專題05解三角形范圍與最值問題【考點(diǎn)預(yù)測】1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；（4）根據(jù)三角形解的個數(shù)求范圍或最值；（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過大．2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：（1）求角的最值；（2）求邊和周長的最值及范圍；（3）求面積的最值和范圍．【典型例題】例1．在中，角所對的邊分別為，且的面積.若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由余弦定理，即，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以.故選：D例2．在銳角中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】在中，，所以，又，整理得：，又，得到，因?yàn)榻茿、B、C為銳角，故、、均為正數(shù)，故整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，當(dāng)取最小值時，取最大值，取最小值，故的最大值為，即當(dāng)時，的最大值為．故選：C．例3．在中，若，，則的周長的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，兩邊同乘得，兩邊同加得，即，又，則，設(shè)角對應(yīng)的邊分別為，由正弦定理得其中，不妨設(shè)，易得當(dāng)時，取得最大值，此時周長最大值為.故選：A.例4．已知銳角中，，，則的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理得即，所以，即，又是銳角三角形，所以，即，所以，所以，故選：D.例5．在中，角所對的邊分別為，若，則角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，整理可得：，由余弦定理可得：，由為三角形?nèi)角，即，可得：.故選：C．例6．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，故三角形外接圓直徑為，故，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故，故，故，故，故，故選：D例7．（多選）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，且，延長至.則下面結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若，則周長的最大值為D．若，則面積的最大值為【答案】ACD【解析】，，解得：，由得：，，，解得：（舍）或，，，A正確；，，，即，為等邊三角形，，B錯誤；，，在中，由余弦定理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），解得：，周長的最大值為，C正確；設(shè)，則，，則當(dāng)時，取得最大值，D正確.故選：ACD.例8．（多選）在中，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，，則（

）A． B．向量，夾角的最小值為C．內(nèi)角A的最大值為 D．面積的最小值為【答案】AC【解析】，，故A對；，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，，，即，故B錯，C對；，故D錯.故選：AC例9．在銳角三角形中，內(nèi)角所對的邊滿足，若存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，則，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，則，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)榇嬖谧畲笾?，則，解得．故答案為：．例10．在中，、、三個內(nèi)角所對的邊依次為、、，且，若，則的面積的最大值為___________【答案】【解析】由余弦定理，，∵，∴.由余弦定理及基本不等式，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積的最大值為.故答案為：.例11．如圖，在中，，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足，的面積為，(1)求的值；(2)求的最小值.【解析】（1）在中，D為中點(diǎn)，則三點(diǎn)共線，設(shè),故，又，故，解得，即.（2）由（1）知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，則,即，故，即的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.例12．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)若，求的值；(2)求的最小值．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，則；（2）由，得，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，取等號，，，令，則，則，因?yàn)椋?，所以的最小值為．?3．已知向量，函數(shù).(1)求函數(shù)的最大值及相應(yīng)自變量的取值；(2)在中，角的對邊分別為，若，求的取值范圍.【解析】（1）由題知，，所以當(dāng)，即時，最大，且最大值為；（2）由(1)知，，則，解得或，所以中，，又，則，整理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，整理可得，又在中，所以，即的取值范圍為.例14．在銳角中，分別是角所對的邊，，且.(1)求；(2)若周長的范圍【解析】（1）由得：，由正弦定理知：，又，，，又，，，，，，則，，解得：.（2）由正弦定理得：，，，；為銳角三角形，，解得：，，，，即周長的取值范圍為.【過關(guān)測試】一、單選題1．在中，為銳角，，且對于，的最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，?dāng)時，取最小值，則，所以，又為銳角，故，因?yàn)?，所以，所以，得，所以．故選：D2．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．若D是BC邊的中點(diǎn)，且，則面積的最大值為（

）A．16 B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，，因?yàn)?，所?因?yàn)槭沁匓C的中點(diǎn)，所以，.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以，即面積最大為．故選：B3．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理得：由余弦定理得：，即當(dāng)且僅當(dāng)時，即，，時取等號，,則，所以面積的最大值.故選：B4．已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若且，則的周長的最大值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A【解析】由已知及正弦定理得，∴，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，從而，由余弦定理得，即，又，∴，即，∴，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，從而，∴的周長的最大值為15.故選：A.5．已知中，a、b、c為角A、B、C的對邊，，若與的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)I，的外接圓半徑為，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，由正弦定理得：∵，∴，∵，∴，為直角三角形且外接圓半徑為，∴，∴，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則．其中，因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：A6．已知銳角中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，若存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，則，，所以，，又因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因?yàn)?，則，因?yàn)榇嬖谧畲笾?，則，解得.故選：C.7．已知在中，，則的大小隨三角形形狀而變化時（

）A．有最大值，無最小值 B．無最大值，有最小值C．既有最大值，又有最小值 D．既無最大值，也無最小值【答案】A【解析】由正弦定理可得，所以，又，，，，所以，又，所以，即有最大值，無最小值.故選：A.8．在中，A，B，C分別為三邊a，b，c所對的角，若，且，則的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】得，又，所以.在中，由正弦定理得：所以，所以.故當(dāng)，即時，取得最大值故選：D二、多選題9．在中，記角所對的邊分別為，若，則（

）A．B．C．內(nèi)角的最大值為D．面積的最小值為【答案】BC【解析】，故A選項(xiàng)錯誤；因?yàn)?，所以，故B選項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，所以，故C選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，故D選項(xiàng)錯誤.故選：BC.10．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則有兩解B．若，則無解C．若為銳角三角形，且，則D．若，則的最大值為【答案】ACD【解析】對于A，因?yàn)?，所以，則有兩解，A正確．對于B，因?yàn)椋杂星覂H有一解，B錯誤．對于C，由得，則，因?yàn)?，所以，C正確．對于D．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，則，由，得，所以當(dāng)，即時，取得最大值，D正確．故選：ACD11．在中，所對的邊為，，邊上的高為，則下列說法中正確的是（

）A． B． C．的最小值為 D．的最大值為【答案】ABD【解析】設(shè)邊上的高為，則，，，即，A正確；由余弦定理得：，又，，，B正確；，，，，；，，，，C錯誤，D正確.故選：ABD.12．已知的斜邊長為2．則下列關(guān)于的說法中，錯誤的是（

）A．周長的最大值為 B．周長的最小值為C．面積的最大值為2 D．面積的最小值為1【答案】BCD【解析】由題知，設(shè)斜邊為，則，．先研究面積：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以面積的最大值是1．C、D選項(xiàng)都是錯誤的；再研究周長：，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最大值為，周長的最大值為，故B選項(xiàng)錯誤.綜上，選BCD．故選：BCD三、填空題13．在中，，D為BC的中點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】【解析】設(shè)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，由三角形三邊關(guān)系，可知且，解得，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因?yàn)?，所?所以，解得，則，，令，則，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，解得，因?yàn)椋裕驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)取得最小值時，取得最大值，此時，則，所以的最大值為.故答案為：.14．平面四邊形ABCD中，，，則邊AB長度的取值范圍是________．【答案】【解析】如圖所示，因?yàn)?，所以，?dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時，，由正弦定理可得，而，所以，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時，，由正弦定理可得，所以因?yàn)锳BCD平面四邊形，所以，故答案為：15．已知在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，滿足，且，則周長的取值范圍為______________．【答案】【解析】在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，從而，而，則，所以周長的取值范圍為.故答案為：四、解答題16．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.(1)求；(2)若，求的取值范圍；(3)若為的外接圓，若、分別切于點(diǎn)、，求的最小值.【解析】（1）已知，由正弦定理，得，又，所以，即，可得或，因?yàn)椋?，所以，則，即.（2）由（1）可知為直角三角形，若，則，所以，即，則，在中，，，，所以，令，又因?yàn)?，所以，所以，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為.（3）的外接圓的半徑，設(shè)，則，，所以，而，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.17．在中，角，，的對邊分別是，，，滿足(1)求角；(2)若角的平分線交于點(diǎn)，且，求的最小值.【解析】（1）由可得：，由余弦定理知，，又因此.（2）在中，由，得，在中，由，可得，所以；在中，由，得，解得，，所以，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此的最小值為.18．已知中，a，b，c是角A，B，C所對的邊，，且.(1)求角B；(2)若，在的邊AB，AC上分別取D，E兩點(diǎn)，使沿線段DE折疊到平面BCE后，頂點(diǎn)A正好落在邊BC（設(shè)為點(diǎn)P）上，求AD的最小值.【解析】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ磉吔腔セ?，因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，?（2）因?yàn)?，所以為等邊三角形，即，設(shè)，則，所以在中，由余弦定理得，整理得，設(shè)，所以，由于，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，所以AD的最小值為．19．在中，，，分別是角所對的邊，．(1)求；(2)若，，求的最小值．【解析】（1）由已知及正弦定理得，所以，又因?yàn)椋?，即；?）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值是．20．如圖，在中，已知邊上的中點(diǎn)為，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），相交于點(diǎn).(1)求；(2)當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，求：的余弦值；(3)求：的最小值；當(dāng)取得最小值時設(shè)，求的值.【解析】（1），由余弦定理知：，.（2）設(shè)，分別為的中點(diǎn)，，，，又..（3）設(shè)，當(dāng)即時，取最小值，，，，三點(diǎn)共線，，.21．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且__________．在①；②；③.這三個條件中任選一個填在橫線上，補(bǔ)充完整上面的問題，并進(jìn)行解答．(1)求角B的大?。?2)若角B的內(nèi)角平分線交AC于D，且，求的最小值．【解析】（1）若選條件①，由得：，，即，則，又，.若選條件②，由得：，，則，又，.若選條件③，，則，由正弦定理得