一、課程導(dǎo)入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問(wèn)題的自然銜接演講人CONTENTS課程導(dǎo)入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問(wèn)題的自然銜接概念建構(gòu)：從幾何定義到坐標(biāo)表達(dá)的邏輯遞進(jìn)求各邊中點(diǎn)坐標(biāo)深度理解：從數(shù)學(xué)公式到物理意義的跨學(xué)科聯(lián)結(jié)應(yīng)用實(shí)踐：從基礎(chǔ)計(jì)算到綜合問(wèn)題的能力提升總結(jié)升華：從知識(shí)掌握到學(xué)科素養(yǎng)的深化目錄2025七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)平面直角坐標(biāo)系中三角形重心坐標(biāo)課件01課程導(dǎo)入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問(wèn)題的自然銜接課程導(dǎo)入：從生活現(xiàn)象到數(shù)學(xué)問(wèn)題的自然銜接各位同學(xué)，當(dāng)我們用一根手指頂起一塊三角形木板時(shí)，總能找到一個(gè)神奇的點(diǎn)——無(wú)論木板如何旋轉(zhuǎn)，只要指尖對(duì)準(zhǔn)這個(gè)點(diǎn)，木板就能保持平衡。這個(gè)點(diǎn)就是三角形的“重心”。今天，我們將在平面直角坐標(biāo)系中，用數(shù)學(xué)的方法精確刻畫(huà)這個(gè)“平衡點(diǎn)”，探索它的坐標(biāo)規(guī)律?；仡櫳弦徽拢覀円呀?jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系的基本概念：橫軸（x軸）與縱軸（y軸）將平面分成四個(gè)象限，任意一點(diǎn)P的位置可以用有序數(shù)對(duì)（x,y）唯一表示；兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式（若A(x?,y?)、B(x?,y?)，則中點(diǎn)M坐標(biāo)為$(\frac{x?+x?}{2},\frac{y?+y?}{2})$）等工具，已成為我們分析幾何問(wèn)題的“數(shù)學(xué)地圖”。今天的學(xué)習(xí)，正是這些知識(shí)的綜合應(yīng)用。02概念建構(gòu)：從幾何定義到坐標(biāo)表達(dá)的邏輯遞進(jìn)1重心的幾何定義：三條中線的交點(diǎn)要研究重心的坐標(biāo)，首先需明確其幾何本質(zhì)。三角形的“中線”是指連接一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段。例如，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，則線段AD就是△ABC的一條中線。類似地，可作出BE（E為AC中點(diǎn)）、CF（F為AB中點(diǎn)）兩條中線。觀察實(shí)驗(yàn)：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上任意畫(huà)一個(gè)△ABC，作出三條中線。你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象——三條中線并非“各自為戰(zhàn)”，而是相交于同一點(diǎn)！這個(gè)三條中線的公共交點(diǎn)，就是三角形的重心，記作G。數(shù)學(xué)驗(yàn)證：為了確認(rèn)這一現(xiàn)象并非偶然，我們可以用坐標(biāo)法進(jìn)行驗(yàn)證。假設(shè)△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(x?,y?)、B(x?,y?)、C(x?,y?)，則BC邊中點(diǎn)D的坐標(biāo)為$(\frac{x?+x?}{2},\frac{y?+y?}{2})$，AC邊中點(diǎn)E的坐標(biāo)為$(\frac{x?+x?}{2},\frac{y?+y?}{2})$。接下來(lái)，我們分別求出中線AD和中線BE的方程，驗(yàn)證它們的交點(diǎn)是否也在第三條中線CF上。2重心坐標(biāo)公式的推導(dǎo)：從特殊到一般的歸納為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們先選取一個(gè)具體的三角形進(jìn)行研究。例如，設(shè)△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)、B(2,0)、C(0,2)（這是一個(gè)直角邊為2的等腰直角三角形）。03求各邊中點(diǎn)坐標(biāo)求各邊中點(diǎn)坐標(biāo)BC邊中點(diǎn)D的坐標(biāo)：$(\frac{2+0}{2},\frac{0+2}{2})=(1,1)$；AC邊中點(diǎn)E的坐標(biāo)：$(\frac{0+0}{2},\frac{0+2}{2})=(0,1)$；AB邊中點(diǎn)F的坐標(biāo)：$(\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2})=(1,0)$。步驟2：求中線方程中線AD是從A(0,0)到D(1,1)的直線，其斜率為$\frac{1-0}{1-0}=1$，方程為$y=x$；求各邊中點(diǎn)坐標(biāo)中線BE是從B(2,0)到E(0,1)的直線，其斜率為$\frac{1-0}{0-2}=-\frac{1}{2}$，方程為$y=-\frac{1}{2}(x-2)$，即$y=-\frac{1}{2}x+1$。步驟3：求中線交點(diǎn)聯(lián)立AD和BE的方程：$\begin{cases}y=x\y=-\frac{1}{2}x+1\end{cases}$解得$x=\frac{2}{3}$，$y=\frac{2}{3}$，即交點(diǎn)G$(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$。求各邊中點(diǎn)坐標(biāo)步驟4：驗(yàn)證交點(diǎn)在第三條中線上中線CF是從C(0,2)到F(1,0)的直線，斜率為$\frac{0-2}{1-0}=-2$，方程為$y=-2x+2$。將G點(diǎn)坐標(biāo)代入，左邊$y=\frac{2}{3}$，右邊$-2×\frac{2}{3}+2=-\frac{4}{3}+\frac{6}{3}=\frac{2}{3}$，等式成立，說(shuō)明G在CF上。歸納一般規(guī)律：觀察上述特例中G點(diǎn)的坐標(biāo)$(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$，而三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù)為$(\frac{0+2+0}{3},\frac{0+0+2}{3})=(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$，恰好與G點(diǎn)坐標(biāo)一致。這是否是普遍規(guī)律？我們?cè)龠x取另一個(gè)三角形驗(yàn)證：設(shè)A(1,3)、B(4,1)、C(2,5)。求各邊中點(diǎn)坐標(biāo)各邊中點(diǎn)：D$(\frac{4+2}{2},\frac{1+5}{2})=(3,3)$，E$(\frac{1+2}{2},\frac{3+5}{2})=(1.5,4)$，F(xiàn)$(\frac{1+4}{2},\frac{3+1}{2})=(2.5,2)$。中線AD的方程：從A(1,3)到D(3,3)，是水平線$y=3$；中線BE的方程：從B(4,1)到E(1.5,4)，斜率為$\frac{4-1}{1.5-4}=\frac{3}{-2.5}=-\frac{6}{5}$，方程為$y-1=-\frac{6}{5}(x-4)$，即$y=-\frac{6}{5}x+\frac{24}{5}+1=-\frac{6}{5}x+\frac{29}{5}$；求各邊中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)立$y=3$和$y=-\frac{6}{5}x+\frac{29}{5}$，解得$3=-\frac{6}{5}x+\frac{29}{5}$，即$\frac{15}{5}-\frac{29}{5}=-\frac{6}{5}x$，$\frac{-14}{5}=-\frac{6}{5}x$，$x=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$，所以G點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{7}{3},3)$。三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù)為$(\frac{1+4+2}{3},\frac{3+1+5}{3})=(\frac{7}{3},3)$，與G點(diǎn)坐標(biāo)完全一致！結(jié)論推導(dǎo)：設(shè)△ABC的頂點(diǎn)為A(x?,y?)、B(x?,y?)、C(x?,y?)，BC邊中點(diǎn)D的坐標(biāo)為$(\frac{x?+x?}{2},\frac{y?+y?}{2})$。求各邊中點(diǎn)坐標(biāo)中線AD的參數(shù)方程可表示為從A到D的直線，任意一點(diǎn)可表示為A+t(D-A)，即$(x?+t(\frac{x?+x?}{2}-x?),y?+t(\frac{y?+y?}{2}-y?))$，其中t∈[0,1]。當(dāng)t=2/3時(shí)，坐標(biāo)為$(x?+\frac{2}{3}(\frac{x?+x?-2x?}{2}),y?+\frac{2}{3}(\frac{y?+y?-2y?}{2}))=(\frac{x?+x?+x?}{3},\frac{y?+y?+y?}{3})$。這說(shuō)明重心G的坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即：三角形重心坐標(biāo)公式：若△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(x?,y?)、B(x?,y?)、C(x?,y?)，則其重心G的坐標(biāo)為：$$G\left(\frac{x?+x?+x?}{3},\frac{y?+y?+y?}{3}\right)$$04深度理解：從數(shù)學(xué)公式到物理意義的跨學(xué)科聯(lián)結(jié)深度理解：從數(shù)學(xué)公式到物理意義的跨學(xué)科聯(lián)結(jié)3.1公式的幾何本質(zhì)：分中線為2:1的比例在之前的特例中，我們發(fā)現(xiàn)重心G在中線AD上的位置是從頂點(diǎn)A出發(fā)，向中點(diǎn)D移動(dòng)2/3的長(zhǎng)度。例如，在第一個(gè)例子中，AD的長(zhǎng)度為$\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$，G到A的距離為$\sqrt{(\frac{2}{3}-0)^2+(\frac{2}{3}-0)^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，恰好是AD長(zhǎng)度的2/3；G到D的距離為$\sqrt{(1-\frac{2}{3})^2+(1-\frac{2}{3})^2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，即AG:GD=2:1。這一比例關(guān)系是重心的重要性質(zhì)，可通過(guò)向量或坐標(biāo)法嚴(yán)格證明。深度理解：從數(shù)學(xué)公式到物理意義的跨學(xué)科聯(lián)結(jié)證明：設(shè)G是△ABC的重心，D是BC中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}-\overrightarrow{OA}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。由于G在AD上，可設(shè)$\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}+k(\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}-\overrightarrow{OA})=(1-k)\overrightarrow{OA}+\frac{k}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{k}{2}\overrightarrow{OC}$。深度理解：從數(shù)學(xué)公式到物理意義的跨學(xué)科聯(lián)結(jié)又因?yàn)镚也是BE的中點(diǎn)（同理可證），通過(guò)對(duì)稱性可知k=2/3，因此$\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}$，即坐標(biāo)為三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù)，且AG:GD=2:1。2物理視角的解釋：質(zhì)量分布的平衡點(diǎn)從物理學(xué)的“質(zhì)心”概念出發(fā)，若在三角形的三個(gè)頂點(diǎn)各放置一個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)，則整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)即為$(\frac{mx?+mx?+mx?}{3m},\frac{my?+my?+my?}{3m})=(\frac{x?+x?+x?}{3},\frac{y?+y?+y?}{3})$，與重心坐標(biāo)完全一致。這解釋了為什么用指尖頂起三角形木板時(shí)，重心是平衡點(diǎn)——它是質(zhì)量分布的中心，重力的合力作用線通過(guò)該點(diǎn)。05應(yīng)用實(shí)踐：從基礎(chǔ)計(jì)算到綜合問(wèn)題的能力提升1基礎(chǔ)應(yīng)用：已知頂點(diǎn)坐標(biāo)求重心例1：已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-1,2)、B(3,-4)、C(2,5)，求重心G的坐標(biāo)。解：直接代入公式，G的x坐標(biāo)為$\frac{-1+3+2}{3}=\frac{4}{3}$，y坐標(biāo)為$\frac{2+(-4)+5}{3}=\frac{3}{3}=1$，因此G$(\frac{4}{3},1)$。2逆向應(yīng)用：已知重心和部分頂點(diǎn)求未知頂點(diǎn)例2：△ABC的重心G(2,3)，頂點(diǎn)A(1,1)、B(4,5)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)。$\frac{1+5+y}{3}=3$，解得y=9-6=3；解：設(shè)C(x,y)，根據(jù)重心公式有：$\frac{1+4+x}{3}=2$，解得x=6-5=1；因此C(1,3)。01020304053綜合應(yīng)用：結(jié)合圖形性質(zhì)的問(wèn)題例3：在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A(0,0)、B(4,0)、C(0,6)，D、E、F分別是BC、AC、AB的中點(diǎn)，連接AD、BE、CF交于重心G。（1）求G的坐標(biāo)；（2）求△GBC的面積與△ABC的面積之比。解：（1）G的坐標(biāo)為$(\frac{0+4+0}{3},\frac{0+0+6}{3})=(\frac{4}{3},2)$；3綜合應(yīng)用：結(jié)合圖形性質(zhì)的問(wèn)題（2）△ABC的面積為$\frac{1}{2}×4×6=12$；△GBC的三個(gè)頂點(diǎn)為B(4,0)、C(0,6)、G$(\frac{4}{3},2)$，可用坐標(biāo)法求面積：面積$=\frac{1}{2}|(4×(6-2)+0×(2-0)+\frac{4}{3}×(0-6))|=\frac{1}{2}|4×4+0+\frac{4}{3}×(-6)|=\frac{1}{2}|16-8|=4$；因此面積比為4:12=1:3。規(guī)律發(fā)現(xiàn)：重心將三角形分成的三個(gè)小三角形（如△GAB、△GBC、△GCA）面積相等，均為原三角形面積的1/3。06總結(jié)升華：從知識(shí)掌握到學(xué)科素養(yǎng)的深化1核心知識(shí)回顧定義：三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)；坐標(biāo)公式：若頂點(diǎn)為(x?,y?)、(x?,y?)、(x?,y?)，則重心坐標(biāo)為$(\frac{x?+x?+x?}{3},\frac{y?+y?+y?}{3})$；性質(zhì)：重心分中線為2:1的比例，且與三個(gè)頂點(diǎn)形成的三個(gè)小三角形面積相等。2學(xué)科價(jià)值與生活聯(lián)結(jié)今天的學(xué)習(xí)，我們通過(guò)坐標(biāo)