師進(jìn)行3次制作，事件”恰有一件優(yōu)秀作品”，求事件B的概率；(3)若該工藝畫師制作3次，其中優(yōu)秀作品數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)(3)分布列見解析；期望為【分析】（1）運(yùn)用獨(dú)立事件概率乘法公式求解即可；（2）運(yùn)用二項(xiàng)分布概率公式求解即可；（3）運(yùn)用二項(xiàng)分布概率公式求解概率分布列，進(jìn)而求出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由題意得；（2）該工藝畫師進(jìn)行3次制作，恰有一件優(yōu)秀作品為事件B；（3）隨機(jī)變量X的取值為由題意可知：隨機(jī)變量X的分布列為X0123P或者．4．（23-24高二下·浙江寧波·期末）4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)該地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的上四分位數(shù)；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，二組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了20個(gè)學(xué)生，得到均值為8，方差為3.75，現(xiàn)在已知這一組學(xué)生的均值為5，方差為2；求這一組學(xué)生的均值和方差；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中.當(dāng)最大時(shí)，寫出的值，并說明理由.【答案】(1)11.5(2)平均值為9，方差為(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中概率之和等于1，得出再計(jì)算高一學(xué)生閱讀時(shí)間的上四分位數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣抽取人數(shù)，利用平均數(shù)和方差公式解出結(jié)果；（3）以樣本的頻率估計(jì)概率，該問題是二項(xiàng)分布問題，根據(jù)最大不等式節(jié)出的值；【詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，解得頻率分布直方圖中，第一個(gè)小長(zhǎng)方形面積為第二個(gè)小長(zhǎng)方形面積為第三、四個(gè)小長(zhǎng)方形面積為第五個(gè)小長(zhǎng)方形面積為第六個(gè)小長(zhǎng)方形面積為前六個(gè)長(zhǎng)方形面積和為0.8，所以高一學(xué)生閱讀時(shí)間的上四分位數(shù)在第六個(gè)小長(zhǎng)方形內(nèi)，設(shè)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的上四分位數(shù)為；，解得（2）按分層抽樣二組內(nèi)的學(xué)生抽取的學(xué)生分別為5人，15人設(shè)這一組的平均值，方差所以總體方差是，解得（3）以樣本的頻率估計(jì)概率，該問題是二項(xiàng)分布問題，由頻率分布直方圖可知內(nèi)的概率是，由得解得所以當(dāng)最大時(shí)，5．（23-24高二下·西藏拉薩·期末）在第九個(gè)全民國(guó)家安全教育日即將來臨之際，拉薩市人民檢察院于12日會(huì)同拉薩市委宣傳部、拉薩市普法辦、拉薩市教育局等部門，共同舉辦了以“檢愛同行，共護(hù)花開”為主題的首屆拉薩市青少年國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽.每人可參加多輪答題活動(dòng)，每輪答題情況互不影響.每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對(duì)，方可進(jìn)行第二組答題，否則本輪答題結(jié)束.已知吳科同學(xué)第一組每道題答對(duì)的概率均為，第二組每道題答對(duì)的概率均為，兩組題至少答對(duì)3題才可獲得一枚紀(jì)念章.經(jīng)過激烈的角逐，拉薩江蘇實(shí)驗(yàn)中學(xué)代表隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)，拉薩市第三高級(jí)中學(xué)、拉薩市北京中學(xué)代表隊(duì)獲得二等獎(jiǎng)，拉薩市第二高級(jí)中學(xué)、拉薩市第二中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校、拉薩市第四高級(jí)中學(xué)代表隊(duì)獲得三等獎(jiǎng).(1)記吳科同學(xué)在一輪比賽答對(duì)的題目數(shù)為，請(qǐng)寫出的分布列，并求；(2)若吳科同學(xué)進(jìn)行了10輪答題，試問獲得多少枚紀(jì)念章的概率最大.【答案】(1)分布列見解析，(2)2枚【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式求出各種情況概率，列出的分布列，并求；（2）運(yùn)用二項(xiàng)分布的概率公式，假設(shè)最大，則，解不等式組即可.【詳解】（1）由題意得，可取0，1，2，3，4.，，，，…，則的分布列為：01234（2）每一輪獲得紀(jì)念章的概率為，每一輪相互獨(dú)立，則每一輪比賽可視為二項(xiàng)分布，設(shè)10輪答題獲得紀(jì)念章的數(shù)量為，則，，.由，得，解得，又，得，則獲得2枚紀(jì)念章的概率最大.【題型六】超幾何分布一、解答題1．（23-24高二下·重慶長(zhǎng)壽·期末）已知6名學(xué)生中，有4名男生，2名女生.現(xiàn)從這6名學(xué)生中任意抽取3名學(xué)生去參加一個(gè)趣味活動(dòng).(1)求抽出的3名學(xué)生中恰好有一名是女生的概率；(2)求抽出的3名學(xué)生中女生人數(shù)的分布列.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）轉(zhuǎn)化為求抽到1名女生，2名男生的概率；（2）首先確定，再根據(jù)隨機(jī)變量的意義，求概率，再列出分布列.【詳解】（1）抽出的3名學(xué)生中恰好有一名是女生的概率，即抽出的3名學(xué)生是2名男生和1名女生的概率為：；（2）設(shè)抽出的3名學(xué)生中女生人數(shù)為，則可能取值為0，1，2.

的分布列如下0122．（23-24高二下·北京懷柔·期末）某學(xué)校對(duì)食堂飯菜質(zhì)量進(jìn)行滿意度調(diào)查，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，獲取數(shù)據(jù)如下：滿意度性別滿意不滿意棄權(quán)男生803010女生502010(1)用頻率估計(jì)概率，該校學(xué)生對(duì)食堂飯菜質(zhì)量滿意的概率；(2)用分層抽樣的方法從上表中不滿意的50人中抽取5人征求整改建議，再從這5個(gè)人中隨機(jī)抽取2人參與食堂的整改監(jiān)督，則抽取的2人中女生的人數(shù)X，求X的分布列和期望．【答案】(1).(2)分布列見解析；期望為.【分析】（1）根據(jù)已知，計(jì)算該校學(xué)生對(duì)食堂飯菜質(zhì)量滿意的的頻率即可.（2）根據(jù)已知，利用超幾何分布計(jì)算公式、期望的計(jì)算公式求解.【詳解】（1）設(shè)“對(duì)食堂飯菜質(zhì)量滿意”為事件A．在200人中對(duì)飯菜質(zhì)量滿意的有130人，.（2）分層抽取比例男生抽取人，女生抽取人抽取的2人中女生人數(shù)X的所有可能為0，1，2

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-X012P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.3．（23-24高二下·重慶·期末）喝酒不開車，開車不喝酒．根據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定：血液酒精濃度在（含80）以上認(rèn)定為醉酒駕車．某地統(tǒng)計(jì)近年來查處的醉酒駕車共200人，這200人血液酒精濃度檢測(cè)結(jié)果按，，??，分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這200人血液酒精濃度的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）；(2)求這200人中血液酒精濃度在的人數(shù)；(3)按比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，在酒精濃度為和人員中隨機(jī)抽取16人集中學(xué)習(xí)．現(xiàn)從這16人中抽取4人檢查學(xué)習(xí)效果，求抽到的人員恰有3人酒精濃度為的概率．【答案】(1)116mg/100mL(2)50人(3)【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出數(shù)據(jù)的平均值即可;（2）根據(jù)頻率=,計(jì)算所求的頻數(shù)即可;（3）借助組合數(shù)公式和古典概型的計(jì)算公式求解.【詳解】（1）設(shè)第一組縱坐標(biāo)為a，則，則，這200人血液酒精濃度的平均值約為.（2）這200人中血液酒精濃度在的人數(shù)為人.（3）在酒精濃度為和人員中分別有人，人.設(shè)從這16人中抽取4人檢查學(xué)習(xí)效果，抽到的人員恰有3人酒精濃度為為事件A，.4．（23-24高二下·上海松江·期末）某超市為促進(jìn)消費(fèi)推出優(yōu)惠活動(dòng)，為預(yù)估活動(dòng)期間客戶投入的消費(fèi)金額，采用隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了200名客戶的消費(fèi)金額，分組如下：（單位：元），得到如圖所示頻率分布直方圖：活躍客戶非活躍客戶總計(jì)男20女60總計(jì)(1)若把消費(fèi)金額不低于800元的客戶，稱為“活躍客戶”，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，求列聯(lián)表中的值，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“活躍客戶”與性別有關(guān)？(2)為感謝客戶，該超市推出免單福利，方案如下：從“活躍客戶”中按分層抽樣的方法抽取12人，從中抽取2人進(jìn)行免單，試寫出免單總單金額的分布列及其期望．（每一組消費(fèi)金額按該組中點(diǎn)值估計(jì)，期望結(jié)果保留至整數(shù)）附：0.1500.1000.0500.0100.005k2.0722.7063.8416.6357.879【答案】(1)40；80；有關(guān)(2)分布列見解析，1933【分析】（1）先完善列聯(lián)表，再求卡方,即可作出判斷；（2）先用分層抽樣，然后用超幾何分布的概率公式計(jì)算，即可得分布列與期望.【詳解】（1）消費(fèi)金額不低于800元的人數(shù)為：人，則活躍客戶共有60人，所以，，列聯(lián)表如下活躍客戶非活躍客戶總計(jì)男2080100女4060100總計(jì)60140200計(jì)算，因此有的把握與性別有關(guān)．（2）從“活躍客戶”中用分層抽樣，抽出消費(fèi)900元：人，消費(fèi)1100元：人，從中抽取2人免單總金額的取值有：，則，，，所以的分布列為：即.5．（23-24高二下·北京房山·期末）人工智能（簡(jiǎn)稱）的相關(guān)技術(shù)首先在互聯(lián)網(wǎng)開始應(yīng)用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的軟件主要有四項(xiàng)功能：“視頻創(chuàng)作”、“圖像修復(fù)”、“語言翻譯”、“智繪設(shè)計(jì)”.為了解某地區(qū)大學(xué)生對(duì)這款軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的軟件功能（每人只能選一項(xiàng)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復(fù)語言翻譯智繪設(shè)計(jì)大學(xué)生人數(shù)假設(shè)大學(xué)生對(duì)軟件的喜愛傾向互不影響.(1)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，試估計(jì)此人最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從名大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，的方差記作，（2）中的方差記作，比較與的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）有古典概型計(jì)算可得結(jié)果；（2）利用抽樣比可確定6人中有2人最喜歡“視頻創(chuàng)作”，求得的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)概率可得分布列和期望值（或利用超幾何分布計(jì)算可得結(jié)果）；（3）由（2）可得，由頻率估計(jì)概率可