2026屆高三一輪復(fù)習(xí)12月質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

注童事項(xiàng)：

1.將繼前，考牛等必將自己的姆名、弩場(chǎng)號(hào)、你信號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)瞋寫在答題卡上，

2.問等進(jìn)怫趣時(shí)、選出每小魎答案后.用鉛筆艷答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑：如需改

動(dòng)，用橡皮撐干凈后.再選涂其他答案標(biāo)號(hào).阿答阜選擇題時(shí).將答案寫在答題卡上.寫在

本斌程上無效。

3.考試結(jié)束后.將木試卷和溶題卡一并交同.

考試時(shí)間為120分鐘.滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若.則1zl=

A.1B.√2C.√3D.4

2.若集合A={x∈NI0<x≤4},B={x|x2-9x+18≤0},則A∩B=

A.(3}B.{4}C.{2,3}D.{3,4}

3.如圖.四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4正方形，E為BC上的點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，

PD⊥底面ABCD.PD=2,CE=1,則以下向量可以作平面DEF的法向量的是

A.(4.-2.1)B.(4,-1,2)C.(4,1,—2)D.(4,-2,-1)

第3題圖第5題圖

4.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)

g(x)=

AC.cos3xD.sin3x

5.如圖，在直三棱柱ABC-A,B?C?中，∠ACB=90°,AA?=AC=BC=2,P為線段BC

的中點(diǎn)，E,F分別為線段A?P與線段CC?上的點(diǎn)，則線段EF長的最小值為

ABCD

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6.如圖，在三棱錐P-ABC,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是邊長為2的等邊三角形，

PA=PC=3,則二面角A-PC一B的正切值為

ABCD

第6題圖第7題圖

7.如圖，記三棱錐P-ABC的體積為V,,BA=BC=2,∠ABC=90°,D為AC的

中點(diǎn)，且PD⊥平面ABC,則該三棱錐外接球的表面積的取值范圍為

ABCD

8.已知函數(shù)在(一∞,十∞)上單調(diào)遞增，則a+b的

取值范圍是

A.[一∞,-1]B.(一∞,0)C.[一∞,1]D.[一∞,2]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知m,n是兩條不同的直線，aα,β,y是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是

A.若mCa,nCa,m//β,n//β,則a//β

B.若a//β,β//γ,m⊥a,則m⊥γ

C.若mLa,n//α,則m⊥n

D.若m//n,m//a,nCa,則n//a

10.下列各式化簡結(jié)果為一√3的有

A.3cos275°—sin275°-1B

D

11.如圖，在多面體ABCD-A?B?C?中，平面ABCD//平面A?B?C?,A?C?=AD,DC=

2AB,AB//DC,且交線A?C?與A?B確定的平面與DC交于點(diǎn)E,

則下列結(jié)論正確的是

A.點(diǎn)E在線段DC上的位置不確定

B.A?B//平面DCB?C?

C.EC?//平面A?BB?

D.EC?//平面BCB?

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三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.如圖，平行六面體ABCD-A?B?C?D,中，延長AB至點(diǎn)P,使AB=2BP,則向量C?P

可用向量DA,DC,DD表示為

P

13.已知一球O與一圓臺(tái)的上、下底面及其側(cè)面都相切，圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為

r?=1,r?=3,則球O的體積為

14.如圖，在△ABC中，P為AC的中點(diǎn)，AB=4AF,Q為BC上一點(diǎn)，且滿足CB=4CQ,

PQNCF=E.若CE=λCA+μCB,則λ+μ=·

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=nan+λn(1-n)(λ∈R,n∈N+),a?=

a?+2.

(1)求實(shí)數(shù)λ的值；

(2)若a?=1,求{an}的通項(xiàng)公式；

(3)將數(shù)列{an}與數(shù)列{n2—1}的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列{bn},求的值.

16.(15分)某勘測(cè)隊(duì)在河岸的一側(cè)隔河進(jìn)行測(cè)繪工作，河岸一側(cè)A,B兩地相距50米，河對(duì)

岸有C,D兩地，測(cè)得AC=70米，∠DBA=∠DBC,

(1)求sin∠ACB的值；

(2)若測(cè)量后發(fā)現(xiàn)DB=DC,求A,D兩地的距離.

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17.(15分)如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC,AB⊥BC,AC=4,PC=2,

,D為BP上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn).

(1)證明：ABLCD;

(2)求平面ABP與平面ADC夾角的余弦值.

18.(17分)如圖，正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為6,且E,F,P分別為BB?,B?C?,

CC,的中點(diǎn).

(1)證明：平面A?EF//平面AD?P;

(2)平面AD?P將正方體ABCD-A?B?C?D?截成兩部分，若這兩部分的體積分別

為V,V'(V≤V′),求；的值.

19.(17分)已知函數(shù)f(x)=ax+e2(a∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的極值.

(2)若a<0,函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x?,xz,且x?>x?>0.

①求：的值；

②求證：

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百B

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數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見

1.A【解析】∵,∴|z|=1.故選A.

2.D【解析】∵o<x≤4,x∈N,∴A={1,2,3,4}.解不等式x2—9x+18≤0得3≤x≤6,∴B={x|3≤x≤6},

∴A∩B={3,4}.故選D.

3.B【解析】由題意，知D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,4,0),E(1,4,0),F(0,2,1),∴DE=(1,4,0),DF=(0,2,1).

設(shè)平面DEF的法向量為m=(x,y,z),則即令x=4,則y=-1,z=2,所以m=

(4,—1,2).故選B.

4.C【解析】函數(shù)的圖象向左平移單位，

所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

5.C【解析】在直三棱ABC-A?B?C?中，∵∠ACB=90°,∴CA,CB,CC?兩兩垂直.建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，則C(0,0,0),P(0,1,0),C?(0,0,2),A?(2,0,2),∴PA?=(2,—1,2),CC?=(0,0,2).

設(shè)Pě=λPA,o≤λ≤1,F(0,0,t),則E(2λ,1—λ,2λ),EF=(-2λ,λ—1,t—2λ).

要使線段EF最短，必滿足EF⊥CC?,則EF·CC?=0,解得t=2λ,∴EF=(—2λ,λ—1,0).

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

∴線段EF長的最小值為.故選C.

6.B【解析】如圖，設(shè)AC的中點(diǎn)為E,連接PE,BE.

在△PAC中，AC=2,PA=PC=3,則PE⊥AC,PE=√PA2-AE2=√9-1=2√2.

∵BA=BC,E為AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,

BEC平面ABC,∴BE⊥平面PAC.∵PCC平面PAC,∴BE⊥PC.

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作EF⊥PC于點(diǎn)F,連接BF.∵BE,EFC平面EFB,BE∩EF=E,∴PC⊥平面EFB.

∵BFC平面EFB,∴BF⊥PC.∴∠BFE是二面角A-PC一B的平面角.

在Rt△PEC中，EF⊥PC,有PE·EC=EF·PC,即2√2×1=EF×3,∴

在Rt△ABE中，BE=√22—12=√3.∵BE⊥平面PAC,EFC平面PAC,∴BE⊥EF,∴

.故選B.

7.C【解析】∵∠ABC=90°,BA=BC=2,∴AC=2√2.又∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD=BD=CD=√2.

∵PD⊥平面ABC,.×,∴1≤PD≤3.

由題意知，該三棱錐外接球的球心O在直線PD上.

設(shè)OD=t(t為負(fù)值，則球心在平面ABC的下方),外接球半徑為r,PD=x,1≤x≤3,

則r2=(x—t)2=t2+(√2)2,整理得

設(shè),f(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增，∴f(1)≤f(x)≤f(3),

,故

∴該三棱錐的外接球的表面積.故選C.

8.C【解析】f'(x)=e-ax2—bx-1,∵函數(shù)f(x)在(一∞,+∞)上單調(diào)遞增，

∴f'(x)≥0在(一∞,+∞)上恒成立，即e≥ax2+bx+1在(一∞,+∞)上恒成立.

設(shè)g(x)=ax2+bx+1,h(x)=e,

當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=bx+1,直線g(x)恒過點(diǎn)(0,1),

故只需直線g(x)=bx+1為曲線h(x)=e在點(diǎn)(0,1)處的切線即可，b=h'(0)=1,此時(shí)a+b=1;

當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)g(x)的圖象恒過點(diǎn)(0,1),為使e≥ax2+bx+1在(一∞,+∞)上恒成立，

需函數(shù)g(x)=ax2+bx+1的圖象開口向下，且在點(diǎn)(0,1)處與函數(shù)h(x)=e2的圖象有公切線，

則有∴a+b<1,

綜上，a+b的取值范圍是(一∞,1).故選C.

9.BCD【解析】對(duì)于A,若mCa,nCa,m//β,n//β,因?yàn)橹本€m,n未必相交，

所以a與β不一定平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由a//β,β//γ,得a//γ,又m⊥a,則m⊥y,故B正確；

對(duì)于C,由n//a,得存在過直線n與平面α相交的平面，設(shè)交線為l,則n//L,

因?yàn)閙⊥a,所以m⊥l,m⊥n,故C正確；

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對(duì)于D,由m//α,得存在過m的平面與α相交，令交線為L,則m//L,因?yàn)閙//n,所以n//l,

又因?yàn)閚Ca,所以n//α,故D正確.故選BCD.

10.ACD【解析】對(duì)于A,3cos275°—sin275°-1=(cos275°-sin275°)+(2cos275°—1)=2cos150°=—√3,故A

正確；

對(duì)于

B,故B錯(cuò)誤；

,故C正確；

,故D正確.故選ACD.

11.BC【解析】∵平面ABCD//平面A?B?C?,平面ABCD∩平面ADC?A?=AD,

平面A?B?C?∩平面ADC?A?=A?C?,∴AD//A?C?,同理得BE//A?C?,∴AD//BE.

∵AB//DC,∴四邊形ABED為平行四邊形，∴AB=DE.又∵DC=2AB,∴E為DC的中點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.

由A知，四邊形ABED為平行四邊形，∴AD=BE.∵A?C?=AD,∴BE=A?C?.

又∵BE//A?C?,∴四邊形A?C?EB為平行四邊形，∴A?B//C?E.

∵A?B平面DCB?C?,C?EC平面DCB?C?,∴A?B//平面DCB?C?,故B正確.

由B知，C?E//A?B,C?E平面A?BB?,A?BC平面A?BB?,∴C?E//平面A?BB?,故C正確.

B?C?與EC的長短不確定，若B?C?與EC的長短不一樣，又EC?與CB,在同一平面內(nèi)，

則EC?與CB?一定相交，EC?與平面BCB?相交，故D錯(cuò)誤.故選BC.

13.4√3π【解析】設(shè)圓臺(tái)的高為h,母線長為l,球O的半徑為R,作出圓臺(tái)的軸截面，如圖.

圓臺(tái)的軸截面等腰梯形的高h(yuǎn)等于球O的直徑2R.∵球O與圓臺(tái)的側(cè)面相切，∴OE⊥CD.

則△COE≌△COO?,△DOE≌△DOO?,∴CE=CO?,DE=DO?,

∴l(xiāng)=DE+CE=DO?+CO?=r?+r?=1+3=4,h=2R.

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在Rt△DFC中，由勾股定理得h2+(r?-r?)2=l2,∴(2R)2+22=42,解得R=√3.

∴球O的體積為

14.【解析】∵AB=4AF,.

又∵C,E,F三點(diǎn)共線，

∵P為AC的中點(diǎn)，∴∵CB=4CQ,∴

又∵P,E,Q三點(diǎn)共線，.

解得;,即;

15.解：(1)∵S,=na+λn(1-n)(λ∈R,n∈N+),∴+λ(1-n),

*

,即a?—a?=2λ.又a?-a?=2,∴λ=13分

(2)由(1)得，S,=na?+n(1-n)=na+n-n2(n∈N+),

∴Sπ+1=(n+1)an+1+n+1—(n+1)2.

以上兩式相減得an+1=(n+1)an+1-na—2n,

整理得an+1-aπ=2(n∈N+)6分

∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d=2,首項(xiàng)a?=1,

∴通項(xiàng)公式為an=2n-18分

(3)若將數(shù)列{an}與數(shù)列{n2—1)的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列{bm},得bn=(2n-1)(2n+1),

……………13分

16.解：(1)由∠DBA=∠DBC,

.………2分

在△ABC中，由正弦定理得,即

………………5分

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(2)在△ABC中，由余弦定理得，

整理得BC2+20BC-2400=0,解得BC=40(BC=-60舍去).……………7分

在△DBC中，DB=DC,

設(shè)BC的中點(diǎn)為點(diǎn)E,連接DE,∵DB=DC,∴DE⊥BC.

,即,∴DB=DC=10√1010分

在△ABD中，AD2=DB2+AB2—2DB·ABcos∠DBA

∴AD=10√15米，即A,D兩地的距離為10√15米.………15分

17.(1)證明：∵PC⊥平面ABC,ABC平面ABC,∴PC⊥AB2分

又∵AB⊥BC,PC∩BC=C,PC,BCC平面PBC,∴AB⊥平面PBC4分

∵CDC平面PBC,∴AB⊥CD5分

(2)解：設(shè)AC的中點(diǎn)為0,作Oz⊥平面ABC,在平面ABC內(nèi)作Ox⊥AC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

0—xyz.

,AC=4,PC=2,∴BC=2,AB=2√3,則A(0,-2,0),C(0,2,0),B(√3,1,0),P(0,2,2),

∴BP=(一√3,1,2).……………………7分

又∵D為BP上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，

,AC=(0,4,0),AB=(√3,3,0)9分

設(shè)m=(x,y,z)為平面ABP的法向量，

則

令y=-1,則m=(√3,-1,2)·11分

設(shè)n=(a,b,c)為平面ADC的法向量，

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令a=-1,則n=(-1,0,√3)13分

∴平面ABP與平面ADC夾角的余弦值為

………………15分

18.(1)證明：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為Q,連接PQ,AQ,FQ,BC?.

∵四邊形ABC?D?為平行四邊形，∴BC?//AD?.……………2分

∵P,Q分別為CC?,BC的中點(diǎn)，∴PQ//BC?,∴PQ//AD?,

即平面AD?P與平面AD?PQ為同一平面.…………………4分

∵FQ//BB?//AA?,FQ=BB?=AA?,

∴四邊形AQFA?為平行四邊形，∴AQ//A?F.

又∵A?F女平面AD?P,AQC平面AD?P,∴A?F//平面AD?P6分

∵E,F,P,Q分別為BB?,B?C?,CC?,BC的中點(diǎn)，∴EF//PQ.

∵EF大平面AD?P,PQC平面AD?P,∴EF//平面AD?P8分

∵A?F∩EF=F,A?F,EFC平面A?EF,

∴平面A?EF//平面AD?P10分

(2)解：由(1)得平面AD?P即平面AD?PQ11分

.……………14分

∴V′=V正方體—V=6×6×6—63=153,

.…………………17分

19.(1)解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f'(x)=a+e.

當(dāng)a≥0時(shí)，