山西省呂梁學(xué)院附中2026屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過雙曲線Ω：(a＞0，b＞0)右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，與Ω在第一象限的交點(diǎn)為M，且直線AM的斜率大于2，其中A為Ω的左頂點(diǎn)，則Ω的離心率的取值范圍為()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)2．已知，為橢圓上關(guān)于短軸對稱的兩點(diǎn)，、分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，設(shè)，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B.C. D.3．已知圓柱的底面半徑是1，高是2，那么該圓柱的側(cè)面積是（）A.2 B.C. D.4．如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)是E的右焦點(diǎn)，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點(diǎn)，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.5．若拋物線焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為A. B.C. D.6．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.7．已知點(diǎn)，則滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)有（）A.1 B.2C.3 D.48．已知直線和互相平行，則實(shí)數(shù)的取值為（）A或3 B.C. D.1或9．在數(shù)列中，，，，則（）A.2 B.C. D.110．已知，則方程與在同一坐標(biāo)系內(nèi)對應(yīng)的圖形編號可能是（）A.①④ B.②③C.①② D.③④11．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個時刻測得水面寬，則此時刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為（）A. B.C. D.12．設(shè)變量，滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.6C.10 D.13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．容積為V圓柱形密封金屬飲料罐，它的高與底面半徑比值為___________時用料最省.14．已知等差數(shù)列的公差為1，且是和的等比中項(xiàng)，則前10項(xiàng)的和為___________.15．已知正三角形邊長為a，則該三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值.類比上述結(jié)論，在棱長為a的正四面體內(nèi)，任一點(diǎn)到其四個面的距離之和為定值_____.16．已知正三棱柱中，底面積為，一個側(cè)面的周長為，則正三棱柱外接球的表面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其中，且成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知函數(shù)（a是常數(shù)）.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍.19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，直線與拋物線交于兩點(diǎn).（1）求此拋物線的方程；（2）若以為直徑的圓過原點(diǎn)O，求實(shí)數(shù)k的值.20．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點(diǎn)（1）求證:平面平面；（2）求證:平面；（3）求三棱錐體積21．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求常數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)在上的最值.22．（10分）如圖，在直四棱柱中，（1）求二面角的余弦值；（2）若點(diǎn)P為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求點(diǎn)A和M的坐標(biāo)，進(jìn)而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，從而可解得離心率的范圍.【詳解】F(c,0)，設(shè)M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.2、A【解析】設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，并表示出兩個斜率、，把代數(shù)式轉(zhuǎn)化成與點(diǎn)的坐標(biāo)相關(guān)的代數(shù)式，再與橢圓有公共點(diǎn)解決即可.【詳解】橢圓中：，設(shè)則，則，，令，則它對應(yīng)直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A3、D【解析】由圓柱的側(cè)面積公式直接可得.【詳解】故選：D4、B【解析】令雙曲線E的左焦點(diǎn)為，連線即得，設(shè)，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點(diǎn)為，連接，由對稱性可知，點(diǎn)線段中點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為故選：B5、D【解析】解：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D6、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調(diào)性脫去對應(yīng)法則f，轉(zhuǎn)化為一般的二次不等式求解即可【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉(zhuǎn)化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定及應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于中檔題7、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因?yàn)?，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線條數(shù).8、B【解析】利用兩直線平行的等價條件求得實(shí)數(shù)m的值.【詳解】∵兩條直線x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故選B【點(diǎn)睛】已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時，記住以下結(jié)論，可避免討論：已知，，則，9、A【解析】根據(jù)題中條件，逐項(xiàng)計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以，因?故選：A.10、B【解析】結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線的圖像，分別對①②③④分析m、n的正負(fù)，即可得到答案.【詳解】對于①：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，矛盾.故①錯誤；對于②：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：異號，符合要求.故②成立；對于③：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，符合要求.故③成立；對于④：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，矛盾.故④錯誤；故選：B11、D【解析】代入計(jì)算即可.【詳解】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線方程得，則此時刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為2米.故選：D12、C【解析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，將變形為，可得需要截距最小，觀察圖象，可得過點(diǎn)時截距最小，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入目標(biāo)式即可.【詳解】解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分：又，即，要取最大值，則在軸上截距要最小，觀察圖象可得過點(diǎn)時截距最小，由，得，則.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，容積為，由，得到，進(jìn)而求得表面積，結(jié)合不等式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，容積為，則，即有，可得圓柱的表面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時最小，即用料最省，此時，可得.故答案為：.14、【解析】利用等比中項(xiàng)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前10項(xiàng)的和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由已知條件得，即，，解得，則.故答案為：.15、【解析】利用正四面體內(nèi)任一點(diǎn)可將正四面體分成四個小四面體，令它們的高分別為，由體積相等即可求得；【詳解】正三角形邊長為a，則該三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離分別為，即有：，解得同理，棱長為a的正四面體內(nèi)，任一點(diǎn)到其四個面的距離分別為，即有：，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間幾何體的等體積法求高的和為定值，屬于簡單題；16、【解析】首先由條件求出底面邊長和高，然后設(shè)、分別為上、下底面的的中心，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)為正三棱柱外接球的球心，然后求出的長度即可.【詳解】如圖所示，設(shè)底面邊長為，則底面面積為，所以，因此等邊三角形的高為：，因?yàn)橐粋€側(cè)面的周長為，所以設(shè)、分別為上、下底面的的中心，連接，設(shè)的中點(diǎn)為則點(diǎn)為正三棱柱外接球的球心，連接、則在直角三角形中，即外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求幾何體的外接球半徑的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的性質(zhì)找出球心的位置.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），;（2）.【解析】（1）利用求出數(shù)列的通項(xiàng)，再求出等比數(shù)列的公比即得解；（2）求出，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解：，.當(dāng)時，，適合..設(shè)等比數(shù)列公比為，，，即，或（舍去），.【小問2詳解】解：，，，上述兩式相減，得，所以所以.18、（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值是，無極大值.（2）【解析】（1）由當(dāng)，得到，求導(dǎo)，再由，求解；（2）將，轉(zhuǎn)化為成立，令，求其最大值即可.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，定義域?yàn)椋?，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，取得極小值是，無極大值.【小問2詳解】因?yàn)?，即成?設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時,，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，可得到，可得結(jié)果.（2）假設(shè)的坐標(biāo)，得到，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】（1）由題知：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，∴拋物線的方程為（2）設(shè)聯(lián)立，得，則，，，∵以為直徑圓過原點(diǎn)O，∴，∴，即，解得或（舍），∴【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的幾何關(guān)系的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）由直線與平面垂直證明直線與平行的垂直；（2）證明直線與平面平行；（3）求三棱錐的體積就用體積公式.（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，又因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥平面，因?yàn)锳B平面，所以平面平面.（2）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是、的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG=AC，因?yàn)锳C∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，所以四邊形為平行四邊形，所以EG，又因?yàn)镋G平面ABE，平面ABE，所以平面.（3）因?yàn)?AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，所以三棱錐的體積為：==.考點(diǎn)：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行的證明；考查幾何體的體積的求解等基礎(chǔ)知識，考查同學(xué)們的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想21、（1）；（2）最大值為-1，最值為-5.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)建立方程，求解方程并驗(yàn)證作答.(2)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性即可計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意：，則，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在處有極值，所以.【小問2詳解】由(1)知：，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得，而，，則，所以函數(shù)在上的最大值為-1，最值為-5.22、（1），（2）【解析】（1）推導(dǎo)出，以A為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值；（2）設(shè)，則，求出平面的法向量，利用空間向量求出的長【詳解】解（1）在直四棱柱中，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以因?yàn)?，所以以A