湖南省洞口縣第九中學(xué)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若雙曲線一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.2．已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.3．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.4．中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見首日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其大意為：有一個人走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，恰好走了天到達(dá)目的地，則該人第一天走的路程為（）A.里 B.里C.里 D.里5．設(shè)，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（）A. B.C. D.6．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A. B.C. D.7．命題“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，8．函數(shù)圖象如圖所示,則的解析式可以為A. B.C. D.9．已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過定點(diǎn)外還過定點(diǎn)（）A. B.C. D.10．中國農(nóng)歷的二十四節(jié)氣是中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，二十四節(jié)氣歌是以春、夏、秋、冬開始的四句詩.在國際氣象界，二十四節(jié)氣被譽(yù)為“中國的第五大發(fā)明”.2016年11月30日，二十四節(jié)氣被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.某小學(xué)三年級共有學(xué)生600名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問二十四節(jié)氣歌，只能說出一句的有45人，能說出兩句及以上的有38人，據(jù)此估計(jì)該校三年級的600名學(xué)生中，對二十四節(jié)氣歌一句也說不出的有（）A.17人 B.83人C.102人 D.115人11．若函數(shù)，則（）A. B.C.0 D.112．如圖，在棱長為1的正方體中，P、Q、R分別是棱AB、BC、的中點(diǎn)，以PQR為底面作一個直三棱柱，使其另一個底面的三個頂點(diǎn)也都在正方體的表面上，則這個直三棱柱的體積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則，兩點(diǎn)的最短距離為________14．如圖，AD與BC是三棱錐中互相垂直的棱，，（c為常數(shù)）.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.15．若正四棱柱的底面邊長為5，側(cè)棱長為4，則此正四棱柱的體積為______16．已知函數(shù)，若遞增數(shù)列滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓點(diǎn)（1）若橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，求點(diǎn)到直線的距離；（2）若點(diǎn)是橢圓的弦的中點(diǎn)，求直線的方程18．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）.19．（12分）已知某學(xué)校的初中、高中年級的在校學(xué)生人數(shù)之比為9：11，該校為了解學(xué)生的課下做作業(yè)時間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級的在校學(xué)生中共抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：（1）在抽取的100名學(xué)生中，初中、高中年級各抽取的人數(shù)是多少？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時間的中位數(shù)和平均時長（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）另據(jù)調(diào)查，這100人中做作業(yè)時間超過4小時的人中2人來自初中年級，3人來自高中年級，從中任選2人，恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率是多少20．（12分）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)在棱上，且平面（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值21．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最大值.22．（10分）已知橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若的面積為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)（為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離），求解出的關(guān)系式，結(jié)合求解出離心率的值.【詳解】取的一條漸近線，因?yàn)椋橄议L，為圓半徑，為圓心到直線的距離），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用幾何法表示出圓的半徑、圓心到直線的距離、半弦長之間的關(guān)系.2、B【解析】由題設(shè)可得，又，易知，，將問題轉(zhuǎn)化為平面點(diǎn)線距離關(guān)系：向量的終點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)到向量所在射線的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點(diǎn)時，使最小，又，∴當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且時，最小為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由已知確定，，構(gòu)成等邊三角形，即可將問題轉(zhuǎn)化為圓上動點(diǎn)到射線的距離最短問題.3、C【解析】點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是坐標(biāo)不變，坐標(biāo)為0的點(diǎn).【詳解】點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為，故點(diǎn)M的坐標(biāo)是故選：C4、C【解析】建立等比數(shù)列的模型，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解【詳解】記第天走的路程為里，則是等比數(shù)列，，，故選：C5、B【解析】先設(shè)，根據(jù)P在橢圓上得到，由，得到的范圍，即為離心率的范圍.【詳解】由橢圓的方程可得，，設(shè)，由，則，即，由P在橢圓上可得，所以，代入可得所以，因?yàn)?，所以整理可得：，消去得：所以，即所?故選：B6、D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間7、C【解析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，是特稱命題，所以其否定是全稱命題，即為，故選：C8、A【解析】利用排除法：對于B,令得,,即有兩個零點(diǎn)，不符合題意；對于C,當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對于D,的定義域?yàn)椋环项}意；本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)9、D【解析】設(shè)垂直于直線，可知圓恒過垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點(diǎn)，由得：，以為直徑的圓恒過定點(diǎn).故選：D.10、C【解析】根據(jù)頻率計(jì)算出正確答案.【詳解】一句也說不出的學(xué)生頻率為，所以估計(jì)名學(xué)生中，一句也說不出的有人.故選：C11、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，再用積的求導(dǎo)法則求導(dǎo)計(jì)算得解.【詳解】令，則，求導(dǎo)得：，所以.故選：A12、C【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，利用棱柱的定義證明幾何體是三棱柱，再證明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【詳解】如圖所示：連接,分別取其中點(diǎn)，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】線段最短，就是說的距離最小，此時直線和直線垂直，可先求的斜率，再求直線的方程，然后與直線聯(lián)立求交點(diǎn)即可【詳解】定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，當(dāng)線段最短時，就是直線和直線垂直，的方程為：，它與聯(lián)立解得，所以的坐標(biāo)是，所以，故答案為：14、【解析】分析得都在以為焦點(diǎn)的橢球上，再利用橢球的性質(zhì)得到，化簡即得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以都在以為焦點(diǎn)橢球上，由橢球的性質(zhì)得，是垂直橢球焦點(diǎn)所在直線的弦，的最大值為,此時共面且過中點(diǎn)，即故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：15、100【解析】根據(jù)棱柱體積公式直接可得.【詳解】故答案為：10016、【解析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于是遞增數(shù)列，所以.所以的取值范圍是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)橢圓基本關(guān)系求得,,再利用截距式求得方程,進(jìn)而求得點(diǎn)到直線的距離.(2)設(shè),利用點(diǎn)差法求解即可.【詳解】（1）橢圓的左焦點(diǎn)是,上頂點(diǎn),方程為,即,點(diǎn)到直線的距離；（2）設(shè),,,,又,,兩式相減得：,,即直線的斜率為,直線的方程為：,即【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓中的基本量運(yùn)算以及點(diǎn)差法的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）.【解析】利用導(dǎo)數(shù)的乘除法則，對題設(shè)函數(shù)求導(dǎo)即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】19、（1）初中、高中年級所抽取人數(shù)分別為45、55（2）2.375小時，2.4小時（3）【解析】（1）依據(jù)分層抽樣的原則列方程即可解決；（2）依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算學(xué)生做作業(yè)時間的中位數(shù)和平均時長即可；（3）依據(jù)古典概型即可求得恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率.【小問1詳解】設(shè)初中、高中年級所抽取人數(shù)分別為x、y，由已知可得，解得；【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，的頻率為因?yàn)?，，所以中位?shù)在區(qū)間上，設(shè)為x，則，解得，所以學(xué)生做作業(yè)時間的中位數(shù)為2.375小時；平均時長為小時.故估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時間的中位數(shù)為2.375小時，平均時長為2.4小時【小問3詳解】2人來自初中年級，記為，，3人來自高中年級，記為，，，則從中任選2人，所有可能結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種，其中恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級有6種可能，所以恰好1人來自初中年級，1人來自高中年級的概率為20、（1）答案見解析；（2）.【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，（1）設(shè)，由平面，可得，從而數(shù)量積為零，可求出的值，進(jìn)而可求得的值；（2）利用空間向量求二面角的余弦值【詳解】解：（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則點(diǎn)，，，則，因?yàn)槠矫?，所以，所以，解得或?dāng)時，，，；當(dāng)時，，，（2）因?yàn)?，由?）知，平面的一個法向量為設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以令，則所以，由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為21、（1）①，在上單減；②，在上單增，單減；（2）.【解析】（1），根據(jù)函數(shù)定義域，分，，討論求解；（2）根據(jù)（1）知：分，，，討論求解.【小問1詳解】解