一、知識(shí)溯源：從點(diǎn)的坐標(biāo)到圖形的頂點(diǎn)演講人知識(shí)溯源：從點(diǎn)的坐標(biāo)到圖形的頂點(diǎn)01拓展應(yīng)用：從單一圖形到組合圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定02方法建構(gòu)：不同場(chǎng)景下頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定策略03總結(jié)與升華：從“確定坐標(biāo)”到“用坐標(biāo)描述世界”04目錄2025七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)坐標(biāo)系中圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)確定課件各位老師、同學(xué)們：大家好！今天我們共同探討的主題是“坐標(biāo)系中圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定”。作為平面直角坐標(biāo)系單元的核心內(nèi)容之一，這部分知識(shí)既是對(duì)坐標(biāo)基本概念的深化應(yīng)用，也是后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)圖像、幾何變換的重要基礎(chǔ)。結(jié)合七年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，我將從“知識(shí)溯源—方法建構(gòu)—拓展應(yīng)用”三個(gè)維度展開，帶領(lǐng)大家逐步揭開“圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)確定”的邏輯脈絡(luò)。01知識(shí)溯源：從點(diǎn)的坐標(biāo)到圖形的頂點(diǎn)1平面直角坐標(biāo)系的核心概念回顧要確定圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo)，首先需要回到平面直角坐標(biāo)系的基本定義。還記得我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容嗎？平面直角坐標(biāo)系由兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成，水平的數(shù)軸稱為x軸（橫軸），向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸（縱軸），向上為正方向。兩軸交點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，將平面分為四個(gè)象限。關(guān)鍵點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)記作（x，y），其中x是點(diǎn)P在x軸上的垂足坐標(biāo)（橫坐標(biāo)），y是點(diǎn)P在y軸上的垂足坐標(biāo)（縱坐標(biāo)）；坐標(biāo)書寫順序不可顛倒，橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后；坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限，x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0（形如（a，0）），y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0（形如（0，b））。2圖形頂點(diǎn)與坐標(biāo)的內(nèi)在聯(lián)系當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中繪制一個(gè)幾何圖形（如三角形、四邊形、多邊形）時(shí)，圖形的“頂點(diǎn)”本質(zhì)上是坐標(biāo)系中的“特殊點(diǎn)”——它們是圖形邊界的交點(diǎn)，也是決定圖形形狀和位置的關(guān)鍵要素。例如，一個(gè)三角形由三個(gè)頂點(diǎn)唯一確定，四邊形由四個(gè)頂點(diǎn)唯一確定。因此，確定圖形頂點(diǎn)的坐標(biāo)，等同于用數(shù)對(duì)精確描述圖形的位置和形狀。課堂小活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上畫出平面直角坐標(biāo)系，任意標(biāo)注三個(gè)點(diǎn)A（2，3）、B（-1，1）、C（0，-2），并連接成三角形ABC。觀察這三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，思考：如果改變其中一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的形狀或位置會(huì)發(fā)生怎樣的變化？（通過動(dòng)手操作，學(xué)生能直觀感受頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)圖形的決定性作用。）02方法建構(gòu)：不同場(chǎng)景下頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定策略方法建構(gòu)：不同場(chǎng)景下頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定策略2.1基礎(chǔ)場(chǎng)景：已知圖形在坐標(biāo)系中的位置，直接讀取頂點(diǎn)坐標(biāo)這是最基本的情況，適用于圖形已明確繪制在坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)與網(wǎng)格線對(duì)齊的情形。此時(shí)只需根據(jù)頂點(diǎn)在x軸和y軸上的垂足位置，分別讀取橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)即可。操作步驟：確定頂點(diǎn)在x軸上的投影點(diǎn)，讀取該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x值（注意符號(hào)：右正左負(fù)）；確定頂點(diǎn)在y軸上的投影點(diǎn)，讀取該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值（注意符號(hào)：上正下負(fù)）；按（x，y）的格式寫出坐標(biāo)。典型例題：如圖1所示（課件展示坐標(biāo)系中繪制的矩形ABCD，其中A在第一象限，B在第二象限，C在第三象限，D在第四象限，各頂點(diǎn)均與網(wǎng)格線對(duì)齊），請(qǐng)分別寫出A、B、C、D的坐標(biāo)。方法建構(gòu)：不同場(chǎng)景下頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定策略易錯(cuò)提醒：部分同學(xué)容易混淆橫縱坐標(biāo)的順序，或忽略坐標(biāo)軸的負(fù)方向。例如，若頂點(diǎn)在x軸左側(cè)、y軸下方，其坐標(biāo)應(yīng)為（負(fù)，負(fù)），需特別注意符號(hào)。2平移變換場(chǎng)景：圖形平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定當(dāng)圖形沿水平或豎直方向平移時(shí)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)會(huì)按一定規(guī)律變化。平移是最常見的圖形變換之一，掌握其坐標(biāo)變化規(guī)律對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)至關(guān)重要。規(guī)律總結(jié)：若圖形向右平移a個(gè)單位（a>0），則每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加a，縱坐標(biāo)不變（即（x，y）→（x+a，y））；若圖形向左平移a個(gè)單位（a>0），則每個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少a，縱坐標(biāo)不變（即（x，y）→（x-a，y））；若圖形向上平移b個(gè)單位（b>0），則每個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)增加b，橫坐標(biāo)不變（即（x，y）→（x，y+b））；2平移變換場(chǎng)景：圖形平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定若圖形向下平移b個(gè)單位（b>0），則每個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)減少b，橫坐標(biāo)不變（即（x，y）→（x，y-b））。驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)：以之前繪制的三角形ABC（頂點(diǎn)A（2，3）、B（-1，1）、C（0，-2））為例，將其向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求新頂點(diǎn)A’、B’、C’的坐標(biāo)。通過計(jì)算（2+3，3+2）=（5，5）、（-1+3，1+2）=（2，3）、（0+3，-2+2）=（3，0），再在坐標(biāo)系中畫出新圖形，觀察是否與平移后的位置一致。（通過“計(jì)算—畫圖—驗(yàn)證”的閉環(huán)，加深對(duì)規(guī)律的理解。）2平移變換場(chǎng)景：圖形平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定2.3對(duì)稱變換場(chǎng)景：圖形關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)對(duì)稱的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定對(duì)稱變換包括關(guān)于x軸對(duì)稱、關(guān)于y軸對(duì)稱和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱三種情況，其坐標(biāo)變化規(guī)律與對(duì)稱的“對(duì)稱軸”或“對(duì)稱中心”直接相關(guān)。規(guī)律對(duì)比：|對(duì)稱類型|原坐標(biāo)（x，y）|對(duì)稱后坐標(biāo)|記憶口訣||----------------|----------------|------------------|------------------||關(guān)于x軸對(duì)稱|（x，y）|（x，-y）|橫軸不變縱相反||關(guān)于y軸對(duì)稱|（x，y）|（-x，y）|縱軸不變橫相反||關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱|（x，y）|（-x，-y）|橫縱都變反|2平移變換場(chǎng)景：圖形平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定深度辨析：為什么關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)縱坐標(biāo)取反？可以結(jié)合幾何意義理解：關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，到x軸的距離相等但方向相反，因此縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，橫坐標(biāo)相同。類似地，關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等但方向相反，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)則是關(guān)于x軸和y軸同時(shí)對(duì)稱的結(jié)果，因此橫縱坐標(biāo)均取反。課堂討論：若圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱（即交換橫縱坐標(biāo)），頂點(diǎn)坐標(biāo)會(huì)如何變化？（例如點(diǎn)（2，3）關(guān)于y=x對(duì)稱后的坐標(biāo)是（3，2）。這一問題可作為拓展，為高中學(xué)習(xí)反函數(shù)圖像做鋪墊。）2.4旋轉(zhuǎn)變換場(chǎng)景：圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定（選學(xué)內(nèi)容，供學(xué)有余力學(xué)生探2平移變換場(chǎng)景：圖形平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定究）旋轉(zhuǎn)是更復(fù)雜的變換，七年級(jí)階段主要涉及繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90、180的情況。通過分析旋轉(zhuǎn)前后點(diǎn)的位置關(guān)系，可以推導(dǎo)出坐標(biāo)變化規(guī)律。規(guī)律推導(dǎo)：繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90：原坐標(biāo)（x，y）→（y，-x）。例如（2，3）旋轉(zhuǎn)后為（3，-2）；繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90：原坐標(biāo)（x，y）→（-y，x）。例如（2，3）旋轉(zhuǎn)后為（-3，2）；繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180：原坐標(biāo)（x，y）→（-x，-y）（與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的結(jié)果一致）。2平移變換場(chǎng)景：圖形平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定直觀驗(yàn)證：在坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)（2，3），分別繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，觀察新點(diǎn)的位置是否符合上述規(guī)律。（通過幾何直觀輔助代數(shù)推導(dǎo)，降低抽象難度。）03拓展應(yīng)用：從單一圖形到組合圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定1多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)的綜合確定實(shí)際問題中，圖形往往由多個(gè)簡(jiǎn)單圖形組合而成（如矩形與三角形的組合），或需要根據(jù)文字描述“逆向”繪制圖形并確定頂點(diǎn)坐標(biāo)。此時(shí)需分步分析，逐一確定每個(gè)頂點(diǎn)的位置。例題解析：題目：在平面直角坐標(biāo)系中，繪制一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD，其中點(diǎn)A位于（1，1），且邊AB平行于x軸。求B、C、D的坐標(biāo)。解題思路：由AB平行于x軸且邊長(zhǎng)為4，可知B點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+4=5（向右）或1-4=-3（向左），縱坐標(biāo)與A相同為1。題目未明確方向，通常默認(rèn)向右，故B（5，1）；正方形的邊BC垂直于AB（即平行于y軸），邊長(zhǎng)為4，因此C點(diǎn)橫坐標(biāo)與B相同為5，縱坐標(biāo)為1+4=5（向上）或1-4=-3（向下），默認(rèn)向上，故C（5，5）；1多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)的綜合確定同理，D點(diǎn)橫坐標(biāo)與A相同為1，縱坐標(biāo)與C相同為5，故D（1，5）。變式訓(xùn)練：若題目中正方形ABCD的邊AB不平行于坐標(biāo)軸（如傾斜45），能否通過坐標(biāo)確定頂點(diǎn)？（引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng)邊不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，需結(jié)合距離公式或向量知識(shí)，為八年級(jí)學(xué)習(xí)勾股定理和九年級(jí)學(xué)習(xí)三角函數(shù)做鋪墊。）2實(shí)際生活中的坐標(biāo)應(yīng)用坐標(biāo)系不僅是數(shù)學(xué)工具，更是描述現(xiàn)實(shí)空間的重要模型。例如：地圖定位：用經(jīng)緯度（類似坐標(biāo)系的橫縱坐標(biāo)）確定地點(diǎn)位置；建筑設(shè)計(jì)：通過坐標(biāo)標(biāo)注建筑輪廓的頂點(diǎn)，輔助施工；游戲開發(fā)：角色在游戲地圖中的移動(dòng)本質(zhì)是坐標(biāo)的變化。案例分析：某小區(qū)平面圖中，大門位于（0，0），健身房在（3，2），兒童樂園在（-1，4），超市在（2，-2）。若從大門出發(fā)，先到健身房，再到兒童樂園，最后到超市，能否畫出路徑并計(jì)算各段路程？（通過實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)“確定頂點(diǎn)坐標(biāo)”的實(shí)用價(jià)值。）04總結(jié)與升華：從“確定坐標(biāo)”到“用坐標(biāo)描述世界”1核心知識(shí)回顧通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們掌握了以下關(guān)鍵方法：基礎(chǔ)圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)：直接讀取橫縱坐標(biāo)；平移變換：橫/縱坐標(biāo)按方向加減平移距離；對(duì)稱變換：根據(jù)對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心取反相應(yīng)坐標(biāo)；旋轉(zhuǎn)變換（選學(xué)）：繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90、180的坐標(biāo)變化規(guī)律。2數(shù)學(xué)思想滲透本節(jié)課貫穿了“數(shù)形結(jié)合”的核心思想——用代數(shù)的坐標(biāo)（數(shù)）描述幾何的圖形（形），又通過圖形的變換（形）推導(dǎo)坐標(biāo)的變化規(guī)律（數(shù)）。這種思想是初中數(shù)學(xué)的“橋梁”，將伴隨我們后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)、幾何證明等內(nèi)容。3學(xué)習(xí)期待同學(xué)們，當(dāng)你們能用坐標(biāo)精確描述一個(gè)三角形的位置，甚至用坐標(biāo)