初中幾何中線段和(差)的最值問題

一、兩條線段和的最小值。

基本圖形解析：(

一)、已知兩個定點(diǎn)：

1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P,使PA+PB最小;

(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：

m

B

(2)點(diǎn)A、B在直線同側(cè):

B

m

A、火是關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)。

2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個點(diǎn)都在直線外側(cè):

m

一個點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個點(diǎn)在外側(cè):

兩個點(diǎn)都在內(nèi)側(cè):

B'

（4）、臺球兩次碰壁模型

變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得

闈成的四邊形ADEB周長最短.

填空：最短周長=_________________

變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA

周長最短.

二）、一個動點(diǎn)，一個定點(diǎn)：

<-）動點(diǎn)在直線上運(yùn)動：

點(diǎn)B在直線n上運(yùn)動，在直線m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫出點(diǎn)P和點(diǎn)

B）

1、兩點(diǎn)在直線兩側(cè)：

A1

(-)動點(diǎn)在圓上運(yùn)動

點(diǎn)B在。。上運(yùn)動，在直線m上找一點(diǎn)P,使PA+PB最小(在圖中畫出點(diǎn)P和點(diǎn)B)

1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè)：

(門(女

B\\

??m?---7^--?機(jī)

?A

A

2、點(diǎn)與圓在直線同側(cè)：

0(7)

R\A

A\F

■%、9?1?

?-------------------??-----------------------------?

7

A1

三)、已知A、B是兩個定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個動點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長度

恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn),使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)

(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：

A-……W

1.1

■■..

PQ1?b?澗

■PQ\

Hb

B

過A點(diǎn)作AC〃m，且A3長等于PQ長,連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為

P點(diǎn)，此時P、Q即為所求的點(diǎn)。

(2)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：

4y

\\/!

PQ0。飛

b

B'

練習(xí)題

1.如圖，N4OB=45。，尸是N408內(nèi)一點(diǎn)，Q0=10,Q、8分別是。4、。8上的動點(diǎn)，求

△PQ8周長的最小值為.

2、如圖1,在銳角三角形ABC中，AB"Q,NBAC=45°,ZBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,

M,N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值為.

3、如圖，在銳角三角形ABC中，AB=5j5,ZBAC=45,BAC的平分線交BC于D,M、

N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是多少？

4、如圖4所示，等邊^(qū)詆的邊K為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點(diǎn),E是AC邊上

一點(diǎn).若AE=2,EM+CM的最小值為__________________,

5、如圖3,在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,ADZ/BC,AD=4,AB=5,BC=6,點(diǎn)P是AB

上一個動點(diǎn)，當(dāng)PC+PD的和最小時，PB的長為.

6、如圖4,等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=LZABC=60°,P是上底，下底中點(diǎn)EF直線上

的一?點(diǎn)，則PA+PB的最小值為______________________________.

7、如圖5菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60°,E是AB的中

點(diǎn)，P是對角線AC上的一個動點(diǎn),則PE+PB的最小值

8、如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8,點(diǎn)P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)M、N分

別是邊AB、BC的中點(diǎn)，則PM+PN的最小值是

9、如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm,底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一

滴蜂密，此時一只螞蟻正好在杯外堂，離杯上沿4cm與蜂密相對的點(diǎn)A處，則螞蟻至|以?蜂

蜜的最短距離為cm.

10、如圖，菱形ABCD中，AB=2,NA=120。，點(diǎn)P,Q,K分別為線段BC,CD,

BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為

11、如圖，正方形ABCO的邊長為2,E為A3的中點(diǎn)，。是AC上一動點(diǎn).則P8+PE的最

12、如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長為8,點(diǎn)M在DC上，且DU=2,N是AC上的一

個動點(diǎn)，則DN+MN的最小值為________________________

13、如圖，正方形ABCD的邊長是2,NDAC的平分線交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是

AD和AE上的動點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為

14、如圖7,在邊長為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC上?

動點(diǎn)，連接PB、PQ,則△PBQ周長的最小值

為cm.(結(jié)果不取近似值).

15、如圖，的半徑為2,點(diǎn)A、B、C在。。上，OALOB,NAOC=60。，P是08上一

動點(diǎn)，則PA+R7的最小值是___________.

16、如圖8,MN是半徑為1的。0的直徑，點(diǎn)A在。0上，ZAMN=30°,B為AN弧的中點(diǎn),

P是直徑MN上一動點(diǎn)，則PA+PB的最小值為()

(A)2我(B)氏(C)l(D)2

解答題

k

1、如圖9,正比例函數(shù)y=5x的圖象與反比例函數(shù)y=「(k#0)在第一象限的圖象交于A

點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M,已知三角形0AM的面積為1.

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合)，且B點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P,使PA+PB最小.

2、如圖，一元二次方程X2+2X-3=0的二根x「x,（X|Vx,）是拋物線y=ax2+JX+C

與x軸的兩個交點(diǎn)B,。的橫坐標(biāo)，且此拋4線底點(diǎn)；（3,6）.

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P,對稱軸與AC相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）在x軸上有一動點(diǎn)M,當(dāng)MQ+MA取得最小值時，求M點(diǎn)的坐標(biāo).

3、如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,5,AAOB的面積是后.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求過點(diǎn)A、0、B的拋物線的解析式；

<3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C,使AAOC的周氏最??？若存在，求出

點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

4.如圖，拋物線y=g,-gx+3和y軸的交點(diǎn)為A,M為OA的中點(diǎn)，若有一動點(diǎn)P,自

M點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動到工軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E）,再沿直線運(yùn)動到該拋物線對稱軸上

的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)尸），最后又沿直線運(yùn)動到點(diǎn)4,求使點(diǎn)尸運(yùn)動的總路程最短的點(diǎn)E,點(diǎn)產(chǎn)

的坐標(biāo)，并求出這個最短路程的長.

5.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系x0y中，直角梯形QA8C的邊在），軸的正半軸上，0C

在x軸的正半軸上，Q4=HB=2,0C=3,過點(diǎn)B作交0A于點(diǎn)。.將NO8C繞點(diǎn)

3按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交1y軸的正半軸、x軸I的正半軸于點(diǎn)七和凡

（1）求經(jīng)過A、8、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）當(dāng)8E經(jīng)過（1）中拋物線的頂點(diǎn)時，求CF的長；

（3）在拋物線的對稱軸上取兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方），且PQ=1,要使四邊形BCPQ

的周長最小，求出尸、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).

6.如圖，己知平面直角坐標(biāo)系，48兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,-3),8(4,-1)若C(a,

0),。(a+3,0)是x軸上的兩個動點(diǎn)，則當(dāng)。為何值時，四邊形ABQC的周長最短.

7、如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)D在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在

軸、y軸的正半軸上，0A=3,OB=4,D為邊0B的中點(diǎn).

(1)若E為邊0A上的一個動點(diǎn)，當(dāng)4CDE的周長最小時，求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(2)若E、F為邊0A上的兩個動點(diǎn)，且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點(diǎn)E、

F的坐標(biāo).

二、求兩線段差的最大值問題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)

基本圖形解析：

1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P,使PA與PB的差最大：

(1)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè):

解析：延長AB交直線m于點(diǎn)P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P，A—P舊VAB,而PA

PB=AB此時最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。

(2)點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：

解析：過B作關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B,,連接AB咬點(diǎn)直線m于P,此時PB=PB，，PA-PB最大

值為AB，

練習(xí)題1

1.如圖，拋物線y2—x+2的頂點(diǎn)為A與y軸交于點(diǎn)B.

=一心

⑴求點(diǎn)4、點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)尸是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-P生AB；

⑶當(dāng)月4一尸8最大時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2.如圖，已知直線y=lx+1與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)D,

2

拋物線y=Lx2+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與％軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1,

2

0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（3）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M,使的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

3、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（—4,-1）和（-2,—5）；點(diǎn)P是y軸上的

一個動點(diǎn)，⑴點(diǎn)P在何處時，PA+PB的和為最??？并求最小值。

⑵點(diǎn)P在何處時，IPA-PBI最大？并求最大值。

4.如圖，直線y=—\^x-\-2與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)、A為y軸正半軸上的一

點(diǎn)，0A經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)O,直線BC交。A于點(diǎn)D.

（1）求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵過O,C,。三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使線段PO與PD

之差的值最大？若存在，請求出這個最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo).若不存在，請說明理由.

5、拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,交x軸與A與B,交y軸于C,

⑴在其對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使/APC周長最小，若存在，求其坐標(biāo)。

⑵在其對稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使IQB-QCI的值最大，若存在求其坐標(biāo)。

6、已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，0C=3,BC=2,取AB的中點(diǎn)連

接MC,把a(bǔ)MBC沿x軸的負(fù)方向平移0C的長度后得到△DAO.

(1)試直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點(diǎn)

P作PQJ_x軸于點(diǎn)Q,連接0P.

①若以0、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)T,使得|TO-TB|的值最大？

y

MB

0C

7、如圖，已知拋物線C押解析式為尸-X2+2X+8,圖象與y軸交于D點(diǎn)，并且頂點(diǎn)A在雙曲

線上.1

（1）求過頂點(diǎn)A的雙曲線解析式；

（2）若開口向上的拋物線C2與4的形狀、大小完全相同，并且C.的頂點(diǎn)P始終在C1上，

證明：拋物線C］定經(jīng)過AE

（3）設(shè)（2）中'的拋物線C的對稱軸PF與x軸交于F點(diǎn)，且與雙曲線交于E點(diǎn)，當(dāng)D、0、

E、F四點(diǎn)組成的四邊形的畝積為16.5時，先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，并在直線y=x上求一點(diǎn)凡使

|MD-MP|的值最大.

8、如圖，已知拋物糊3?+以+c經(jīng)過A(3,0),B((),4),

(1).求此拋物線解析式

(2)若拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C,求點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C，的坐標(biāo)

(3)若點(diǎn)D是第二象限內(nèi)點(diǎn)，以D為圓心的圓分別與x軸、y釉、直線AB相切于點(diǎn)心

F、H,問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)P,使得IP4-PA的值最大？若存在，求

出該最大值；若不存在，請說明理由。

A

三、其它非基本圖形類線段和差最值問題

1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，在該三角形中，其

他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。

2、在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。

3、線段之和的問題往往是將各條線段串聯(lián)起來，再連接首尾端點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段

最短以及點(diǎn)到線的距離垂線段最短的基本依據(jù)解決。

1、如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,點(diǎn)、A、C分別在x軸、），軸上，當(dāng)點(diǎn)A

在x軸上運(yùn)動時,點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）

A.2；22B.2J5Co2<6D.6

2、已知：在△ABC中，BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題：

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時,a=b=3,且NACB=60°,則

CD-:________

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時,a=b=6,且NACB=90°,則

CD=:________

（3）如圖3,當(dāng)NACE變化，且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時，求CD的最大值及相

應(yīng)的NACB的度數(shù).

D

AB

圖1圖2圖3

3、在RtZXABC中，NAC